《大地测量学基础：第四章 地球椭球数学变换（8-9节）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大地测量学基础：第四章 地球椭球数学变换（8-9节）（107页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.8 地图数学投影变换的基本概念地图数学投影变换的基本概念 1、地地图数学投影数学投影变换的意的意义和投影方程和投影方程 所谓地图数学投影，简略地说来就是将椭球面上元素所谓地图数学投影，简略地说来就是将椭球面上元素(包括坐标，方位和距离包括坐标，方位和距离)按一定的数学法则投影到平按一定的数学法则投影到平面上，研究这个问题的专门学科叫地图投影学。面上，研究这个问题的专门学科叫地图投影学。投影变换的基本概念投影变换的基本概念1 2 、地图投影的变形地图投影的变形1.长度比 : 长度比长度比m就是投影面上一段无限小的微分线段就是投影面上一段无限小的微分线段ds，与椭球面上相应的微分线段与椭球面上
2、相应的微分线段dS二者之比。二者之比。 不不同点上的长同点上的长度比不相同，而且同一点上不同方向的长度比也不相同度比不相同，而且同一点上不同方向的长度比也不相同 投影变换的基本概念投影变换的基本概念22.主方向和变形椭圆主方向和变形椭圆 投影后一点的长度比依方向不同而变化。其中最大及最投影后一点的长度比依方向不同而变化。其中最大及最小长度比的方向，称为主方向。小长度比的方向，称为主方向。 在椭球面的任意点上，必定有一对相互垂直的方向，它在椭球面的任意点上，必定有一对相互垂直的方向，它在平面上的投影也必是相互垂直的。这两个方向就是长度比在平面上的投影也必是相互垂直的。这两个方向就是长度比的极值方
3、向，也就是主方向。的极值方向，也就是主方向。 投影变换的基本概念投影变换的基本概念3 投影变换的基本概念投影变换的基本概念 以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个长以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个长度比的极值为长、短半轴的椭圆，称为变形椭圆。度比的极值为长、短半轴的椭圆，称为变形椭圆。4 3.投影变形 1 1）长度变形长度变形 投影变换的基本概念投影变换的基本概念52）方向变形方向变形 投影变换的基本概念投影变换的基本概念63）角度变形：角度变形： 角度变形就是投影前的角度角度变形就是投影前的角度u u 与投影后对应角度与投影后对应角度u u之差之差 投影变换的基本概念投
4、影变换的基本概念74）面积变形：面积变形：P-1P-14.8.3 4.8.3 地图投影的分类地图投影的分类1.1.按变形性质分类按变形性质分类1 1）等角投影：投影前后的角度不变形，投影的长度比等角投影：投影前后的角度不变形，投影的长度比与方向无关，即某点的长度比是一个常数，又把等与方向无关，即某点的长度比是一个常数，又把等角投影称为正形投影。角投影称为正形投影。 2）等积投影：投影前后的面积不变形等积投影：投影前后的面积不变形. . 3）任意投影：既不等角，又不等积任意投影：既不等角，又不等积. . 投影变换的基本概念投影变换的基本概念82.按经纬网投影形状分类按经纬网投影形状分类 1）方位
5、投影方位投影 取一平面与椭球极点相切，取一平面与椭球极点相切，将极点附近区域投影在该将极点附近区域投影在该平面上。纬线投影后为以平面上。纬线投影后为以极点为圆心的同心圆，而极点为圆心的同心圆，而经线则为它的向径，且经经线则为它的向径，且经线交角不变。线交角不变。 Light Source投影变换的基本概念投影变换的基本概念9 2）圆锥投影圆锥投影: 取一圆锥面与椭球某条纬线相切，将纬取一圆锥面与椭球某条纬线相切，将纬圈附近的区域投影于圆锥面上，再将圆锥面沿某条经线剪圈附近的区域投影于圆锥面上，再将圆锥面沿某条经线剪开成平面。开成平面。 Standard LineTrue Length Exag
6、gerated投影变换的基本概念投影变换的基本概念103）圆柱圆柱(或椭圆柱或椭圆柱)投影投影 取圆柱取圆柱(或椭圆柱或椭圆柱)与椭球赤道相切，将赤道附近区域投与椭球赤道相切，将赤道附近区域投影到圆柱面影到圆柱面(或椭圆柱面或椭圆柱面)上，然后将圆柱或椭圆柱展开成上，然后将圆柱或椭圆柱展开成平面。平面。 Standard LineTrue Length Exaggerated投影变换的基本概念投影变换的基本概念113.3.按投影面和原面的相对位置关系分类按投影面和原面的相对位置关系分类1)1)正正轴轴投投影影：圆圆锥锥轴轴( (圆圆柱柱轴轴) )与与地地球球自自转转轴轴相相重重合合的的投投影影
