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1、拓扑学拓扑学(Topology)一、基本信息一、基本信息适用适用专业专业：数学与应用数学专业课课程程编编号号：教学教学时时数数：72学时学学 分分：4课课程性程性质质：专业核心课 开开课课系部系部：数学与计算机科学院 使用教材使用教材：梁基华，蒋继光拓扑学基础.高等教育出版社 参考参考书书 1（美）亚当斯 著，沈以淡 等译拓扑学基础及应用.机械工业出版社; 2 Munkries “Topology“ 2nd ed. Prentice Hall；3尤承业基础拓扑学讲义. 北京大学出版社.二、二、课课程介程介绍绍 拓扑学要求掌握一般拓扑学的基本知识，学习处理拓扑学问题的基本方法。了解拓扑 学与其他
2、一些学科的联系，强化抽象思维与逻辑推理能力，提高数学素养,为进一步学习奠 定基础三、考三、考试试形式形式考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十，期末考试百分之八十。期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。四、四、课课程教学内容及程教学内容及课时课时分配分配第一章第一章 集，映射与序结构集，映射与序结构 要求要求 (1) 熟练笛卡儿积和商集的构造。 (2) 了解选择公理与等价的引理，并能在证明中正确应用。 (3)掌握映射的基本性质 (4)了解偏序集，保序映射，定向与可滤，上，下确界，格与完备格的概念 主要内容主要内容 作为准备，本章介绍有关集合的基本概念
3、，可数集与不可数集的有关结果。集合的交， 并，补，笛卡儿积，商集运算极其性质，刻画。选择公理和 Zorn 引理。映射极其基本性质， 偏序集的有关概念和结果，保序映射，序同构。 难点难点 定向与可滤，上，下确界，格与完备格的概念 课时安排（课时安排（8 学时）学时） a) 映射及其性质（1 学时） b) 序论基础（6 学时）c) 笛卡儿积与选择公理（1 学时）第二章第二章 拓扑空间拓扑空间要求要求 本章是拓扑学最基础的内容，要求理解，熟悉本章的各种概念及其相互联系。熟练应 用生成拓扑的各种方法，了解几个具体的拓扑空间。理解分离性和可数性及其等价刻 画。 主要内容主要内容 拓扑空间的定义，开集，闭
4、集。生成拓扑的各种方法。基，邻域，闭包，内部极其刻 画。 正规，正则分离性。连续映射极其等价刻画，同胚映射与拓扑性质。网与滤子的 收敛，相互关系。乘积空间，映射的乘积和乘性问题。 重难点重难点 拓扑空间、基、网与漉子的收敛、连续映射 课时安排（课时安排（16 学时）学时） a) 拓扑空间，开集，基，邻域(2 学时) b) 闭包，内部与分离性(3 学时) c) 连续映射与同胚(3 学时) d) 网与漉子的收敛(4 学时) e) 乘积空间(4 学时)第三章第三章 几类重要的拓扑空间几类重要的拓扑空间 要求要求这一章是一般拓扑学的经典内容，在数学的其他学科也有着重要的应用。因此要求理解 这几类空间的
5、定义，等价刻画，基本性质以及相互联系。 主要内容主要内容 度量空间，度量拓扑，基本性质。可度量化空间，完备度量空间。正规性和完全正则性，Uryson 引理和 Tietze 扩张定理。收缩映射与绝对收缩映射，Tychonoff 嵌入定理。紧空间 极其基本性质，可度量化空间，完备度量空间。正规性和完全正则性度量空间的刻画与性 质。紧化理论。 重难点重难点 可度量化空间、完备度量空间、正规性、完全正则性、紧性 课时安排（课时安排（16 学时）学时） a）度量空间（4 学时） b) 具有函数分离性的空间（4 学时） c) 紧空间与紧化（4 学时） d) 连通与道路连通空间（4 学时）第四章第四章 拓扑
