摆钟问题中的“万能公式”

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1、摆钟问题中的摆钟问题中的“万能公式万能公式”在机械振动中，摆钟快慢的计算问题往往是同学们学习的难点。下面就谈谈对这类问题理解和处理。正确理解摆钟走时原理正确理解摆钟走时原理 摆钟实际上是利用钟摆的周期性摆动，通过一系列的机械传动，从而带动 钟面上的指针转动。钟摆每摆动一次，指针就转过一个角度，并且这个角度0是固定的，其大小就表示 钟面走过的时间。对走时准确的摆钟而言，钟摆摆一次，实际耗时 T0（即摆的振动周期） ，指针转过的角 度0当然就应表示钟面走时为 T0。对走时不准的摆钟而言，钟摆摆一次，虽然实际耗时 T（即不准摆的 振动周期） ，但由于钟机械设计的关系，钟摆带动指针转动的角度依旧是0，

2、所以钟面上所显示的时间（并非真实时间）依旧是 T0，正是由于，从而引起摆钟走时不准。TT 0一条重要的计算公式一条重要的计算公式 设有一段时间 t0（比如 1 天） ，由前面的分析可知不准钟摆动的次数为。由Tt0于每摆一次，钟面上所显示的时间依旧是 T0，所以在这段 t0时间内，不准钟钟面所显示的时间为，00TTt因而该钟比标准钟快（或慢）： 000tTTtt此即钟摆快慢的计算公式，此公式容易理解，也便于记忆，更重要的是它方便实用，不妨称之为钟 摆问题中的“万能公式” 。下面举例说明： 例例 1某摆钟的摆长为 l=30cm，一昼夜快 10min，则应如何调整摆长，才能使摆钟走时准确？解答：解答

3、：由题意可知，设调整好后的摆长为 l0，则，直接代入min10tglT2glT0 02公式，可解得 l0=30.418cm。即应使摆长调整至 30.418cm。000tTTtt例例 2某摆钟，当其摆长为 l1时，在一段时间内快了；当其摆长为 l2时，在同样一段时间内慢了t ，试求走时准确摆钟的摆长。t解答：解答：由题意易得，设标准摆钟的摆长为 l0，则。直接代glT1 12glT2 22glT0 02入公式有：000tTTtt（1）00 10tTTtt（2）0 10 0TTttt解得：。2 2121 0)(4lllll二、摆钟的工作原理二、摆钟的工作原理对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定

4、了它每摆动一次记录的时间是一定的。如一个准确的摆 钟，其摆球的摆动周期为 1s，则摆球每摆动一次，秒针会走过一格，显示的时间为 1s；摆动 N 次，秒针 将走过 N 格，显示的时间为 N 秒与实际经历的时间是相符的。一般的，准确摆钟的周期为 T0，则每摆动一次，显示的时间也是 T0，摆动 N 次，显示的时间为 NT0；如果由于某种原因，该钟的周期变为 T（TT0） ，则摆钟每摆动一次所经历的实际时间为 T，而钟 所记录的时间仍为 T0，两者不符。由此可知显示时间由摆动的次数决定，且两者成正比关系。假定在一 段相同的时间 t0内，准确摆钟摆动了 N0次，显示时间为 t0，不准摆钟摆动 N 次，显

5、示时间为 t，可得到 如下的关系：00000=tNtNNN tt而就是单位时间内摆动的次数即频率 f，从而上式可简化为0tN00=tt ff也就是说，一定时间内，摆钟的显示时间之比就等于摆钟的频率之比，利用这个关系式就可以很方便 地解决摆钟的有关问题，下面通过几个例题加以说明。二、根据显示时间计算实际时间二、根据显示时间计算实际时间例例 1：将在地球上校准的摆钟拿到月球上，若此钟在月球上记录的时间为 1h，那么实际时间是多少？ 已知月球表面的重力加速度是地球表面的 1/6。解：设在地球上钟的频率为 f0，指示时间为 t0，在月球上的频率为 f，指示时间为 t，则可得 ff tt00=又 周期