7、，称称正正轴轴圆圆锥锥投投影影或正或正轴圆轴圆柱投影。柱投影。2)2)斜斜轴轴投投影影：投投影影面面与与原原面面相相切切于于除除极极点和赤道以外的某一位置所得的投影。点和赤道以外的某一位置所得的投影。3)3)横横轴轴投投影影：投投影影面面的的轴轴线线与与地地球球自自转转轴轴相相垂垂直直，且且与与某某一一条条经经线线相相切切所所得得的投影。比如横的投影。比如横轴椭圆轴椭圆柱投影等。柱投影等。 除除此此之之外外，投投影影面面还还可可以以与与地地球球椭椭球球相相割割于于两两条条标标准准线线，这这就就是是所所谓谓割割圆圆锥锥，割割圆圆柱柱投影等。投影等。投影变换的基本概念投影变换的基本概念124.9
8、高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系 1、 高斯投影概述高斯投影概述v 控制测量对地图投影的要求控制测量对地图投影的要求 （1）采用等角投影）采用等角投影(又称为正形投影又称为正形投影) （2）长度和面积变形不大）长度和面积变形不大 （3）能按高精度的、简单的、同样的计算公式把各区）能按高精度的、简单的、同样的计算公式把各区域联成整体域联成整体 v 高斯投影描述高斯投影描述 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系13高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系 想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线(此子午线称为中央子午线或轴子午
9、线此子午线称为中央子午线或轴子午线)相切，椭圆柱的中心轴通过椭相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面 。14投影带：投影带：以中央子午线为轴，两边对称划出一定区域作为投影以中央子午线为轴，两边对称划出一定区域作为投影范围；范围； 1）分带原则）分带原则 （1）限制长度变形使其不大于测图误差；）限制长度变形使其不大于测图误差； （2）带数不应过多以减少换带计算工作。）带数不应过多以减少换
10、带计算工作。l 我国规定按经差我国规定按经差6和和3进行投影分带。进行投影分带。高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系2）分带方法）分带方法15高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系 6带带: 自自0子午线起每隔经差子午线起每隔经差6自西向东分带，依次编号自西向东分带，依次编号1，2，3，60。我国。我国6带中央子午线的经度，由带中央子午线的经度，由73起每隔起每隔6而至而至135，共计，共计11带，带号用带，带号用n表示，中央子午线的经度用表示，中央子午线的经度用表示。表示。 带号及中央子午线经度的关系：带号及中央子午线经度的关系： 3带带: 自东经自东经1.5子午线起，每隔子午线起，每隔3设立
11、一个投影带，设立一个投影带， 依次编号为依次编号为1，2，3， ， 120带；中央子午线经度依次为带；中央子午线经度依次为3, 6, 9, , 360。16 .5带或任意带带或任意带: 工程测量控制网也可采用工程测量控制网也可采用.5带或任意带，带或任意带，但为了测量成果的通用，需同国家但为了测量成果的通用，需同国家6或或3带相联系。带相联系。 n=L/3(四舍五入四舍五入)3高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系带号及中央子午线经度的关系：带号及中央子午线经度的关系：17高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系例：某控制点例：某控制点 P 点点按按3带：带：按按6带：带：18高斯平面直角坐标系高斯
12、平面直角坐标系 试分别计算北京与武汉两点在试分别计算北京与武汉两点在3带和带和6带其所属的带号及中央带其所属的带号及中央子午线经度。子午线经度。北京：北京：武汉：武汉：北京：北京：3带带6带带19武汉武汉 ：3带带 6带带高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系20高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系21 在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴。投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴。 高斯平面直角
