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1、例例 1 1在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和奎屯王新敞新疆()nab证明：在展开式中，令01()()nnnrn rrnn nnnnabC aC a bC abC bnNLL，则，1,1ab 0123(1 1)( 1)nnn nnnnnCCCCC L即，02130()()nnnnCCCCLL，0213 nnnnCCCCLL即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和()nab说明：由性质（3）及例 1 知.021312nnnnnCCCCLL例例 2 2已知，求：727 0127(12 )xaa xa xa xL（1）； （2）； （3）.127a
2、aaL1357aaaa017|aaaL解：（1）当时，展开式右边为1x 77(1 2 )(1 2)1x 0127aaaaL，0127aaaaL1 当时，0x 01a 1271 12aaa L（2）令， 1x 0127aaaaL1 令， 1x 7 012345673aaaaaaaa 得：， .7 13572()1 3aaaa 1357aaaa71 3 2（3）由展开式知：均为负，均为正，1357,a a a a0248,a a a a由（2）中+ 得：，7 02462()1 3aaaa ， 702461 3 2aaaa 017|aaaL01234567aaaaaaaa奎屯王新敞新疆7 02461
3、357()()3aaaaaaaa例例 3.3.求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展开式中 x3的系数奎屯王新敞新疆解：)x1 (1)x1 (1)x1 (x1)x1 ()x1 (10 102 ）（L=，xxx) 1() 1(11原式中实为这分子中的，则所求系数为奎屯王新敞新疆3x4x7 11C第二课时第二课时例例 4.4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求 x 的系数奎屯王新敞新疆解：5552)2x() 1x()2x3x(在(x+1)5展开式中，常数项为 1，含 x 的项为，x5C15在(2+x)5展开式中，常数项为 25=32，含 x 的项为 x80x2C41 5展开式中含 x 的项
4、为 ，x240)32(x5)x80(1此展开式中 x 的系数为 240奎屯王新敞新疆例例 5.5.已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为 14；3，求展开式的常数n 2)x2x(项奎屯王新敞新疆解：依题意2 n4 n2 n4 nC14C33:14C:C3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10奎屯王新敞新疆设第 r+1 项为常数项，又 2r510 r 10rr 2r10r 101rxC)2()x2()x(CT 令，2r02r510此所求常数项为 180奎屯王新敞新疆.180)2(CT22 1012例例 6 6 设， 231111nxxxxL2 012n n
5、aa xa xa xL当时，求的值奎屯王新敞新疆012254naaaaLn解：令得：1x ，23 0122222nnaaaaLL2(21)2542 1n，2128,7nn点评：对于，令即可得各项系1 01( )()()nn nf xaxaa xaaL1,xa1xa数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关012naaaaL1,xa 1xa系奎屯王新敞新疆例例 7 7求证：1231232nn nnnnCCCnCnL证（法一）倒序相加：设 S 12323n nnnnCCCnCL又 S 1221(1)(2)2nnn nnnnnnCnCnCCCL， rn r nnCC011,nn nnnnCCC
6、CL由+得：，0122n nnnnSn CCCCL，即11222nnSnn 1231232nn nnnnCCCnCnL（法二）：左边各组合数的通项为，r nrC1 1!(1)! !()!(1)!()!r nnnnrnCr nrrnr 1230121 112123nn nnnnnnnnCCCnCn CCCC LL12nn例例 8 8在的展开式中,求:10)32(yx 二项式系数的和; 各项系数的和; 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; 奇数项系数和与偶数项系数和; 的奇次项系数和与的偶次项系数和.xx分析:因为二项式系数特指组合数,故在,中只需求组合数的和,而与二项式中的系数r nCy
7、x32 无关.解：设(*),10 1028 29 110 010)32(yayxayxaxayxL各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为1010aaaL0210aaaL,的奇次项系数和为,的偶次项系数和9531aaaaLx9531aaaaLx.10420aaaaL由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.二项式系数和为.1010 101 100 102CCCL令,各项系数和为.1 yx1) 1()32(1010奇数项的二项式系数和为,910 102 100 102CCCL偶数项的二项式系数和为.99 103 101 102CCCL设,10 1028 29 110 010)3
8、2(yayxayxaxayxL令,得到(1),1 yx110210aaaaL令,(或,)得(2)1x1y1x1y10 1032105aaaaaL(1)+(2)得,10 102051)(2aaaL奇数项的系数和为; 25110(1)-(2)得,10 93151)(2aaaL偶数项的系数和为. 25110的奇次项系数和为;x 251109531aaaaL的偶次项系数和为.x 2511010420aaaaL点评点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.第三课时第三课时例例 9 9已知的展开式的系数和比的
9、展开式的系数和大 992,求的展nxx223)(nx) 13(n xx2)12(开式中:二项式系数最大的项;系数的绝对值最大的项.解：由题意,解得.992222nn5n的展开式中第 6 项的二项式系数最大,101(2)xx即.8064)1()2(555 10156xxCTT设第项的系数的绝对值最大,1r则rrrrrrr rxCxxCT21010 1010 1012) 1()1()2( ,得,即 1101 1010 101101 1010 10 2222rrrrrrrrCCCC1 10101 1010 22rrrrCCCC rrrr 10) 1(2211,故系数的绝对值最大的是第 4 项 奎屯王
10、新敞新疆 311 38 r3r例例 1010已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大2 23(3)nxx992（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项奎屯王新敞新疆解：令，则展开式中各项系数和为，1x 2(1 3)2nn又展开式中二项式系数和为，2n，222992nn5n （1），展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，5n 6，2 232263 35() (3)90TCxxx222 322 333 45() (3)270TCxxx（2）设展开式中第项系数最大，则，1r 210 4 5233 155()(3)3r rrrrr rTCxxC x ，11 55
11、11 553379 2233rrrrrrrrCCrCC4r 即展开式中第项系数最大，5226 42433 55()(3)405TCxxx例例 1111已知，)( 1222212211 NnCCCSn nn nn nn nL求证：当为偶数时，能被整除奎屯王新敞新疆n14 nSn64分析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式奎屯王新敞新疆nS14 nSn64，112212222 1(2 1)nnnnn nnnnSCCC L3n，为偶数，设（） ，14 nSn341nnn2nk*kN14 nSn2381kk(8 1)81kk0111888 1 81kkk kkkCCCk L（） ，01122 8(88)8kk kkCCCL当= 时，显然能被整除，k1410nSn 64当时， （）式能被整除，2k 64所以，当为偶数时，能被整除奎屯王新敞新疆n14 nSn64