6、所以gLT2=Lg f21=式可化为6=00 gg tt所以实际时间 h6=6=0tt三、摆钟的调节问题三、摆钟的调节问题例例 2：一个摆钟一昼夜快了 5 分钟，应如何调节摆长使之变准确。解：准确摆钟的频率为，显示时间h=1440min；此摆钟的频率为，摆长为 L，显示时间 0f24=0tfhmin=1445min，可得24=t5+14451440=00 tt ff由例 1 得 00=LL ff由以上两式可得 20)14451440(=LL应将摆长增加例例 3已知北京的重力加速度 g0=9.801m/s2，LLLLL007. 0= 1)14401445(=2 0南京的重力加速度 g=9.796

7、m/s2，若把在北京走时准确的摆钟移到南京，则一昼夜摆钟误差快慢多少？解答解答：由题意易知，t0=24h。直接代入公式，解得002glTglT2000tTTtt=26.4s。t从以上 3 例可以看出，确实是解决摆钟问题的一条非常有用的公式。这是因为它涵000tTTtt概了钟摆问题往往都要涉及的、t0四个关键物理量，便于我们直接运用。只要我们对照题目，t0TT确定好这四个物理量的表达形式，直接代入公式，问题便可解决。 对单摆周期公式中两个量的理解单摆的周期公式 是惠更斯从实验中总结出来的。其中摆长指的是悬点到小球质心的距离，但在某些振动 系统中，由于悬点的特殊性，摆长不一定是绳长。同时由于环境的

8、变更 g 也不一定为 ，所以就出现了等效摆长和 等效重力加速度的问题。 一、等效摆长问题一、等效摆长问题 例例、如图所示，固定在天花板上等长的两根细线 AO、BO 长 0.8m，与水平平面夹角都为 53，下 端拴着质量 m=0.2kg 的小球（小球大小可忽略） ，那么使小球在垂直纸面的竖直平面内摆动起来。求： 如果摆角 10，则小球的摆动周期。 如果小球在摆动中到达最低点速度 v=0.5m/s，则此时两细线受到的拉力各为多少？ 解析此题首先设置了一个障碍，悬点未知，摆球的摆长是多少？此时双线摆的悬点为 C 点，所 以等效摆长应为，所以单摆周期为 mlCOl64. 053sino；通过受力分析可

9、知 , 所以 F1.3N 。 思考：如在图中，三根等长的绳 共系住一密度均匀的小球 m，球直径为 d， 与天花板的夹角 30。 若摆球在纸面内作小角度的左右摆动，周期是多少？若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在 O 处，故等效 摆长为多少？周期是多少？ （答案：） 例例、如图所示，小球 m 自 A 点以向 AD 方向的 初速度。逐渐接近固定在 D 点的小球 n。已知 AB=0.8m AB 圆弧半径 R=10m，AD=10m，ABCD 在同一水平面上，则 v 为多大时，才能使 m 恰好碰到小球？（设）2g 解析：小球 m 运动由两个运动合成，这两个分运动分别是：以速度 v 沿 AD

10、方向的的匀速直线运 动和在圆弧面 AB 方向上的往复运动。因为 ABR,所以小球在圆弧面上的往复运动具有等时性,是一 种等效单摆,其圆弧半径只即为等效单摆的摆长。 设小球 m 恰好能碰到小球n，则有 AD=且满足 (k=1,2,3)vtkTt 又因为 解以上方程得：m/skv5 二、等效重力加速度问题二、等效重力加速度问题glT22/8 . 9sm5353ABOCsglT6 . 12lvmmgF253sin2o1L2L3L2L3L1OOm1L2L3LgdLT)2(211gdLLT)2sin(22122sin21dLLABDCmnvgRT2由 知，g 随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星

