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1、1Chapter 4 能带理论（energy band theory）一、简要回答下列问题（answer the following questions）1、波矢空间与倒格子空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的？答波矢空间与倒格子空间处于统一空间，倒格子空间的基矢分别为，而波321,bbb矢空间的基矢分别为分别是沿正格子基矢方321332211,;/,/,/NNNNNNbbb321,aaa向晶体的原胞数目。倒格空间中一个倒格点对应的体积为 *)(321bbb波矢空间中一个波矢点对应的体积为 NNNN*)(332211bbb即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点
2、对应的体积的 1/N 。由于 N 是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相 比是极其微小的。也就是说，波矢点在倒格子空间是极其稠密的。因此，在波矢空间内作 求和处理时，可以把波矢空间的状态点看成是准连续的。2、在布里渊区边界上电子的能带有何特点？ 答电子的能带依赖波矢的方向，在任一方向上，在布里渊区的边界上，近自由电子 的能带一般会出现禁带。若电子所处的边界与倒格矢 Gh正交，边界是 Gh的中垂面，则禁 带的宽度 Eg=2|Vn|，Vn 是周期势场的付里叶级数的系数。不论何种电子，在布里渊区的边界上，其等能面在垂直于在布里渊区的边界上的斜率 为零，即电子的等
3、能面与布里渊区的边界正交。3、带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点？答能带顶部是能带的极大值的位置，所以 022 kE其有效质量 ；说明此时晶格对电子作负功，即电子要供给晶格0)/(*22 2kEmh能量，而且电子供给晶格的能量大于外场对电子所作的功。原因是：有效质量概括了晶格对电子的作用，因此有 mmmjgwaiwaiFFF*将上式分子上变成能量的形式，则有 mdtmdt mdtjgwaiwaivFvFvF *能带顶部是能带的极小值的位置，所以 ，晶格对电子作正功，有效质量大于零。022 kE4、单电子理论是怎样将多体问题简化为周期场中的单电子问题的？2答单电子理论是在经过几步近似之后，
4、将多体问题转化为单电子问题，以单电子在 周期场中运动的特征表述晶体电子的特征。 第一步: 绝热近似（adiabatic approximation） 。这是考虑到原子核的质量比电子 大得多，运动速度慢，在讨论电子问题时可认为原子核是固定在瞬时的位置上，从而 把多种粒子的多体问题化成多电子问题；第二步：自洽场近似 (self-consistent field approximation)。把要讨论的电子， 视为在离子势场和其它电子的平均势场中运动，即哈特利福克自洽场近似(Hartree- Fock self-consistent field approximation) ，把多电子问题简化为单电
5、子问题；第三步：周期场近似 (periodic potential approximation)。 把所有离子势场 和其它电子的平均势场简化为周期场。能带理论就是周期场中的单电子理论.5、旺尼尔函数可用孤立原子波函数来近似的根据是什么？ 答 旺尼尔函数可以表示为nkiknnneNWRkRr1)(),(1)(rkRrkue Nnik紧束缚模型适用于原子间距较大的晶体。在这类晶体中的电子有两大特点：（1）电 子被束缚在原子附近的几率较大，在原子附近它的行为同孤立原子的行为相近。 （2）它远 离原子的几率很小。再利用旺尼尔函数的正交性，即可得到旺尼尔函数可用孤立原子波函 数来近似是由紧束缚电子的性质
6、来决定的。6、紧束缚模型下，内层电子的能带与外层电子的能带相比较，哪一个宽？为什么？ 答紧束缚模型下，内层电子的能带与外层电子的能带相比较，外层电子的能带比 内层电子的能带宽。由于能量最低的带对应于最内层的电子，它的电子轨道很小，在不同 原子间很少相互重叠，因此，能带较窄。能量较高的外层电子轨道，在不同的原子间将有 较多的重叠。从而形成较宽的带。 而且内层电子，能带宽度较小，能级与能带之间一一对应；外层电子，能带较宽能级 与能带之间的对应比较复杂。8、能态密度函数是如何定义的？答能态密度函数是指单位能量间隔的状态数。考虑能量在 EEE 间的能态 数目，假定 Z 表示能态数目，则能态密度函数定义
7、为在波矢空间，根据 E(k)常数 作出等能面，则在等能面 E 和 EE 之间的状态的 数目就是 Z。所以ZV（2）3 （两等能面 EE+E 之间的体积） 得到能态密度的一般表达式为9、简约布里渊区、周期布里渊区以及扩展布里渊区的图象有什么区别？ 答三种图象表示的差别为：简约布里渊区图象(reduced zone scheme)：所有能带都描绘于第一布里渊区内，能带EZEN lim)(|4)(3EdSVENk3是波矢 k 的多值函数，在简约区给出能带的全貌。周期布里渊区图象(repeated zone scheme)：在每一个布里渊区中描绘出所有的能带。 可以表现出能带是周期函数的特点。扩展布里
