导数的几何意义

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1、导数的几何意义导数的几何意义课例及点评课例及点评 摘自：苏州市网上教师学校 课例：广州大学附属中学施永红课例：广州大学附属中学施永红 【教学目标】 知识与技能目标： （1）使学生掌握函数 f(x)在 x=x0 处的导数 f(x0)的几何意义就是函数 f(x)的图像在 x=x0 处的切线的斜率。（数形结合），即： 切线的斜率(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。过程与方法目标：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。 【教学手段】采用计算机（Flash, Powe

2、rPoint），实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。【教学重点与难点】 重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。 难点：发现、理解及应用导数的几何意义 【教学过程】 （一）作业点评，承上启下： 问题：在高台跳水运动中，t 秒(s)时运动员相对于水面的高度是（单位：m），求运动员在 t=1s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状态；在 t=0.5s 时呢？教师点评作业的优点及不足；由学生甲解释 t=1s，t=0.5s 时运动员的运动状态。（说明：实例引入，承上启下，有效铺垫，直接过渡） （二）课题引入，类比探讨： 由导数的物理意义是瞬时速度，我们知

3、道了导数的本质。 问（一）：导数的本质是什么？写出它的表达式。 学生活动：在“学生动手实践”中，学生写出： 导数 f(x0)的本质是函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率，即： （说明：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意义奠定基础）问（二）：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义，应从哪儿入手呢？ 教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。要研究“形”，自然要结合“数”： 即：导数的代数表达式，并回忆求导数 f(x0)的步骤。问（三）求导数 f(x

4、0)的步骤有哪几步?教师引导学生回答： 第一步：求平均变化率；第二步：当x 趋近于 0 时，平均变化率无限趋近于的常数就是 f(x0)。（回归本质，数形结合）教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意义，类比地，也可以分两个步骤： 问（四）：第一步：平均变化率的几何意义是什么？请在函数图像中画出来； 学生动手活动：见“学生动手实践”。 由学生乙回答：平均变化率的几何意义是割线 AB 的斜率。教师提醒学生 A、B 两点的坐标必须写清楚。问（五）：第二步：x0 时，割线 AB 有什么变化？请画出来。学生动手活动：见“学生动手实践”。 教师展示学生作品，引导学生

5、观察：类比数的变化： 当x0，割线 AB 有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在 x=x0 处的切线，请把它画出来。 学生动手活动：见“学生动手实践”。 教师展示学生作品，引导学生发现，并说出： （形）x0，割线 AB切线 AD，则割线 AB 的斜率切线 AD 的斜率由数形结合，得 切线 AD 的斜率所以，函数 f(x)在 x=x0 处的导数 f(x0)的几何意义就是函数 f(z)的图像在 x=x0 处的切线 AD 的斜率。（数形结合）。（说明：动手实践，探索发现。使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解“导数的

6、几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。） （三）动画演示，总结归纳 1.演示 Flash 动画，将同学们画图、思考、数形结合的过程展示出来。2.教师提问：此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？展示 PowerPoint 动画。3.根据导数的几何意义，在点 P 附近，曲线 f(x)可以用在点 P 处的切线近似代替，这是微积分中重要的思想方法-以直代曲（以简单的对象刻画复杂的对象）。（动画演示：通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图，图象放得越大，这一小段曲线看起来就越象直线；大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切

7、线近似代替，即“以直代曲”）教师引导学生看书，理解，在课堂教学中紧密结合教材。 （说明：适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对“导数的几何意义”形象、直观地理解，还能将学生的动手实践（感知体验）与抽象思维（深层内化）有效结合，增强学生的思维能力训练，提高教学效率和教学质量。） （四）训练巩固、加强理解： 1.在函数的图像上，（1）用图形来体现导数 k(1)=-3.3，k(0.5)=-1.6 的几何意义，并用数学语言表述出来。（2）请描述、比较曲线 k(t)在 t0,t1,t2 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在 t3,t4附近呢？ （说明：要求学生动脑（审题），动手（画

8、切线），动口（讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。） 2.如图表示人体血管中的药物浓度 c=f(t)（单位：mg/ml）随时间 t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到 0.1)0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率 （说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。） （五）抽象概括，归纳小

9、结： 1.抽象概括：由练习 2 抽象概括出导函数（简称导数）的概念：f(x0)是确定的数（静态），f(x)是 x 的函数（动态）由（特殊-一般）（静态-动态）（说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想 2.归纳小结：由学生进行开放式小结： （1）函数 f(x)在 x=x0 处的导数 f(x0)的几何意义就是函数 f(x)的图像在 x=x0 处的切线 AD 的斜率。（数形结合），即：切线 AD 的斜率（2）利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。（3）导函数（简称“导数”）的概念。（六）作业布置，分层要求： 1.习题 P10A5,6.B2

