反比例函数复习

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1、第十七章、反比例函数第一节、知识梳理反比例函数反比例函数一、学习目标：. 掌握用描点法画反比例函数图象的方法和步骤，并结合函数图象正确理解和掌握反比例函数的概念和性质. 能根据已知条件确定反比例函数的解析式，重点掌握待定系数法求反比例函数的解析式. 能用反比例函数解决生活实际问题，在解决物理问题，日常生产、生活问题的时候构建反比例函数模型二、知识概要：三、要点点拨：. 反比例函数自变量 x 的取值范围为 x. 反比例函数的图象为两支，这两支不连续，且以原点为对称中心成中心对称与坐标轴无限接近但不能相交. 反比例函数值的变化规律要在同一支曲线上去研究四、中考视点：有关反比例函数的试题主要出现在客

2、观题中，但在解答中也时有出现，考查的主要内容有：1. 反比例函数的图象及性质是中考命题的重点2. 求反比例函数的解析式（重点考查待定系数法） ，并与现实生活中的问题相联系，有增加的趋势.3. 借助于交点坐标，构建与正比例函数、一次函数的综合题，是中考命题的热点.实际问题与反比例函数实际问题与反比例函数一、学习目标：.能够分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决实际问题. 能够画出描述实际问题的函数图象，并根据图象反应出的量的变化规律去解决实际问题.二、知识概要：.根据实际情景构建反比例函数关系式（）数学中常用的反比例函数关系式（）物理学中常用的反比例函数关系式（）利用实际问题

3、情境中给出的数量关系，建立反比例函数关系式.利用反比例函数关系解决实际问题.有关实际问题中的反比例函数图象.（）作出实际问题的函数图象.（）利用实际问题的函数图象解决问题三、知识链接：“反比例关系”和“反比例函数”的联系与区别：反比例关系是小学的概念：如果 xyk（k 是常数，k） ，那么 x 与 y 这两个量成反比例关系这里 x，y 既可以代表单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式例如 y与 x成反比例，即反比例的关系式为，但 x 和 y 不一定是反比例函数但反比例函数中的两个变量必成反比例关系四、中考视点：由实际问题中给出的数量关系写出反比例函数，再由反比例函数的性质去解决实际问题是本节

4、考查的重点.第二节、教材解读一、 【例 1】 已知 y 关于 x 的反比例函数的图象过点（，） （）求 y 与 x 的函数解析式；（）求当 x时 y 的值【思考与分析】 由反比例函数的形式 y=（k 是常数，k0） ，可知求解析式的关键是确定系数 k 的值，所以我们可以根据条件用待定系数法求之解： （）设 y=，将（，）代入可得：=，解得 k，所以函数解析式为：y=（）把 x代入 y=，得 y=【小结】 待定系数法求函数解析式的一般步骤：（1） 设出含有待定系数的解析式 y=（k0，k 为待定系数） ；（2） 将已知条件代入（只需知道一个点的坐标） ；（3） 解出待定系数；（4） 将求得的值代

5、回所设解析式.二、要点收藏夹反比例函数（k 为常数，k0）的图象是双曲线.（1）当 k0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内 y 值随 x 值的增大而减小；（2）当 k0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内 y 值随 x 值的增大而增大；（3）双曲线的两支无限接近 x 轴和 y 轴，但永远达不到 x 轴和 y 轴（即双曲线的两支与 x 轴和 y 轴没有交点） ；（4）双曲线的两支关于直线 yx 对称.三、典型例题剖析【例 2】如果反比例函数的图象经过点（1，2） ，那么 k 的值是（ ） 写出一个图象位于第二、四象限的反比例函数的表达式 .当 a _时，反比例函

