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1、麻省理工学院 电气工程与计算机科学系 6.243j（2003秋季）非线性系统动力学A.Megretski讲座5：李亚普诺夫函数和能量函数1这一讲介绍了使用李亚普诺夫函数及其广义性原理进行系统分析。5.1 认识李亚普诺夫函数对于给定系统，构造李亚普诺夫函数的方法很多，这些方法间只有些微 的差别。依据假设条件， 可以得到很多系统行为的结论。5.1.1李亚普诺夫函数和能量函数简介通常，李亚普诺夫函数是系统状态的实值函数，它对系统行为集内的每 个信号都是单调非增的。 更为普遍地， 能量函数也是系统状态的实值函数， 它 存在明显的上升上界。 令B = z是系统的行为集（也就是B中的元素是自治系统所有可能
2、 输出的向量信号，或者系统有输入时所有可能的输入/输出对） 。上面讲过系 统的状态 是指函数x : B 0,) 7 X，只要x(z1(),t) = x(z2(),t)，这个 函数使得两个信号z1，z2 B在时间t定义了B的相同状态（具体内容和 例子见讲座1） 。这里X是一个集合，称为B的状态空间。请注意给定行为 集B， 状态空间X并不是唯一的。 定义 如果对所有z B，t 7 V (t) = V (x(t) = V (x(z(),t)是时间的非增 函数， 那么定义在行为集为B， 状态为x : B 0,) 7 X的系统的状态空 间X上的实值函数V : X 7 R称为李亚普诺夫函数。 根据这个定义
3、，李亚普诺夫函数提供了系统行为有限但不十分明确的信 息。例如，如果X = Rn，V (x(t) = |x(t)|2是一个李亚普诺夫函数，那么 我们可以知道系统状态x(t)在所有时间上有界， 尽管我们可能无法得知x(t) 的具体值是什么。 对物理上的守恒系统，全部能量通常是李亚普诺夫函数。即使对非守恒 系统， 找到类似能量的表达式做为备选李亚普诺夫函数通常也是十分重要的。 我们可以认为李亚普诺夫函数沿着系统轨迹V (x(z(),t1) V (x(z(),t0) 0 t1 t0 0, z B上升时有一个明显的上界 （零） 。 能量函数对这给出了一个十分有用的广义理 论。12003年9月19日版1定
4、义 令B是一个n维向量信号z : 0,) 7 Rn的集合。令 : Rn7 Rn 是使(z(t)对所有z() B局部可积的给定函数。如果V (x(z(),t1) V (x(z(),t0) Zt1t0(z(t)dt t1 t0 0, z B(5.1)成立， 那么定义在行为集为B， 状态为x : B 0,) 7 X的系统的状态空 间X上的实值函数V : X 7 R称为供给率为的能量函数。 在许多应用中，与输入和输出的瞬时值相比较而言是一个函数。 例如， 如果B = z(t) = v(t);w(t)是给定系统所有可能的输入/输出对集合， 那么 供给率为(z(t) = |v(t)|2 |w(t)|2的非
5、负能量函数的存在证明了由k()k2p= limTsup tT1 tZt0|()|2d,定义的输出能量永远不能超过输入能量。 例5.1令行为集B = (i(t),v(t)表示无源单端口电路的 （动态） 电压电流 关系。那么电路中积累的全部能量E = E(t)可以做为供给率为(i(t),v(t) = i(t)v(t).的能量函数。5.1.2 ODE模型的李亚普诺夫函数拥有不需明确计算出系统方程的解，就能证明系统状态的给定函数沿着 系统轨迹是单调非增的工具是十分重要的。 对于由ODE模型定义的系统， 通 常可以做到这一点。ODE模型 x(t) = a(x(t)(5.2)定义了一个自治系统，其中a :
6、 X 7 Rn是定义在Rn的子集上的函数。如 果t 7 V (x(t)对所有（5.2）的解都是单调非增的， 那么函数V : X 7 R是 系统（5.2） 的李亚普诺夫函数。 前面讲过， 如果ax在t0,t1上是绝对可积 的， 并且所有t t0,t1时等式x(t) = x(t0) +Ztt0a(x()d成立， 那么x : t0,t1 X称为（5.2）的解。 为检验一个给定函数V是不是系统（5.2） 的李亚普诺夫函数， 我们通常 把V (x(t)对t微分。如果X是一个开集，V和x都是可微的（注意x的 可微性由a的连续性保证） ， 那么t 7 V (x(t)也是可微的， 并且由V ( x)a( x)
7、 0 x X(5.3)2给出单调性条件， 其中V (x)表示V在x点的梯度。 在一些应用中可能会遇到有不可微解的系统（例如，由于外输入信号中 的跳跃） 。方便的备选李亚普诺夫函数V在某些点也可能是不可微的。在这 种情况下，对所有 x X，通常考虑沿方向a( x)在 x X处V的次梯度。 我们希望这个次梯度的非正性， 即lim0sup 00sup (0,d)h(t + ) h(t) 0 t t0,t1)(5.5)成立， 那么h单调非增。 事实上， 对每一r 0， 令hr(t) = h(t)rt。 如果hr 对所有r 0是单调非增的， 那么h也是。 否则， 假设对某些t0 t2 t3 t1 和r
8、0有hr(t3) hr(t2)。 令t4是等式hr(t) = hr(t2)在t t2,t3上的最 大解。那么对所有t t3,t4有hr(t) hr(t4)，因此在t = t4时（5.5）不成 立。 现在令M是在x轨迹邻域内V的李普希茨常数。因为a是连续的，lim 0,0|x(t + ) x(t) a(x(t)| = 0 t3成立。因此， 当 0时，V (x(t + ) V (x(t) =V (x(t) + a(x(t) V (x(t) +V (x(t + ) V (x(t) + a(x(t)V (x(t) + a(x(t) V (x(t) + M|x(t + ) x(t) a(x(t)|的最大
9、值（在t t0,t1 上）趋近于一个非正极限。 引入x(t) = x1(t);t, a(barx;r) = a1( x,r);1,时变ODE模型 x1(t) = a1(x1(t),t)(5.6)可以趋近于 （5.2） ， 在这种情况下， 李亚普诺夫函数V = V (x(t) = V (x1(t),t) 必然依赖于时间。5.1.3 ODE模型的能量函数状态向量为x(t) X Rn， 输入为u(t) U Rm的ODE模型如下： x1(t) = f(x(t),u(t)(5.7)其中f : X U 7 Rn是给定函数。令 : X U 7 R是给定函数。如果对 所有可积函数对x : t0,t1 7 X和
10、u : t0,t1 7 U，V (x(t1) V (x(t0) Zt1t0(x(t),u(t)dt使得所有t t0,t1时t 7 f(x(t),u(t)使恒等式x(t) = x(t0) +Ztt0f(x(t),u(t)dt成立， 那么函数V : X 7 R称为系统 （5.7） 的供给率为的能量函数。 当X为开集，f和为连续的，V为连续可微的，直接就可以证明给 定函数f是供给率为的有效能量函数：这些条件足够证明V f( x, u) ( x, u) x X, u U成立。当V是局部李普希茨函数时， 可以得到定理5.1的广义形式如下。 定理5.2如果X是Rn内的一个开集，V : X 7 R是局部李普希茨函数，f和 : X U 7 Rn是连续的，并且条件lim0sup 0tV ( x + tf( x, u) V ( x) t ( x, u) x X, u U(5.8)成立，那么V (x(t)是系统 （5.7） 的供给率为的能量函数。 这个定理的证明和定理5.1的证明过程类似。 同样可能存在其它推广形式， 例如对不连续的函数f等。4
