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1、带电粒子在磁场中运动的多解性问题例析浙江省宁波市北仑中学 贺贤伟 315800带电粒子在磁场中的运动问题是高考的难点和热点，特别是新的物理考试大纲将动量要求大幅度降低后，这类问题在高考中地位必将更为突出。由于带电粒子在电磁场中的运动受到多种因素的影响，往往会会形成多解的情况，而学生在解题的过程中由于思维不缜密常常不能解答完整。笔者在教学过程中，对形成此类问题多解的原因进行总结和归类，要求学生在解答过程中参照这些原因一一分析，取得了较好的教学效果。一、带电粒子电性不确定形成多解一、带电粒子电性不确定形成多解例题 1：如图 1 所示，L1和 L2是距离为 D 的两平行虚线，L1上方和 L2下方都是
2、垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场，A、B 两点都在 L2上.质量为 m，电量为 q 的带电粒子从 A点以初速 v 斜向上与 L2成 30角射出，经过偏转后第一次又经过 L2上的某点 B，不计重力影响，求 AB 之间的距离分析：若粒子带正电，则轨迹为图 2 中 1 轨迹所示， qmv3260230tan2AB0 01BDRCOSD若粒子带负电，则轨迹为图中 2 所示， qmv3260230tan2AB0 02BDRCOSD若题中未明确指出电性，需分情况讨论。二、磁感应强度方向不确定形成多解二、磁感应强度方向不确定形成多解例题 2：07 年全国卷 19 题如图 3 所示，一带负电的质点在
3、固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周期为 T0，轨道平面位于纸面内，质点速度方向如图中箭头所示。现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，已知轨道半径并不因此而改变，则（ ）A、若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将大于 T0B、若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将小于 T0C、若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将大于 T0D、若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将小于 T0AL1 L212OB1B2图 2v+图 3图 1分析：本题中，只说明磁场方向垂直轨道平面，那么可能的磁场方向就有两种，当磁场方向指向纸面内时，质点所受的洛仑兹力方向背离圆心，与库仑引力方向相反，则向心力减小，由可知，当轨道
4、半径 R 不变时，该质点运动周期必增大，故 A 正确，同理RTF2)2m(向心力可得，当磁场方向指向纸外时，粒子所受的洛仑兹力指向圆心，则向心力增大，故 D 也正确。题中若只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出场强强度方向，此时必须考虑场强方向不确定而形成的多解。三、带电粒子运动方向的不确定形成多解三、带电粒子运动方向的不确定形成多解例题 3：如图 4 所示，磁感应强度为 B 垂直纸面向里的匀强磁场中有一个粒子源 S,能在图示纸面上 360范围内向各个方向发射速率相等的质量为 m、带电-e 的电子；若电子的发射速率为,从点 S 射出后要击中相距 L 的 O 点，则点 SmqLBV 处电子的射出
5、方向与 OS 的夹角为多少？从 S 到点 O 的时间多少？分析：由已知条件可知电子圆周运动的半径为 rL，电子从点 S 射出后要经过点 O，则直线 SO 为圆的一条弦，有如图所示两种运动轨迹存在；（1）由于题中 SOLr，故OSO160，那么电子从点 S 的发射速度 V1的方向与 SO 所成的夹角 150，该轨迹对应运动时间为 t1；e3m5 65 BT（2）图中OSO260，故电子的发射速度 V1的方向与 SO 所成的夹角 30，该轨迹对应运动时间为 t2。e3m 61 BT带电粒子从某粒子源以一定速率射出时，速度方向往往是不确定的，在磁场中运动时形成不同的运动轨迹，从而形成多解。四、运动的