6、数的图象在每一个象限内，y 值随 x 值的增大而减小.【思考与分析】我们知道在反比例函数解析式中，如果常数 k 确定了，则这个反比例函数关系式就确定了.由的图象经过点（1，2） ，故将 x1，y2 同时代入解析式便可求出 k 值；由反比例函数的图象位于第二、四象限，可知 k0，因此所写的函数关系式只要满足 k0 就行；由反比例函数的图象在每一个象限内，y 值随 x 值的增大而减小可知 k0，即 1a0，从而求出 a 应满足的条件. 解： C； 如（答案不惟一，只要满足 k0 即可） ； a1【小结】求反比例函数解析式的关键是借助已有的条件，如过已知某点，或两个分支所在的象限或图象在每一个象限内

7、 y 值随 x 值的变化情况等信息求出 k 的值或 k 满足的条件.四、在构建反比例函数模型解决实际问题的时候需注意分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型 （在反比例函数关系中，两个变量的积是定值）【例 3】 已知某盐厂晒出了 3000 吨盐，厂方决定把盐全部运走.（1）运走所需的时间 t（天）与运走速度 v（吨/天）有什么样的函数关系？（2）若该盐厂有工人 80 名，每天最多共可运走 500 吨盐，则预计盐最快可在几日内运完？（3）若该盐厂的工人工作了 3 天后，天气预报预测在未来的几天内可能有暴雨，于是盐厂决定在天内把剩下的盐全部运走，则需要从其它盐厂调过多少人？【思考与分析】

8、我们知道这是一道工程问题，关键是要熟悉本类问题中各量之间的关系.（1）盐的总量运走所有的盐所需的时间运盐的速度，可得 t 与 v 的函数关系式；（2）每天运盐 500 吨，即 v=500，把 v=500 代入（1）中函数关系式可求得对应的 t；（3）设从其它盐厂调过 n 人，依据剩下的盐80 个工人运走的盐+n 个工人运走的盐，列方程求出 n 即可.解：（1）由题意，得 t（2）当 v=500 时，t6，即盐最快可在 6 日内运完.（3）设需从其它盐厂调过 n 个人，则根据题意，得：解得 n=40，即需从其它盐厂调过 40 人.【小结】本题的关系式是：盐的总量运走所有的盐所需的时间运盐的速度，

9、当然，这三者之间的关系还可以相互转化，通常只要知道其中的两个量就可求出或表示出第三个量；第（2）题实际上是求值问题，只要代入（1）即可；第（3）题借助了方程进行解答.第三节、错题剖析一.反比例函数中，切记 k0【例 1】若函数为反比例函数，则 m= .错解：因为为反比例函数，所以|m|=1，所以 m=1.错解剖析：反比例函数的定义是：一般地，形如（k0，k 为常数）的函数叫做反比例函数.定义中强调了系数 k0，k 为常数这一条件.错解忽视了 k0 这个条件.在本题中 m-1 相当于定义中的 k，这里应有 m-10，所以 m1.正解：由|m|=1，得 m=1又因为 m-10，所以 m1所以 m=

10、-1.反思：解决反比例函数中的字母取值问题，一定要注意 k0 这一限制条件，否则容易出现错误.二.注意自变量的取值范围【例 2】一矩形的面积是 10，则这个矩形的一组邻边长 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ）错解：选 C.错解剖析：本题是一道实际问题，已知矩形的面积是 10，两邻边长分别是 x，y，所以 xy=10，所以 （x0） ，此函数是反比例函数，由于自变量 x 的取值范围是x0，所以函数的图象只有一个分支，且在第一象限.而错解忽视了实际问题中自变量的范围.正解：选 D.反思：在具体问题中确定反比例函数的图象，一定要注意自变量的取值具有实际意义.三、对反比例函数概念理解不透【例 3