13、坐标系高斯平面直角坐标系226带与带与3带的区别与联系区别带的区别与联系区别l 6带：从带：从 0子午线起划分，带宽子午线起划分，带宽6 ，用于中小比例尺（，用于中小比例尺（1：25000以下）测图；以下）测图；l 3带：从带：从 1.5子午线起划分，带宽子午线起划分，带宽3，用于大比例尺（如，用于大比例尺（如1：10000）测图。）测图。l 3带是在带是在6带的基础上划分的，带的基础上划分的，6带的中央子午线及分带子午带的中央子午线及分带子午线均作为线均作为3带的中央子午线，其带的中央子午线，其奇数带奇数带的中央子午线与的中央子午线与6带带中央中央子午线子午线重合，重合，偶数带偶数带与与分带
14、子午线分带子午线重合。重合。高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系23高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系l国家统一坐标国家统一坐标在我国在我国x坐标都是正的，坐标都是正的，y坐标的最大值坐标的最大值(在赤道上在赤道上)约为约为330km。为为了避免出现负的横坐标，规定在横坐标上加上了避免出现负的横坐标，规定在横坐标上加上500 000m。此外还此外还应在坐标前面再冠以带号。这种坐标称为应在坐标前面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标国家统一坐标。例如：例如： Y=19 123 456.789m该点位在该点位在19带内，横坐标的真值：首先去掉带号，再减去带内，横坐标的真值：首先去掉带号，再减去
15、500 000m，最后得最后得 y = -376 543.211(m)。 24高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系分带存在的问题？分带存在的问题？边界子午线两侧的控制点与地形图位于不同的边界子午线两侧的控制点与地形图位于不同的投影带内，使得地形图不能正确拼接，采用带重叠的方法解决此投影带内，使得地形图不能正确拼接，采用带重叠的方法解决此问题。问题。25高斯投影的优点高斯投影的优点: : 1 1、投影带每一带坐标系统具有一致性、投影带每一带坐标系统具有一致性, ,对称性对称性; ; 2 2、计算公式可适用于任一带的计算、计算公式可适用于任一带的计算. .高斯投影的缺点高斯投影的缺点: : 1.
16、1.出现带与带之间的不连续出现带与带之间的不连续, ,会带来地形图拼接的问题会带来地形图拼接的问题, ,所以应计所以应计 算两个带的坐标算两个带的坐标; ; 2. 2.靠近赤道变形越大靠近赤道变形越大, ,两极变形越小两极变形越小. .高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系262、椭球面元素化算到高斯投影面、椭球面元素化算到高斯投影面27 3) 将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。这是通过计算组成的三角形内角。这是通过计算方向的曲率改化方向的曲率改化即方向改化来即方向改化来实现的。实现的。椭球面三角系归算到高斯投影
17、面的计算椭球面三角系归算到高斯投影面的计算 1）将起始点）将起始点P的大地坐标的大地坐标(L，B)归算为高斯平面直角坐标归算为高斯平面直角坐标 x,y；为了检核还应进行反算，亦即根据为了检核还应进行反算，亦即根据 x,y反算反算B，L，这项工作这项工作统称为统称为高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算。 2）将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边）将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边PK的坐标方位角，这是通过计算该点的的坐标方位角，这是通过计算该点的子午线收敛角子午线收敛角及及方向方向改化改化实现的。实现的。28 因此将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改化、距因此将椭球