10、,3.2.如图（函数图像参见“学生动手实践”，此略）是利用信息技术画出的函数的图像，请根据图像，估计 V=0.612 时，气球的瞬时膨胀率。有什么发现？3.请给出求函数 y=f(x)在 x=x0 处的切线方程的一个算法，并小组自编四个求切线的题目。 （探索：若把 3.“在点(x0,f(x0)处”改为“过点(x0,f(x0)”，算法有何不同？并小组自编四个求切线的题目。）学生动手实践 提问：1.导数 f(x0)的本质是什么？请写数学表达式。导数的本质是函数 f(x)在 处的 即： .函数 f(x)平均变化率的几何意义是什么，请在函数图 像中画出来。3.导数 f(x0)的几何意义是什么？导数 f(

11、x0)的几何意义是练习 1.在函数的图像上，（1）说说 k(1)=-3.3，k(0.5)=1.6 的几何意义。（2）请描述、比较曲线 k(t)在 t0,t1,t2,附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在 t3,t4 附近呢？ 2.如图表示人体血管中的药物浓度 c=f(t)（单位：mg/ml）随时间 t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8(min)时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到 0.1)，把数据用表格的形式列出。t0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率 抽象概括： 归纳小结： 点评：广州市教育局教学研究室点评：广州市教育局教学研究室/许

12、世红许世红本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意义。它能过直观具体的形象帮助学生消除对极限的神秘感，深刻理解导数的内涵和意义，形成对于变量与常量之间相互联系与转化的认识，感受和体验辩证思维活动的过程，它对于学生深化数形结合认识，了解辩证思维的方式具有十分典型和重要的功能。本课的设计和教学较好地反映了以上意图，较好地体现出高中数学课程标准所倡导的教学理念，主要特色如下： 教学思路清晰，学习重点突出 本节课围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开。 首先，教师从点评简单的作业“求高台跳水运动中某时刻的瞬时

13、速度并描述该时刻的运动状态”入手，复习导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的几何意义；然后，类比“平均变化率-瞬时变化率”的研究思路，运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的几何意义-“导数是曲线上某点处切线的斜率”。完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研究实际问题时，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”，从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性。 整节课的教学思路清晰，突出了对主干

14、知识的深入研讨。虽然活动的每一个环节和片断基本上以教材内容为主线展开，但每一个知识、每一个发现，教师总是设法由学生自己得出，教师只是在关键处加以引导，尤其是，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，充分体现出学生才是学习的主角这一新课程理念。 设问合乎情理，探究活动自然 著名哲学家波普尔说“问题构成了一切科学探索活动(包括数学活动)的实际出发点”。在课堂上，只有通过适当的设问，才能在教学中真正实现“人人开动脑筋,积极思考”。本节课，教师十分注意提问的艺术，设计的问题围绕“怎样想到导数的几何意义就是切线的斜率”而进行，引导学生充分经历“提出问题（从数的

15、角度研究了导数后，从形的角度如何研究导数？）-寻求想法-实施想法-发现规律-给出定义-应用定义解释现象（如何估计切线的斜率）”这一完整的探究活动，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的。注重学法引导，揭示研究方法 无论是复习导数的实际意义、数值意义，还是研究导数的几何意义及其应用，教师都很注重对数学思考和解决问题基本方法的教学，教师总是问：“你为什么这样做？”、“你是怎样想的？”、“还可以怎样做？”等问题，问思路、问道理、问方法，及时组织学生交流思维过程，展现问题解决的途径，揭示研究问题的基本方法，借此引导学生学会必要的思维策略。从学生对例 2、例 3 的分析可以看出，学生分析问题时表述清楚，

16、思维方向正确，显得很是自信。巧用信息技术，强化直观感知 由于研究导数的几何意义时应用了“逼近”的思想，在学生动手画出一系列特殊位置的割线后，教师恰当地应用 flash 动画，让学生从直观上强烈感受到由割线逼近切线、产生切线的过程，再从理性的角度思考“切线产生”的深层原因，较好地培养了学生的观察能力和分析能力。另外，在解释“以直代曲”思想时，利用几何画板将曲线某一点附近的图象放大，让学生直观感受到“以直代曲”的合理性和有效性，加深了学生对这一重要思想的认识。整合教材资源，突破理解难点 由于版面的限制，教材例 3 中的图 1.1-4 的网格较密，不利于学生展开对该问题的研究。教师在实际处理时，直接将教材中的图形放大后印发给学生，让学生借助网格估计导数的近似值，有效地突破了研究难点，这种处理方式反映了