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1、数论初步(一)主讲老师：李晓均整数的整除性定义：设 a，b 为二整数，且 b，如果有一整数 c，使 abc，则称 b 是 a 的约数，a是 b 的倍数，又称 b 整除 a，记作 b|a.显然，能整除任意整数，任意整数都能整除.性质：设 a，b，c 均为非零整数，则若 c|b，b|a，则 c|a.若 b|a，则 bc|ac若 c|a，c|b，则对任意整数 m、n，有 c|manb若 b|ac，且(a，b)1，则 b|c证明：因为(a，b)1则存在两个整数 s，t，使得asbt1 ascbtcc b|ac b|asc b|(ascbtc) b|c若(a，b)1，且 a|c，b|c，则 ab|c证明
2、：a|c，则 cas(sZ)又 b|c，则 cbt(tZ)又(a，b)1 sbt(tZ)于是 cabt即 ab|c若 b|ac，而 b 为质数，则 b|a，或 b|c(ab)|(anbn)(nN)，(ab)|(anbn)(n 为奇数)整除的判别法：设整数 N121n1aaaaL.2|a12|N ， 5|a15|N.3|a1a2an 3|N9|a1a2an 9|N.4| 4|N12aa25| 25|N12aa.8|8|N123aaa125|125|N123aaa7|7|N41nnaaaL123aaa11|11|N41nnaaaL123aaa11|(a2n1a2n1a1)(a2na2n2a2) 1
3、1|N13|13|N41nnaaaL123aaa推论：三个连续的整数的积能被整除.例题：1.设一个五位数，其中 db3，试问 a，c 为何值时，这个五位数被 11 整除.dacba解：11|dacba 11|acdba即 11|c3 c81a9，且 aZ2.设 72|，试求 a，b 的值.b673a解：7289，且(8，9)1 8|，且 9|b673ab673a 8| b6b73且 9|a6736即 9|22a a53.设 n 为自然数，A3237n632n855n235n，求证:1985|A.证明：19853975A(3237n632n)(855n235n)(3237632)u(855235
4、)v(u，vZ)5521u5124v5|A又 A(3237n855n)(623n235n)(3237855)s(623235)t(s，tZ)3976s397t 397A又(397,5)13975A即 1985A4.证明：没有 x，y 存在，使等式 x2y21995(x，yZ)成立.证：假设有整数 x，y 存在，使 x2y21995 成立。x2，y2被除余数为或.x2y2被除余数为，或.又1995 被除余数为.得出矛盾，假设不成立.故没有整数 x，y 存在，使 x2y21995 成立.费马小定理：若 p 是素数，(m，p)1则 p|mp115.试证：9999 能被 13 整除.12 个证明：10
5、19,100199,101219999.12 个又（10,13）=113(101311),即 13(10121)13 9999.12 个6.请确定最小的正整数 A，其末位数是 6，若将未位的 6 移至首位，其余数字不变，其值变为原数的 4 倍.解：设该数为 A，其中 a1612n1nnaaaaL令 x22n1nnaaaaL则 Ax1066x于是 4A610n1xx6即有 410x24610n1xx13)410(21n (2，13)1，x 是整数 13|(10n14)n1，2 时，10n1410 显然不满足条件n3 时，10n1496 不满足条件n4 时，10n14996 不满足条件n5 时，1
6、0n149996 不满足条件n6 时，10n1499996 满足条件 x1538413999962即 A1538467.一个正整数，如果用进制表示为，如果用进制表示为，请用 10 进制表示这个数.abccba解：由题意知：0a,c4,0b4,设这个正整数为 n,则na72b7c, n=c52b5aabccba49a7bc25c5ba48a2b24c0b12(c2a)12b,又0b4b0, c2a当 a1,c2 时，n51当 a2,c4 时，n102练习：1.证明：设 N1988198819861986，则 1987N2.设 n 是自然数，求证 n5n 可被 30 整除.3.请确定最小的正整数 A，其末位数为 2，若将末位数 2 移至首位，其余数字不变，则是原数的 2 倍.4.一个正整数，若用 9 进制表示为，若用 7 进制表示为，请用 10 进制表示此数.abccba5.五位数能被 4 整除，最末两位组成的数能被 6 整除，求此五位数.67aa4a7相关网址：http:/