18、面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改化、距离改化和子午线收敛角等项计算工作。离改化和子午线收敛角等项计算工作。 5）当控制网跨越两个相邻投影带，以及为将各投影带联成统）当控制网跨越两个相邻投影带，以及为将各投影带联成统一的整体，还需要进行平面坐标的一的整体，还需要进行平面坐标的邻带换算邻带换算。 4) 将椭球面上起算边将椭球面上起算边PK的的长度长度S归算归算到高斯平面上的直线到高斯平面上的直线长度长度s。这是通过计算距离改化这是通过计算距离改化实现的。实现的。29正形投影的一般条件正形投影的一般条件4.9.2 正形投影的一般条件正形投影的一般条件1、长度比的通用公式、长度比的通用公式30正
19、形投影的一般条件正形投影的一般条件31正形投影的一般条件正形投影的一般条件将上述两式代入（4-334）式，整理，令32正形投影的一般条件正形投影的一般条件33正形投影的一般条件正形投影的一般条件2、柯西、柯西.黎曼条黎曼条件件34正形投影的一般条件正形投影的一般条件正形条件正形条件 m m与与 A A 无关，即满足：无关，即满足：35正形投影的一般条件正形投影的一般条件则有：则有：柯西柯西-黎曼条件黎曼条件36正形投影的一般条件正形投影的一般条件考虑到考虑到F=0，E=G，长度比公式简化为，长度比公式简化为37把把 代入（代入（4-347），考虑下式），考虑下式正形投影的一般条件正形投影的一般
20、条件38柯西柯西-黎曼条件的另一种解释方法黎曼条件的另一种解释方法正形投影的一般条件正形投影的一般条件39正形投影的一般条件正形投影的一般条件l如果点在子午线上：如果点在子午线上：L=常数，常数，dl=0l如果点在平行圈上：如果点在平行圈上：B=常数常数 dB=040正形投影的一般条件正形投影的一般条件 三角形三角形ABB与与ACC相似相似41高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算4.9.3 高斯投影坐标正反算公式高斯投影坐标正反算公式 高斯投影必须满足以下三个条件：高斯投影必须满足以下三个条件： (1)中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后为直线； (2)中央子午线投影后长度不变；中央子午线投影
21、后长度不变； (3)投影具有正形性质，即正形投影条件。投影具有正形性质，即正形投影条件。高斯投影坐标正算公式推导如下：高斯投影坐标正算公式推导如下：1、高斯投影坐标正算公式、高斯投影坐标正算公式42高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算1) 由由第一个条件第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，即中央可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。x 为为 l 的偶函数，的偶函数，而而 y 则为则为 l 的奇函数。的奇函数。2) 由由第三个条件第三个条件正形投影条件正形投影条件43由恒等式两边对应系数相等，建立求
22、解待定系数的递推公式由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的递推公式高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算44高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算) 由第二条件由第二条件可知，位于中央子午线上的点，投影后的纵坐可知，位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标标 x 应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。即当即当 l=0 时时,m0=? 45高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算46高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算将各系数代入，略去高次项，精度为将各系数代入，略去高次项，精度为0.001m47高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算2、高斯投影坐标反算公式、高斯投影坐标反算公式