11、】在下列函数关系式：，2xy1 中，y 是 x 的反比例函数的个数是（ ）A.2 B.3 C.4 D.5错解：选 D.错解剖析：选 D 是因为对反比例函数概念理解不透.反比例函数的概念是：一般地，形如（k 为常数，k0）的函数称为反比例函数.反比例函数通常有 3 种表达形式： 1：（上述三个式子中 k 都为常数，且 k0）.正解：选 B四、对反比例函数图象及其性质理解不透【例 4】若点（1，y1） ， （2，y2） ， （2，y3） ，在反比例函数的图象上，则（ ）A.y1y2y3 B.y2y1y3 C. y3 y1y2 D.y3y2 y1错解：选 C.错解剖析：对反比例函数图象及其性质理解不

12、透，误认为 y 随 x 的增大而增大.反比例函数图象的增减性为：当 k0 时，在同一象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k0，自身出现矛盾，故排除，同样的分析方法排除 D，得到答案，.【例 2】 已知反比例函数和一次函数 y=mx+n 的图象的一个交点是 A（3，4） ，且一次函数的图象与 x 轴的交点到原点的距离为 5，分别确定反比例函数和一次函数的解析式.【思考与分析】 已知双曲线和直线都经过点 A（3，4） ，可将 A 点分别代入解析式用待定系数法确定 k，而一次函数与 x 轴的交点到原点的距离为 5，可知交点为（5，0）或（5，0） ，然后联立组成方程组，求出 m，n 的值.解： 因

13、为反比例函数的图象过点 A（3，4） ，所以 所以这个反比例函数的解析式为 又由题意知，一次函数 y=mx+n 的图象与 x 轴的交点为（5，0）或（5，0）.当直线 y=mx+n 的图象过点（3，4）和（5，0）时，有当 y=mx+n 的图象过点（3，4）和（5，0）时，有所以 y=2x+10.所以这个一次函数的解析式为 y=-x+或 y=2x+10.【小结】方程思想是重要的数学思想之一，它是在所给定的数学问题中挖掘并找出已知量与未知量之间的等量关系，再通过对未知量设元，构成方程或方程组，解出未知量，从而达到解决问题的目的.在函数这一部分，许多需要我们确定函数解析式的考题都需要我们根据题中条

14、件构建方程来解决【例 3】 某地上年度电价为 0.8 元/度，年用电量为 1 亿度，本年度计划将电价调至 0.55 至 0.75 元之间.经测算，若电价调至 x 元，则本年度新增用电量 y 亿度与（x0.4）成反比例，又当 x0.65 元时，y0.8（）求 y 与 x 的函数关系式；（）若每度电的成本价为 0.3 元，则电价调至 0.6 元时，本年度电力部门的收益是多少？收益用电量（实际电价成本价） 【思考与分析】 本题 y 与 x 虽不是反比例函数，但根据题意 y 与（x0.4）成反比例，根据反比例的特点列出关系式，用待定系数法就可确定函数关系式用电量为，实际电价减去成本价为 x0.3，二者

15、乘积即为收益根据题意列出方程解之即可得到结果解： （1）因为 y 与（x0.4）成反比例，0.8 代入可以求出 k0.2（）根据题意，收益将 x0.6 代入，收益为 0.6 亿元.所以当电价调至 0.6 元时，本年度电力部门的收益是 0.6 亿元【小结】反比例函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一很多实际问题都可以归结为反比例函数的问题来解决用反比例函数解决实际问题的具体步骤是：（）认真分析实际问题中变量之间的关系；（）若变量之间是反比例关系，则建立反比例函数模型（即确定反比例函数解析式） ；（）利用反比例函数的性质去解决实际问题反比例函数的应用中经常用到数形结合思想.数形结合思想就是在研究问题时把数与形结合起来考虑，不是把问题的数量关系转化为图形的性质，就是把图形的性质转化为数量关系来考虑，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化.【例 4】某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v（米/秒）与它所受的牵引力 F（牛）之间的函数关系如图所示：（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；（2）当它所受牵引力为 1200 牛时，汽车的速度为多少千米/时？（3）如果限定汽车的速度不超过 30 米/秒，则 F 在什么范围内？【思考与分析】 （1）首先观察图象得到 F 是 v 的反比