6、临界状态不确定形成多解四、运动的临界状态不确定形成多解例题 4：一质量为 m、带正电 q 的粒子（不计重力）从 O 点处沿+Y 方向以初速 0射入一个边界为矩形的匀强磁场中，磁场方向垂直于 xy 平面向里，它的边界分别为 y=0、ya、x= -1.5a,x=1.5a 如图 5 所示,改变磁感应强度 B 的大小，粒子可从磁场的不同边界面射出、并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度 会随之改变。试讨论粒子可以从哪几个边界面射出，从这几个边界面射出时磁感应强度 B 的大小及偏转角度 各在什么范围内？SOo1o2V2V1图 4yxa1.5a1.5a0v0B图 5分析：粒子做圆周运动的半径qBmvR0（1
7、）当 Ra 时，粒子将从上边界射出，此时 B,qamv0 2(2)当 aR3a/4 时粒子将从左边界射出，此时,qamvBqamv 340032(3)当时，粒子将从下边界射出，此时,=.aR43qamvB340例题 5：如图 6，一质量为 m 的带正电 q 的小球穿在一足够长的固定粗糙水平杆上，整个装置处于磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁感应强度方向如图，现给小球以向右的初速度 V,则当小球达到稳定状态时小球克服摩擦所做的功为多少？分析：（1）当 BqVmg 时，杆给小球的支持力向下，球在摩擦作用下减速，洛仑兹力减小，则支持力也减小，摩擦力减小，小球做加速度越来越小的减速运动，当小球速度减为
8、 V末mg/Bq 时，洛仑兹力等于重力，支持力为零，此后小球以 V末匀速运动，故克服摩擦力所做功为q2gm 2m 2m2m23222BVVVW末（2）当 BqVmg 时，小球一开始所受支持力为零，摩擦力也为零，故一直以 V 匀速，小球克服摩擦所做功为零（3）当 BqVmg 时, 杆给球的支持力向上，球在摩擦作用下减速，洛仑兹力减小，则支持力增大，摩擦力也增大，球做加速度越来越大的减速运动，最后小球速度减为零，故克服摩擦力所做功为2m2VW 带电粒子运动过程中，有时候临界条件并非唯一确定。比如在有边界的场中运动时，从哪个边界射出并不唯一确定；或者运动过程中稳定状态并不唯一确定，此时常常出现多解，
9、需就所有可能展开讨论。五、带电粒子运动的周期性形成多解五、带电粒子运动的周期性形成多解图 6例题 6：06 年全国卷 II.25如图 7 所示，在 x0 与 x0 的区域中，存在磁感应强度大小分别为 B1与 B2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且 B1B2。一个带负电的粒子从坐标原点 O以速度 v 沿 x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过 O点，B1与 B2的比值应满足什么条件？分析：粒子在整个过程中的速度大小恒为 v，交替地在 xy 平面内 B1与 B2磁场区域中做匀速圆周运动，轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为 m 和 q，圆周运动的半径分别为 r1和 r2
10、，有：r1 r2 1mv qB2mv qB现分析粒子运动的轨迹。如图 8 所示，在 xy 平面内，粒子先沿半径为 r1的半圆 C1运动至y 轴上离 O 点距离为 2 r1的 A 点，接着沿半径为 2 r2的半圆 D1运动至 y 轴的 O1点，O1O 距离d2（r2r1） 此后，粒子每经历一次“回旋” （即从 y 轴出发沿半径 r1的半圆和半径为 r2的半圆回到原点下方 y 轴） ，粒子 y 坐标就减小d。设粒子经过 n 次回旋后与 y 轴交于 On点。若 OOn即nd满足nd2r1 则粒子再经过半圆 Cn+1就能够经过原点，式中n1，2，3，为回旋次数。由式解得1 1nrn rn由式可得 B1、B2应满足的条件n1，2，3， 211Bn Bn而学生在解题过程中容易忽视运动的周期性，按照图 9 解，从而得到的不完整的结论。在例题 1 中如果去掉第2112BB一次经过 L2的条件，则也需要考虑这种运动的周期性。o XY图 9xyB2B1Ov图 7图 8带电粒子在复合场中运动时，或与碰撞相结合时，其运动往往具有周期性，常常形成与自然数相关的多解。教师在教学过程中要求学生解题时按以上因素逐一分析，不仅可以很大程度上避免出现解题不完整的情况，同时也有助于学生思维严密性的养成。对于带电粒子在电场中的运动，也存在着类似的多解问题。
