三角函数、平面向量综合题六类型

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1、三角函数与平面向量综合题的六种类型三角函数与平面向量综合题的六种类型题型一：结合向量的数量积题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值考查三角函数的化简或求值【例例 1】（2007 年高考安徽卷）已知，为的最小正04( )cos(2)8f xx周期，求的值(tan(), 1),(cos ,2),4aba bmrrrr22cossin2() cossin 【解答解答】因为为的最小正周期，故因为，( )cos(2)8f xxa bmrr又，故costan()24a brrcostan()24m由于，所以0422cossin2() cossin 22cossin(22 ) cossin 22

2、cossin2 cossin 2cos(cossin) cossin 1tan2cos1tancostan()24m【评析评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、 差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代 入求值或化简。 题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例例 2】 （2006 年高考浙江卷）如图，函数（其中2sin(),yxxR）的图像与轴交于点（0，1） 。02y（）求的值；（）设是图像上的最高点，M、N 是图像与轴的交点，求与的夹角。PxPM

3、uuu u rPNuuu r【解答解答】 （I）因为函数图像过点，(0,1)所以即2sin1,1sin.2因为，所以.026（II）由函数及其图像，得2sin()6yx115(,0), ( , 2),( ,0),636MPN所以从而11(,2),( , 2),22PMPN uuu u ruuu r，故.cos,| |PM PNPM PNPMPNuuu u r uuu ruuu u r uuu ruuu u ruuu r15 17,PM PNuuu u r uuu r15arccos17【评析评析】 此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：求出cos,a ba b ab rrrrrr被求角的

4、三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的 大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。 题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例例 3】（山东卷）在中，角的对边分别为，ABC, ,A B C, ,a b ctan3 7C （1）求；cosC（2）若，且，求5 2CB CAuu u r uu u r9abc【解答解答】（1），,Qtan3 7C sin3 7cosC C又，解得：，22sincos1CCQ1cos8C ，是锐角，Qtan0C C1cos8C （2），Q5 2CB C

5、Auu u r uu u r5cos2abC 20ab 又，9abQ22281aabb2241ab，2222cos36cababC6c 【评析评析】 根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余 弦定理实现边角转化，列出等式求解。 题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例例 4】（2007 年高考陕西卷），其中向量，( )f xa brr( ,cos2 )amxr，且函数的图象经过点(1 sin2 ,1)bxrxR( )yf x(,2)4（）求实数的值； m（）求函数的最小值及此时值的集合。(

6、 )yf xx【解答解答】（）( )f xa brr(1 sin2 )cos2mxx由已知，得()4f(1 sin)cos222m1m （）由（）得( )1 sin2cos212sin(2)4f xxxx 当时，的最小值为，sin(2)14x ( )yf x12由，得值的集合为sin(2)14x x3|,8x xkkZ【评析评析】 涉及三角函数的最值与向量运算问题时，可先根据向量的数量积的运算法则 求出相应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如，再借助三角函数的有界性使问题得以解决。 sin()yAxk题型五：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法题型五：结合

7、向量平移问题，考查三角函数解析式的求法【例例 5】 （2007 年高考湖北卷）将的图象按向量平移，则平2cos36xy, 24 a移后所得图象的解析式为（ ）2cos234xy2cos234xy2cos2312xy2cos2312xy【解答解答】，平移后的解析式为, 24 a2cos23612xy，选2cos234xA【评析评析】理清函数按向量平移的一般方法是解决此类问题之关键，()yfx( , )h ka平移后的函数解析式为 ()yfxhk题型六：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题题型六：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例例 6】 （2006 年高考湖北卷）设向量

8、，函(sin ,cos ),(cos ,cos ),axx bxx xRrr数.( )()f xaabrrr（）求函数的最大值与最小正周期；( )f x（）求使不等式成立的的取值集.3( )2f x x【解答解答】 （）( )()f xaabrrr222sincossin coscosa aa bxxxxxrr rr11321sin2(cos21)sin(2)22224xxx 的最大值为，最小正周期是( )f x32 222 2（）要使成立，当且仅当，3( )2f x 323sin(2)2242x即,sin(2)04x 2224kxk3,88kxkkZ即成立的的取值集合是3( )2f x x3

9、|,88x kxkkZ【评析评析】 结合向量的坐标运算法则，求出函数的三角函数关系式，再根据三角( )f x公式对函数的三角恒等关系，然后借助基本三角函数的单调性，求简单三角不等式( )f x的解集。【跟踪训练跟踪训练】1设函数，其中向量，( )()f xabcrrr(sin , cos ),(sin , 3cos )axx bxxrr( cos ,sin ),cxx xR r（）求函数的最大值和最小正周期； xf（）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心 xfy dr对称，求长度最小的dr2已知向量(sin ,1),(1,cos ),22abrr（）若，求；abrr（）

10、求的最大值abrr【参考答案参考答案】 1解：()由题意得，( )()(sin , cos ) (sincos ,sin3cos )f xabcxxxxxxrrr， 223sin2sin cos3cos2cos2sin222sin(2)4xxxxxx所以，的最大值为，最小正周期是.( )f x222 2（）由得，即，3sin(2)04x324xk3,28kxkZ于是，3(, 2)28kdr23()4,28kdkZr因为为整数，要使最小，则只有，此时即为所求kdr1k (, 2)8d r2解：（）若，则，由此得：，abrrsincos0tan1,()22 所以， 4 （）由得：(sin ,1),(1,cos ),abrr22(sin1)(1 cos )32(sincos )abrr32 2sin()4当时，取得最大值，即当时，的最大值sin()14abrr 4abrr为21