23、在高斯投影坐标反算时，原面是高斯平面，投影面是椭球面，在高斯投影坐标反算时，原面是高斯平面，投影面是椭球面，已知的是平面坐标已知的是平面坐标 (x, y)，要求的是大地坐标要求的是大地坐标 (B，L)，相应地有如相应地有如下投影方程：下投影方程：同正算一样，对投影函数提出三个条件。同正算一样，对投影函数提出三个条件。48高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算1) 由由第一个条件第一个条件可知可知2) 由由第三个条件，正形条件第三个条件，正形条件49高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算50高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算3) 由第二条件由第二条件依次求各系数依次求各系数因为因为所以所以51高斯投影坐标反算
24、高斯投影坐标反算52高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算53高斯投影几何解释高斯投影几何解释3、高斯投影正反算公式的几何解释、高斯投影正反算公式的几何解释54高斯投影几何解释高斯投影几何解释55高斯投影的特点高斯投影的特点(1) 当当 l 等于常数时，随着等于常数时，随着B的增加的增加 x 值增大，值增大，y 值减小；无论值减小；无论 B 值为值为正或负，正或负，y 值不变。这就是说，椭球面上除中央子午线外，其他子午值不变。这就是说，椭球面上除中央子午线外，其他子午线投影后，均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同时还对称于中央线投影后，均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同时还对称于中央子午线和赤道。
25、子午线和赤道。 高斯投影的特点：高斯投影的特点：56高斯投影的特点高斯投影的特点(2) 当当 B 等于常数时，随着等于常数时，随着 l 的增加，的增加，x 值和值和 y 值都增大。所以值都增大。所以在椭球面上对称于赤道的纬圈，投影后仍成为对称的曲线，同时与子在椭球面上对称于赤道的纬圈，投影后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影曲线互相垂直凹向两极。午线的投影曲线互相垂直凹向两极。(3) 距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，长度变形距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，长度变形也愈大。也愈大。574.9.4 高斯投影坐标计算算例高斯投影坐标计算算例1) WGS84 (6378137
26、 , 298.257223563) 答案答案 A001: 2463376.6502 49592.07212) GDZ80 (6378140,298.257) 答案答案 A001: 2463377.7973 49592.09553) BJ54 (6378245,298.3) 答案答案 A001: 2463420.5657 49592.9084A001：58平面子午线收敛角平面子午线收敛角4.9.5 平面子午线收敛角公式平面子午线收敛角公式 1、平面子午线收敛角的定义、平面子午线收敛角的定义592、公式推导公式推导 1）由大地坐标由大地坐标L、B计算平面子午线收敛角计算平面子午线收敛角的公式的公式
27、 平面子午线收敛角平面子午线收敛角60(1)(1)为为l l的奇函数，而且的奇函数，而且l l愈大，愈大，也愈大；也愈大；(2)(2)有有正正负负，当当描描写写点点在在中中央央子子午午线线以以东东时时，为为正正；在在西西时，时，为负；为负；(3)(3)当当l l不变时，则不变时，则随纬度增加而增大随纬度增加而增大平面子午线收敛角平面子午线收敛角例用级数展开式：例用级数展开式：61平面子午线收敛角平面子午线收敛角2.平面坐标平面坐标 x, y 计算平面子午线收敛角计算平面子午线收敛角的公式的公式62方向改化公式方向改化公式4.9.6 方向改化公式方向改化公式63方向改化公式方向改化公式 在球面上