6、与序结构拓扑与序结构 要求要求 了解处理拓扑学问题的另一种方法，拓扑与序结构之间的有机联系。 主要内容主要内容 分配格与连续格极其刻画，拓扑与序结构的有机联系。局部紧空间及其性质，以及与连续 格的相互联系。分配格和布尔代数的拓扑表示定理。Stone 空间的刻画 课时安排（课时安排（16 学时）学时） a) 具有分配性的格（4 学时） b) Sober 空间与特殊序（4 学时） c) 局部紧空间（4 学时）d) Stone 对偶理论（4 学时）第五章第五章 基本群基本群 要求要求理解商空间和商映射的概念，掌握利用商空间粘和曲面的方法。了解用代数学方法处理 拓扑学问题的基本思想。了解基本群及其基本
7、性质，以及简单空间的基本群的计算方法 主要内容主要内容商空间和商映射，各种经典的几何曲面的商空间刻画。闭曲面的构造。基本群的建立及 其基本性质。道路与同伦提升定理。几类基本空间的基本群的计算。代数基本定理和 Brower 不动点定理的证明 课时安排（课时安排（16 学时）学时） e) 商空间与各种曲面的制作（4 学时） f) 基本群的概念与性质（4 学时） g) 覆盖空间（4 学时） h) 基本群的计算与应用（4 学时） 拓扑学拓扑学考试大纲考试大纲院 系：数学与计算机科学学院课程名称：拓扑学（第二学期）使用专业：数学与应用数学专业学 时：72 其中，理论学时：72 实践学时：0学 分：4一、
8、设课目的：一、设课目的：拓扑学要求掌握一般拓扑学的基本知识，学习处理拓扑学问题的基本方法。了解拓扑学与其他一些学科的联系，强化抽象思维与逻辑推理能力，提高数学素养,为进一步学习奠定基础.二、课程教学内容和教学目标：课程教学内容和教学目标：通过本门课程的教学，使学生掌握点集拓扑学概论基本理论和基本方法，培养学生高度的抽象思维能力，严密的逻辑思维能力。让学生了解现代拓扑学的发展现状，为以后的教学或科研工作打下良好的基础.三、课程考核的基本形式、内容和要求：三、课程考核的基本形式、内容和要求：本课程考核分为两部分：形成性考核和课程期末考试（一）形成性考核形成性考核部分分为：平时考勤（占20%） 、作
9、业（占70%） 、课堂提问情况（占10%）这三个部分。要求随时检查学生考勤，批改作业，敦促学生边学边做。学生应按时完成各阶段的平时作业。对于抄袭作业的或不按时完成的应给予说服教育，严重者应给予扣分处理。 （二）课程期末考试期末考试采用笔试闭卷形式。考试命题由教研室集体讨论，任课教师可参与命题。本课程期末考试的命题依据是专业教学计划、课程教学大纲以及使用教材。本课程的试卷涉及该教材所含的有关知识内容及练习，其中重点内容为：定向与可滤，上，下确界，格与完备格的概念 ；拓扑空间的定义，开集，闭集。 生成拓扑的各种方法。基，邻域，闭包，内部极其刻画。 正规，正则分离性。 连续映射极其等价刻画，同胚映射
10、与拓扑性质。网与滤子的收敛，相互关系。 乘积空间，映射的乘积和乘性问题；度量空间，度量拓扑，基本性质。可度量 化空间，完备度量空间。正规性和完全正则性，Uryson 引理和 Tietze 扩张定 理。收缩映射与绝对收缩映射，Tychonoff 嵌入定理。紧空间极其基本性质， 可度量化空间，完备度量空间。正规性和完全正则性度量空间的刻画与性质。 紧化理论；分配格与连续格极其刻画，拓扑与序结构的有机联系。局部紧空间 及其性质，以及与连续格的相互联系。分配格和布尔代数的拓扑表示定理。 Stone 空间的刻画；商空间和商映射，各种经典的几何曲面的商空间刻画。闭 曲面的构造。基本群的建立及其基本性质。道路与同伦提升定理。几类基本空 间的基本群的计算。代数基本定理和 Brower 不动点定理的证明.四、考核的组织四、考核的组织：本课程的平时作业由任课教师根据学生完成情况进行批阅、评分。 课程期末考试教研室统一组织，以集体流水作业的方式进行批阅。根据班级学生的学习情况形成性考核成绩可占总成绩的30%，期末考试成绩可占总成绩的70%。五、教材五、教材1（美）亚当斯 著，沈以淡 等译拓扑学基础及应用.机械工业出版社; 2 Munkries “Topology“ 2nd ed. Prentice Hall；3尤承业基础拓扑学讲义. 北京大学出版社.六、其他有关说明或要求六、其他有关说明或要求