8、渊区图象(extended zone scheme)：按照能量由低到高的顺序，将各能带的 k 值分别限定在不同不同的布里渊区的区域。这种情况下，能带是 k 的单值函数。10、晶体中能带 En(k) 函数的对称性有哪些？ 答晶体中能带 En(k)函数的对称性有En ( k)=En(k)En(k)=En(-k)En(k)=En(kGn)二、填空题(fill in the blanks)(并用英语表达)1、在离子实内部，用假想的势能取代真实的势能，求解波动方程时，若不改变其能量本 征值及离子实之间的区域的波函数，则这个假想的势能就叫做 赝势（pseudo-potential）。2、Wannier 函
9、数有两个特点，它们分别是 定域性 和 正交性 。3、电子填充能带时，若恰好填满最低的一系列能带，再高的各带全部都是空的。最高的 满带称为价带价带(valence band)，最低的空带成为 导带导带(conduction band) 。带隙是指 价带最高能级与导带最低能级之间的范围价带最高能级与导带最低能级之间的范围 。4、在状态空间中，单位体积含有的状态数，称为 状态密度 。在状态空间中，状态的分布是均匀的，在周期性边界条件的情况下，状态密度 。3)2(V三、电子周期场的势能函数为，当 na-bxna+b，当(n-1)a+bxna-b其中 a=4b, 为常数1）试画出此势能曲线，并求其平均值
10、。 2）用近自由电子近似模型求出晶体的第一辑第二个带隙宽度。 解 1）如图所示是势能曲线xV(x)V(x)0)()2/1 ()(222naxbmxV4由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均即可，于是得dxxVbdxxVaVbbaa)(41)(1222/2/ b bbbxxbbmdxxbmb| 31821 41322 22222 61bm2) 已知禁带的宽度为 Eg=2|Vn|,其中 Vn 是周期势场 V(X) 付里叶级数的系数，该系数表示为所以，第一禁带为|)(1|2|222/2/11dxexVaVEnxaiaag|241|22 222 dxexbm bxaibb3228 bm同样可以求
11、得第二禁带宽度为四、有一一维单原子链，间距为 a ，总长度为 Na 。1）用紧束缚方法求出与原子 s 态能级对应的能带的 E(k) 函数；2）求出其能态密度函数的表达式；3）如每个原子 s 态上只有一个电子，求 T=0K 时的费米能级 EF0及 EF0 处的能态密度。解1、在紧束缚近似下，晶体电子的能量可以写为一维单原子链只有两个最近邻，分别为 Rm=a,-a，a 为原子间距。 J(Rm) 对于两个最近邻是相等的，记为 J，所以，) 0()(ikaika seeJJkEkaJJscos202）能态密度的函数表达式:对于一维情况,状态密度为 L/2,，计其自旋,dk 间的能级数为而能态密度函数为
12、 mi m nnieJJkERkR)()0()(.dxeXVaVnxiaana2)(12/2/2222bmEgdkLdZ225kaJadkdEsin2kaJaLdkdELENsin21 22)(dEdk dkdZ dEdZEN)(3）如每个原子的 s 态只有一个电子mkE2)(22hkmk dkdE2hkLm kmLdkdELEN22221 22)(hh能态密度T=0K 的费米能级：五、1、证明一个简单正方晶格在第一布里渊区顶角上一个自由电子的动能比该区一边中点大 2 倍。2、对一个简单立方晶格，在第一布里渊区顶角上一个自由电子的动能比该区面心上大多 少？证明1、自由电子的动能为 mk 222
13、h简立方的第一布里渊区仍为简立方，设其边长为 a ，则对角线的长度为a，布区顶3角上的动能为 2222143 22ammkEhh面心 k=a/2 ，2222241 22ammkEhh34/14/321EEEmL mELm kmLdkdELEN22221 22)(22h hhhNdEEmLdEENFFEE 2)(0000h62、顶角上 ak222222342 22ammkEhh24/14/223EE六、用紧束缚方法导出体心立方晶体 s 态电子的能带，)2cos2cos2(cos8)(0akakakJAEkEzyx并画出沿 kx 方向的曲线。)0(zykk)(),(xxkvkE七、证明在任何能带中，波矢为 k 的状态与波矢为k 的状态有相同的能量，即)()(kknnEE这里代表简约布里渊区中第 n 个能带的 k 态波矢。)(knE证明由于哈密顿量是实的，若 k是方程式的解，则 k 也是方程的解，而且有相同的本征值，即Hnk=En(k)nkH*nk=En(k)*nk晶体中 所以 与n，-k 是相同的。因而nk 与n，-k 是简并态，即 )()(kknnEE)(222 rVmHh)(rrk nki nke)(*rrk nki nke