28、四边形在球面上四边形ABED的内角之和等于的内角之和等于 360+，由于是等角投影，由于是等角投影，所以这两个四边形内角之和应该相等，即所以这两个四边形内角之和应该相等，即1、方向改化近似公式的推导、方向改化近似公式的推导64方向改化公式方向改化公式65方向改化较精密公式方向改化较精密公式 方向改化公式方向改化公式66方向改化公式方向改化公式674.9.7 距离改化公式距离改化公式681) s与与D的关系的关系距离改化公式距离改化公式69当当取最大取最大40，s=50km时，代入上式得。因此，用时，代入上式得。因此，用D代替代替s在在最不利情况下，误差也不会超过最不利情况下，误差也不会超过1m
29、m。而实际上，边长要比而实际上，边长要比50km短得多，此时误差将会更小。所以在应用上，完全可以短得多，此时误差将会更小。所以在应用上，完全可以认为大地线的平面投影曲线的长度认为大地线的平面投影曲线的长度s等于其弦线长度等于其弦线长度D 距离改化公式距离改化公式702、长度比和长度变形、长度比和长度变形1）用大地坐标）用大地坐标 (B , l) 表示的长度比表示的长度比m的公式的公式距离改化公式距离改化公式712）用平面坐标）用平面坐标 (x , y)表示的长度比表示的长度比m的公式的公式距离改化公式距离改化公式近似公式：近似公式：精确公式：精确公式：72(1) 长度比长度比 m 只与点的位置
30、只与点的位置 (B，l)或或 (x , y) 有关。有关。(2) 中央子午线投影后长度不变。中央子午线投影后长度不变。 (3) 当当 y0 (或或 l)时，时， m 恒大于恒大于1。 (4) 长度变形长度变形 (m-1) 与与y（或或 l）成比例地增大成比例地增大 ,而对某一条子午而对某一条子午线来说，在赤道处有最大的变形线来说，在赤道处有最大的变形 。73将椭球面上大地线长度将椭球面上大地线长度S描写在高斯投影面上，变为平面长度描写在高斯投影面上，变为平面长度D。3、距离改化公式、距离改化公式适合三、四等网适合三、四等网适合一等网适合一等网距离改化公式距离改化公式适合二等网适合二等网74(1
31、) 位于两个相邻带边缘地区并跨越两个投影带位于两个相邻带边缘地区并跨越两个投影带(东、西带东、西带)的控制的控制网网 4.9.8 高斯投影的邻带坐标换算高斯投影的邻带坐标换算75邻带换算方法：邻带换算方法：采用高斯投影正反算。采用高斯投影正反算。 (2)在分界子午线附近地区测图时，往往需要用到另一带的三在分界子午线附近地区测图时，往往需要用到另一带的三角点作为控制，因此必须将这些点的坐标换算到同一带中角点作为控制，因此必须将这些点的坐标换算到同一带中 。 (3)当大比例尺当大比例尺(1 10 000或更大或更大)测图时，特别是在工程测量测图时，特别是在工程测量中，要求采用中，要求采用3带、带、
32、1.5带或任意带，而国家控制点通常只有带或任意带，而国家控制点通常只有6带带坐标，这时就产生了坐标，这时就产生了6带同带同3带带(或或1.5带、任意带带、任意带)之间的相互坐之间的相互坐标换算问题。标换算问题。76算例：算例：已知点已知点 x=2789505.2662, y=67803.3799 , L0=114o30 a=6378245, f =298.3求该点在中央子午线求该点在中央子午线 L0=115o30 的坐标的坐标？ 参考答案：参考答案：B=25。123500 L=115。102200 x=2789375.815 y=32977.49177最初在建立坐标系时,由于技术条件的限制,定
33、向、定位精度有限，导致最终所定义的坐标系与国家坐标系在坐标原点和坐标轴的指向上有所差异；出于成果保密等原因，在按国家坐标系进行数据处理后，对所得的成果进行了一定的平移和旋转，得出独立坐标系；为了减少投影变形，进行投影的中央子午线的变换；为了满足工程的要求或工程施工方便而建立独立坐标系。 地方坐标系特点：地方坐标系特点：n平面坐标系，投影面根据工程需要定义；n坐标轴指向根据工程需要定义；n坐标轴原点根据工程需要定义。1、地方独立坐标系：、地方独立坐标系： 独立坐标系与城市坐标系独立坐标系与城市坐标系78城市独立坐标系城市独立坐标系依据依据城市测量规范城市测量规范原则边长投影长度变形不大于原则边长
34、投影长度变形不大于2.5cm/km(1/42.5cm/km(1/4万万) )l高程归化改正将地面上观测的长度元素归算到参考椭球面上而产生的改正l高斯投影改正将参考椭球面上的长度经高斯投影归算到高斯平面上而产生的改正类型类型l国家统一坐标系l抵偿坐标系（中央子午线与国家系相同，边长投影面与国家系不同）l任意带坐标系（中央子午线与国家系不同，边长投影面与国家系可同可异）2、城市独立坐标系：、城市独立坐标系：79依据依据城市测量规范城市测量规范原则边长投影长度变形要考虑以下两因素：原则边长投影长度变形要考虑以下两因素：高程归化改正高程归化改正将地面上观测的长度元素归算到参考椭球面上而将地面上观测的长
