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1、 向量代数向量代数 一、向量代数既有大小又有方向的量称为向量。我们用来表示一个向量。线段的长度表示向量的大小 ，记作称为向量的模。从 A 到 B 的方向表示向量的方向， A 是起点 ( 起 始点 ) ， B 是终点。AB ABAB我们先讨论自由向量，若两个向量方向和大小相 同，我们认为它们是同一个向量。彼此平行的向量我们一般称为共线向量。反向量有时也用黑体英文字母来表示向量如这时它们的模记作与大小相等，方向相反的向量记作称为的反向量。a,b ,c,. a,b,c,.aa a单位向量模为 1 的向量称为单位向量。设是任意一个向量，我们把和方向相同 的单位向量记作aa a0零向量模为 0 的向量
2、称为零向量。任何方向都可以作为零向量的方向。用粗体的 0 来表示零向量。向量的加法向量加法a + b约定： 0 + a = a + 0 = a易见，向量加法满足交换律和结合律a + b = b + a( a + b ) + c = a + ( b + c )三角不等式abab减法ab=ab数乘定义向量 和实数的数乘运算：的模为的方向当时方向和一致当时方向和相反a aa0 0a0=0a=0a0=a aaa a数乘满足以下运算规律ab= ab a= a aa= a若或，则 a 和 b 共线0 和任何向量都共线。a=bb=a内积内积又称数量积或点乘。ab=abcosa ,b点乘的运算规律ab=ba
3、( a)b=(ab)abc=acbc定理 .与垂直当且仅当ab=0ab外积外积又叫叉乘，向量积，记作叉乘的结果仍是一个向量。大小为方向由右手法则确定若与共线，则abab=absina ,bab=0ab注：的模恰为以这两个向量为边的平行 四边形的面积。ab叉乘的运算规律ab=baab=ab=a babc=acbc定理 .与共线当且仅当ab=0ab设，是三个向量，则是一个实数，称为这三个向量的混合积。abcabc恰好是以这三个向量作出的平行 六面体的体积。a bcabc=b ca定理 . ，共面当且仅当abc=0abc二、向量的空间坐标先建立空间直角坐标系坐标原点 O三条互相垂直的直线，取定相同的
4、单位和各自的 方向，按右手法则称为 x 轴， y 轴和 z 轴 ( 又称 横轴，纵轴和立轴 ) 。统称坐标轴。任意两个坐标轴确定一个平面，称为坐标平面， 分别记为 Oxy 平面， Oyz 平面和 Ozx 平面。三个坐标平面把空间分为八个卦限。坐标建立了空间直角坐标系后，任意一个点就可以用 三个有序的实数来表示。设 P 为空间中的一点， A, B, C 为 P 向三个坐标 轴分别作垂线的垂足。若 A,B,C 在各自的数轴的 坐标为 x,y,z ，则称 (x,y,z) 为 P 点的坐标。 x,y,z 分别称为横坐标，纵坐标和立坐标。反之，任意三个有序的实数 (x,y,z) 也能确定空间 中的唯一的
5、一个点。若记则和空间中的点建立了一一对应的关系。3=x, y,z|x ,y ,z3点和向量空间中的每个点 P 对应一个向量于是空间中的点又和全体向量建立了一一对应的 关系。所以，我们可以把 P 的坐标 (x,y,z) 定义为向量的坐标。OPOP向量坐标的意义在 x 轴， y 轴和 z 轴分别取单位向量大小均为 1 个单位，方向分别和各自的坐标轴正 方向相同。则的坐标为 (x,y,z) 当且仅当i , j ,kOP OP=xiy jz k于是，任何一个向量的坐标为 (x,y,z) 当且仅 当aa=xiy jzk向量加法的坐标表示若则a=x1,y1,z1,b=x2,y2,z2ab=x1x2,y1
6、y2,z1z2数乘a= x , y , za=x, y ,z内积 ( 点乘 ) a=x1,y1,z1,b=x2,y2,z2ab=x1x2y1y2z1z2模的坐标表示特别地，若则由定义另一方面所以a=x, y ,zaa=aacosa,a=a2aa=x2y2z2a=x2y2z2任意方向的单位向量任给向量a=x, y ,za0=1 x2y2z2x, y ,z例 1. 设空间中两点的坐标为则 P1到 P2的距离为P1=x1,y1,z1,P2=x2,y2,z2x1x22y 1 y22z 1z22例 2. 设空间中有三个点求与的夹角。A=1,0,1,B=0,1,1,C=1,1,1 ABAC叉乘的坐标表示二
7、阶行列式ab cd=adbc三阶行列式xyz x1y1z1 x2y2z2=xy1z1 y2z2 yx1z1 x2z2zx1y1 x2y2叉乘ab=ijk x1y1z1 x2y2z2a=x1,y1,z1,b=x2,y2,z2例 3.求一单位向量使之同时垂直于与，且构成右手系。a=1,0,2,b=2,1,1 abc a ,b,c例 4.问这两个向量是否共线。a=5,6,0,b=1,2,3例 5. 下面三个向量是否共面a=3,0,5,b=1,2,3,c=5,4,11方向余弦设 a 是一个非零向量，它与 x 轴， y 轴和 z 轴的夹角分别是，称为方向角，其中称为方向余弦。 , ,0, cos,cos,cos若 a =( x,y,z)cos=ai a,cos=aj a,cos=ak acos=x x2y2z2,cos=y x2y2z2,cos=z x2y2z2cos2cos2cos2=1即 的方向余弦是单位向量的坐标cosicos jcosk=a0=a acos ,cos,cos a0=a aa作业P223, #10P229, #6, #9, #11, #13
