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1、线性代数必考知识点 1、行列式 1. 行列式共有 个元素,展开后有 项,可分解为 行列式;2. 代数余子式的性质:、 和 的大小无关;、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为 0;、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为 ;3. 代数余子式和余子式的关系: 4. 设 行列式 :将 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为 ,则 ;将 顺时针或逆时针旋转 ,所得行列式为 ,则 ;将 主对角线翻转后(转置) ,所得行列式为 ,则 ;将 主副角线翻转后,所得行列式为 ,则 ;5. 行列式的重要公式:、主对角行列式:主对角元素的乘积;、副对角行列式:副对角元素的乘积 ;、上、下三角行列
2、式( ):主对角元素的乘积;、 和 :副对角元素的乘积 ;、拉普拉斯展开式: 、 、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;、特征值;6. 对于 阶行列式 ,恒有: ,其中 为 阶主子式;7. 证明 的方法:、 ;、反证法;、构造齐次方程组 ,证明其有非零解;、利用秩,证明 ;、证明 0 是其特征值;2、矩阵 1. 是 阶可逆矩阵:(是非奇异矩阵) ;(是满秩矩阵)的行(列)向量组线性无关;齐次方程组 有非零解;, 总有唯一解;与 等价;可表示成若干个初等矩阵的乘积;的特征值全不为 0;是正定矩阵;的行(列)向量组是 的一组基;是 中某两组基的过渡矩阵;2. 对于 阶矩阵 : 无条件恒成立;3.
3、 4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均 、 可逆:若 ,则:、 ;、 ;、 ;(主对角分块)、 ;(副对角分块)、 ;(拉普拉斯)、 ;(拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个 矩阵 ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的: ;等价类:所有与 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的 矩阵;对于同型矩阵 、 ,若 ;2. 行最简形矩阵:、只能通过初等行变换获得;、每行首个非 0 元素必须为 1;、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0;3. 初等行变换的应用:(初等列变
4、换类似,或转置后采用初等行变换)、若 ,则 可逆,且 ;、对矩阵 做初等行变化,当 变为 时, 就变成 ,即: ;、求解线形方程组:对于 个未知数 个方程 ,如果 ,则 可逆,且 ;4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩 阵;、 ,左乘矩阵 , 乘 的各行元素;右乘, 乘 的各列元素; 、对调两行或两列,符号 ,且 ,例如: ;、倍乘某行或某列,符号 ,且 ,例如: ;、倍加某行或某列,符号 ,且 ,如: ;5. 矩阵秩的基本性质:、 ;、 ;、若 ,则 ;、若 、 可逆,则 ;(可逆矩阵不影响矩阵的秩) 、 ;()、 ;(
5、)、 ;()、如果 是 矩阵, 是 矩阵,且 ,则:()、 的列向量全部是齐次方程组 解(转置运算后的结论) ;、 、若 、 均为 阶方阵,则 ;6. 三种特殊矩阵的方幂:、秩为 1 的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量) 行矩阵(向量)的形式,再采用结合 律;、型如 的矩阵:利用二项展开式;二项展开式: ;注:、 展开后有 项;、 、组合的性质: ;、利用特征值和相似对角化:7. 伴随矩阵:、伴随矩阵的秩: ;、伴随矩阵的特征值: ;、 、 8. 关于 矩阵秩的描述:、 , 中有 阶子式不为 0, 阶子式全部为 0;(两句话)、 , 中有 阶子式全部为 0;、 , 中有 阶子式不为 0;线性方
6、程组: ,其中 为 矩阵,则: 、 与方程的个数相同,即方程组 有 个方程;、 与方程组得未知数个数相同,方程组 为 元方程;10. 线性方程组 的求解:、对增广矩阵 进行初等行变换(只能使用初等行变换) ;、齐次解为对应齐次方程组的解;、特解:自由变量赋初值后求得;11. 由 个未知数 个方程的方程组构成 元线性方程:、 ;、 (向量方程, 为 矩阵, 个方程, 个未知数) 、 (全部按列分块,其中 ) ;、 (线性表出)、有解的充要条件: ( 为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性 1. 个 维列向量所组成的向量组 : 构成 矩阵 ;个 维行向量所组成的向量组 : 构成 矩阵 ; 含
7、有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2. 、向量组的线性相关、无关 有、无非零解;(齐次线性方程组)、向量的线性表出 是否有解;(线性方程组) 、向量组的相互线性表示 是否有解;(矩阵方程)3. 矩阵 与 行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组 和 同解;( 例 14)4. ;( 例 15)5. 维向量线性相关的几何意义:、 线性相关 ;、 线性相关 坐标成比例或共线(平行) ;、 线性相关 共面; 6. 线性相关与无关的两套定理:若 线性相关,则 必线性相关;若 线性无关,则 必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)若 维向量组 的每个向量上添上 个分量,构成 维向量组 :若 线
8、性无关,则 也线性无关;反之若 线性相关,则 也线性相关;(向量组的维数加加 减减)简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;7. 向量组 (个数为 )能由向量组 (个数为 )线性表示,且 线性无关,则 ;向量组 能由向量组 线性表示,则 ; 向量组 能由向量组 线性表示 有解;向量组 能由向量组 等价 8. 方阵 可逆 存在有限个初等矩阵 ,使 ;、矩阵行等价: (左乘, 可逆) 与 同解 、矩阵列等价: (右乘, 可逆) ;、矩阵等价: ( 、 可逆) ;9. 对于矩阵 与 :、若 与 行等价,则 与 的行秩相等;、若 与 行等价,则 与 同解,且 与 的任何对应的列向量组具有相同的线性相
9、关性;、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;、矩阵 的行秩等于列秩;10. 若 ,则:、 的列向量组能由 的列向量组线性表示, 为系数矩阵; 、 的行向量组能由 的行向量组线性表示, 为系数矩阵;(转置)11. 齐次方程组 的解一定是 的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;、 只有零解 只有零解; 、 有非零解 一定存在非零解;12. 设向量组 可由向量组 线性表示为: ( )其中 为 ,且 线性无关,则 组线性无关 ;( 与 的列向量组具有相同线性相关 性)(必要性: ;充分性:反证法)注:当 时, 为方阵,可当作定理使用;13. 、对矩阵 ,存在 , 、 的列向量线性无关; 、对矩阵 ,
10、存在 , 、 的行向量线性无关;线性相关 存在一组不全为 0 的数 ,使得 成立;(定义)有非零解,即 有非零解;,系数矩阵的秩小于未知数的个数;15. 设 的矩阵 的秩为 ,则 元齐次线性方程组 的解集 的秩为: ;16. 若 为 的一个解, 为 的一个基础解系,则 线性无关; 5、相似矩阵和二次型 1. 正交矩阵 或 (定义) ,性质:、 的列向量都是单位向量,且两两正交,即 ; 、若 为正交矩阵,则 也为正交阵,且 ; 、若 、 正交阵,则 也是正交阵;注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化;2. 施密特正交化: ;;3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交;4. 、 与 等价 经过初等变换得到 ;, 、 可逆;, 、 同型;、 与 合同 ,其中可逆;与 有相同的正、负惯性指数;、 与 相似 ;5. 相似一定合同、合同未必相似;若 为正交矩阵,则 , (合同、相似的约束条件不同,相似的更严格) ;6. 为对称阵,则 为二次型矩阵;7. 元二次型 为正定:的正惯性指数为 ;与 合同,即存在可逆矩阵 ,使 ;的所有特征值均为正数;的各阶顺序主子式均大于 0;(必要条件)