35、度元素归算到参考椭球面上而产生的改正产生的改正高斯投影改正高斯投影改正将参考椭球面上的长度经高斯投影归算到高斯平将参考椭球面上的长度经高斯投影归算到高斯平面上而产生的改正面上而产生的改正80n边长的高程归化改正边长的高程归化改正 81高程归化改正变形高程归化改正变形：为归算边高出参考椭球面的平均高程：为归算边方向参考椭球法截弧的曲率半径82高斯投影改正变形为归算边两端点横坐标平均值总是正值,表明将投影面上的长度投影到高斯面上,总是变长的83n 确定坐标系的原则：确定坐标系的原则： 1)1)按面积大小来确定是否采用高斯平面坐标系；按面积大小来确定是否采用高斯平面坐标系； 2) 2)按长度变形值来
36、决定是否采用国家按长度变形值来决定是否采用国家3 3度带高斯平面直角坐标系；度带高斯平面直角坐标系； 如果不考虑边长的归化改正，仅考虑边长的投影改正，城市如果不考虑边长的归化改正，仅考虑边长的投影改正，城市控制网要求长度变形小于控制网要求长度变形小于1/400001/40000，相当于离中央子午线小于，相当于离中央子午线小于45km45km。否则，就不能采用否则，就不能采用33带坐标。带坐标。城市坐标系的确定原则城市坐标系的确定原则84总变形：总变形：某测区海拔, 最边缘离中央子午线100km当D=1000m时，则有85减小投影变形的方法减小投影变形的方法总变形3）同时改变和1）改变：任意带坐
37、标系2）改变：抵偿坐标系：高程抵偿面的任意带坐标系n 减小投影变形的方法减小投影变形的方法86关键确定中央子午线特点：中央子午线与国家系不同边长投影面与国家系相同任意带坐标系的确定任意带坐标系的确定任意带坐标系的确定任意带坐标系的确定: :87关键确定抵偿投影面特点：l中央子午线与国家系相同l边长投影面与国家系不同 黄海平均海水面 城市平均高程面 抵偿投影面n方法：l传统做法使测区最边缘处长度变形为零l使单位长度的最大变形最小l使单位长度变形平方和最小抵偿坐标系的确定抵偿坐标系的确定抵偿坐标系的确定抵偿坐标系的确定: :88 设测区中心点的3 横坐标为 y0，要使中心点投影后的长度比为0，必须
38、使投影面比测区平均高程面低H，即：解得：若测区的平均高程为Hm ，则抵偿面高程 H0 为：抵偿坐标系抵偿坐标系89关键确定中央子午线, 确定抵偿投影面特点：中央子午线与国家系不同边长投影面与国家系不同高程抵偿面的任意带坐标系的确定高程抵偿面的任意带坐标系的确定高程抵偿面任意带坐标系的确定高程抵偿面任意带坐标系的确定: :90 设某边长的平均高程为Hs ，平均横坐标为y0 +y，要使该边长的投影变形小于1/40000，满足条件： 对于平坦测区，各边长的平均高程与测区平均高程之差对投影的影响可忽略，则有：即：91 将地球平均半径R = 6370km，y0 = 60km，代入上面两式，可算得： y
39、= 15 km， y = -20 km优点：坐标与国家坐标接近，距离改化可忽略缺点：投影适用范围小，边缘区域的长边要加方向改化，应用不方便。92p 投影面的高程；p 中央子午线的经度或其所在的位置；p 起始点坐标（起始点坐标加常数）和起始方位角。确定平面坐标系的三大要素确定平面坐标系的三大要素确定平面坐标系的三大要素确定平面坐标系的三大要素:93独立网椭球变换方法独立网椭球变换方法 GPS技术已被广泛应用于独立坐标的建立。众所周知，独立坐标一般应用于城市测量与工程测量领域，独立坐标系的主要特点限制长度变形，一般是以测区的平均高程面（或抵偿高程面）作为坐标的投影面，且要求实地量测边长与坐标反算边
40、长应满足一定的限差（城市测量要求每公里长度变形小于2.5cm），对于控制面积较大的区域，为了限制边长形变，一般选择测区中央子午线为高斯投影中央子午线；另外采用GPS技术建立独立坐标系必然涉及到椭球的变换问题， p 椭球变换方法椭球变换方法1 广义大地坐标微分方程广义大地坐标微分方程 新大地坐标系建立考虑到椭球的定向与定位不同，椭球参数的变化以及两坐标系统尺度的差异，常采用广义大地坐标微分公式。94 从国家坐标系向独立坐标系转换，原则上保持坐标原点、坐标轴的指向以及两坐标系的尺度不变，则广义大地坐标微分方程可简化为：独立网椭球变换方法独立网椭球变换方法 95因为，可得，用第一偏心率的微分替代，则