11、球上也不相同，因此求解时将单摆所环境的 等效值 g代入公式，即 g不一定等于 。 单摆系统的运动状态变化，g 也不一定等于 如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为 a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质 量不变，则重力加速度的等效值 g=g+a，再如，单摆若在轨道上运行的航天飞机内，摆球完全失重，回复力为零，则等 效值 g=0，所以周期为无穷大，即不摆动。总之公式中的 g 由单摆所在的空间位置和运动状态决定。 三、综合应用问题三、综合应用问题 例、如图 1 所示，是一种记录地震装置的水平摆，摆球固定在边长为 L、质量可忽略不计的等 边三角形的顶点 A 上，它的对边

12、BC 跟竖直线成不大的夹角 ，摆球可绕固定轴 BC 摆动，求摆球微 小摆动时的周期。 解析：如图 2 所示，过 A 作BC 的垂线，交点到 A 的距离为等效单摆的摆长，其长度为 。摆球在平衡位置时，o60sinLL 把摆球的重力 G 分解为与 BC 平 行的分力和与 BC 垂直的分力 1G，则 等效重力加速度为 因而，摆球做微小振动的周期为：点评点评：本题为地震仪水平摆测周 期的实际问题，本质上是单摆周期公式 的变通应用。在求解单摆的周期时，一 般可通过找出等效摆长和等效重力加速度，借用单摆周期公式求出。本题也可以这样求解：在摆球处于平衡位置时，过 A 点作一铅垂线，与 CB 的延长线交于 D

13、，如图 2 所示。DA 即为等效摆长。 其长度为 ，因而，摆球做微小振动的周期为 . （选自中学生物理报 / 吴俊著）应用“单摆模型”解决实际问题单摆由一根不可伸长的细线和可视为质点的摆球构成，它是一种抽象的理想化模型.单摆作为一种典型的简谐运动，在 生活技术有广泛的应用. 1.利用单摆求重力加速度利用单摆求重力加速度 例例、在“用单摆测定重力加速度 g”的实验中，假如实验时用很长的细线悬挂在一天花板上，由于悬点过高，无法测 量摆长，则如何测出重力加速度 g 的值？ 解析解析：因摆长为悬点到质心的距离，而本提无法测量到悬点，所以可采用测量部分摆长的方法.具体为：首先，以天花 板上的固定点为悬点

14、，悬点到质心的距离为摆长，在摆角小于 5的范围内测的周期为再在手够的着的地方系一个结，1T 以达到改变摆长的目的，设使之减短 L（L 不宜过小） ，第二次测得周期 ，由以上可知：点评点评：本题以测摆长为拐点，设置思维迷障，来激活学生思维的灵活性，避免思维定势，进而培养学生在新情景问题 中的变通能力。 思考思考：实验室配有下列器材：铁架台（附夹子） ，长约 1.5 米的细线，细线下系一质量 200 克的形状不规则的小石块， 秒表，米尺，试由提供的器材设计测量当地重力加速度 g 的实验，写出原理。 2.利用单摆装置测面积利用单摆装置测面积 例例、现有一只直径约 6cm 的圆柱形小烧杯，现要测量它的

15、外径，可供选择的器材如下：一段软线（足够长） 、一只带 铁夹的铁架台、一只直径约 2cm 带洞眼的小铜球，一只秒表、一架天平、直径维 3cm 带洞眼的小木球。 选择合适器材测量烧杯外径的简要步骤是 测量烧杯横截面积的表达形式是 S= 解析解析：小烧杯的面积 (其中 D 表示小烧杯的直径)，因此欲求小烧杯的横截面积，应先求直径 D，但如果把 小烧杯的直径直接作单摆的摆长，测量误差将会很大。故可考虑用其周长算直径的方法。相比之下，直径较小的铜球比直 径较大的木球构成单摆的误差小。 A、将软线沿烧杯外侧绕上 n 圈(n3)测得用线长为 L；B、将长 L 的软线上端固定于铁架台上，下端固定在小铜球 球心上，用秒表测出摆动 N 次全振动的时间 t。 直径 (n3) 所以面积 总结总结：以上两例皆以摆长做“文章” ，实际上摆长已知就相当于有现成的刻度尺，在这种情况下就可以间接测量与长度 有关的物理量。 3.利用单摆装置测高度利用单摆装置测高度图 2gRGM22/8 . 9sm2