41、上式变为： 独立网椭球变换方法独立网椭球变换方法 96 2几种常见的椭球变换方法几种常见的椭球变换方法 假设某基准点 正常高为 ，投影面的正常高为 ，测区平均高程异常 ，则基准点的大地高为 ，投影面的大地 ，设该点在参考椭球面上的大地经纬度为 和 。2.1 椭球膨胀法椭球膨胀法椭球膨胀法只改变参考椭球的长半径，不改变参考椭球的扁率 一般采用下列三种方法：作为长半径的变动量，即膨胀法2：（同济大学模型）以参考椭球的平均曲率半径变动量反求椭球长半径的变动量。假设在基准点 处对应于独立坐标的椭球面的平均曲率半径膨胀法1：以独立坐标投影面的大地高独立网椭球变换方法独立网椭球变换方法 97则：由于新椭球
42、的中心、轴向及尺度不变，因此各点大地坐标的变化量：独立网椭球变换方法独立网椭球变换方法98由膨胀法1可得由此可见，不论为何值，独立坐标系对应椭球面总是低于平均高程面，在平均高程面较高的高纬度地区，其差值相差23米。 由膨胀法2可得独立网椭球变换方法独立网椭球变换方法膨胀法3：（武测模型）99 将上式按二项式展开，略去以上的高次项，化简得到结论：由上式可知，独立坐标系椭球面不仅基准点有关，而且与控制网的纬度有关，取网的平均纬度计算，当 ，独立坐标系椭球面总是高于平均高程面；独立坐标系椭球面总是低于平均高程面。独立网椭球变换方法独立网椭球变换方法1002.2 椭球平移法椭球平移法 将参考椭球沿基准
43、点 的法线方向平移 ，使得基准点与边长归算高程面重合，不改变椭球元素，即 ，这样位置基准点的经纬度不变，大地高变化 ，椭球中心平移使得点的三维坐标发生变化 则大地坐标的变化独立网椭球变换方法独立网椭球变换方法1012.3 椭球变形法椭球变形法以基准点的原椭球面的法线方向为其法线方向，沿法线方向量取 ,使其该点的大地高为 ,在 高程面作椭球面，变换其扁率，保持基准点的大地经纬度 和 不变，按两椭球基准点三维直角坐标相等条件求解独立坐标系所对应的椭球参数，相应的计算公式为：独立网椭球变换方法独立网椭球变换方法102各点大地经纬及大地高的变动量为：独立网椭球变换方法独立网椭球变换方法 103三、坐标
44、转换方法三、坐标转换方法1）确定测区平均高程面（或高程抵尝面）高程和高程异常值；，、3）计算新椭球下大地坐标的变化量，计算各点大地坐标、 4）选择独立坐标系中央子午线，以新椭球元素和新的大地坐标按高斯投影计算测区高程面平面坐标。 2）选择椭球变换方法，计算椭球元素变化量5）如需要与原独立坐标系相联系，通过平移与旋转或进行相似变换。104四、算例分析四、算例分析 ，北纬某城市控制网改造工程在测区布设82个GPS点，测区范围经差为总面积大约为2000平方公里。高程约50400米。为了得到独立坐标系的坐标，经GPS网的约束平差得到新北京54坐标，然后将54坐标作椭球变换（投影高程面为海拔5米，高程异
45、常取52米）得到独立坐标系对应的椭球面坐标。由于篇幅限制，取其中3个点计算结果加以说明，选择1号点作为位置基准点，椭球变换结果见表1和表2。105表1 平均高程面坐标与大地坐标变化量结果比较表点点号号椭球膨胀法椭球膨胀法1椭球膨胀法椭球膨胀法2椭球平移法椭球平移法椭球变换法椭球变换法12496680.2672496680.3322496657.8202496680.271508207.160508207.173508202.623508207.1620.0000004390.000000440.000000000.00000000-56.972-57.136 -57.000-57.000225
46、02077.0182502077.0832502054.5712502077.021516686.029516686.042516681.492516686.0310.0000004390.0000004410.000000150.00000000-56.972-57.136 -57.000-57.00032495692.8092495692.8732495670.3622495692.812548386.276548386.290548381.739548386.2790.0000004380.00000044-0.000000070.00000000-56.972-57.136 -57.000-57.000106边号号椭球膨球膨胀法法1椭球膨球膨胀法法2椭球平移法球平移法椭球球变换法法1-210050.67910050.67910050.67910050.67857.312454057.312454057.312454057.31245562-332336.725 32336.72632336.72532336.726101.2311966101.2311970101.2311966101.2311965 表2 平均高程面边长与方位的比较 107
