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1、2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 1 页 共 25 页第六部分第六部分 立体几何立体几何一，常见结论一，常见结论1、简单旋转体的结构特征对比：、简单旋转体的结构特征对比：结构特征球圆柱圆锥圆台母线无母线都平行且相等所有的母线都相等且 交于顶点所有的母线都相等 延长交于一点底面无两底面平行相等圆一个底面圆两底面平行不等圆平行于底 截面球的任何 截面都是 圆与底面相等的圆与底面不等的圆与底面不等的圆轴截面大圆矩形等腰三角形等腰梯形侧面展开 图不可展开矩形扇形扇环2、简单多面体的结构特征对比：、简单多面体的结构特征对比：结构特征棱柱棱锥棱台底面平行且全等多边形多边形平行相似多边形侧面
2、平行四边形三角形梯形侧棱平行且相等相交于一点延长线交于一点平行于底的截面与底面全等的多边形与底面相似多边形与底面相似多边形过不相邻侧棱的截面平行四边形三角形梯形3、简单几何体的表面积和体积简单几何体的表面积和体积（1）圆柱、圆锥、圆台、球的表面积(是底面周长， 为母线长)cl圆柱的侧面积: ，表面积；2Sclrl)(2222lrrrlrS圆锥的侧面积，表面积；1 2Sclrl)(2lrrrlrS圆台的侧面积，表面积；12121()()2Scc ll rr)(2 22 121rrlrlrS球的表面积24 RS（2）简单几何体的体积棱柱和圆柱的体积；棱锥和圆锥的体积；hSVhSV31棱台和圆台的体
3、积；球的体积。hSSSSV上上上上上(313 34RV4、三视图的投影规律：、三视图的投影规律： 主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等 5 5、空间图形的公理、空间图形的公理 公理公理 1 1：文字语言：文字语言： 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这 个平面内（即直线在平面内） 。2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 2 页 共 25 页符号语言：符号语言：。,Al Bl ABl 应用：应用：证明或说明点在平面内，线在平面内。 公理公理 2 2： 文字语言文字语言: :经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平 面） 。符
4、号语言：符号语言：若，则点、确定一个平面，又可记作：平面。ABC上上上ABCABC推论 1 经过直线和直线外的一点，确定一个平面； 推论 2 经过两相交直线，确定一个平面； 推论 3 经过两平行直线，确定一个平面。 应用：应用：证明点或线共面,确定平面。 公理公理 3 3：文字语言：文字语言： 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这 个点的公共直线。符号语言：符号语言：。,Aa AaII应用：应用：证明多点共线，多线公点，判定两平面相交。 公理公理 4 4 ：文字语言：文字语言：平行于同一直线的两条直线平行。符号语言：符号语言：。/ / , / / /ab bcac应用：
5、应用：证明线线平行。 6 6、线面、面面、线线平行的证明方法、线面、面面、线线平行的证明方法 (1)(1) 线面平行的证明：（线线平行线面平行）/ ,/mn mnm（面面平行线面平行）/ / ,/ /mm（直线所在的向量和平面的法向量垂直）,/ /nnmmrru r(2) 面面平行的证明：（线面平行面面平行）,/ / , / / /ababA abI（线线平行,/ / , / / /ababA cdcdB ac bdII面面平行）（面面平行传递性）/ / ,/ / / ,/ /aa (两平面的法向量平行),/ / /nmnmru rru r(3) 线线平行的证明： （线线平行传递性）/ / ,
6、 / / /ab bcac（线面平行线线平行）/ / ,/ /aabab I2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 3 页 共 25 页（面面平行线线平行）/ / ,/ /abab II,/ /abab7 7、线面、面面、线线垂直的证明方法、线面、面面、线线垂直的证明方法 (1)(1) 线面垂直的证明：（线线垂直线面垂直）,am an mnmnAaI（面面垂直线面垂直）,l aala I/ / ,ab ba/ / ,aa,/ /mamau rru r(2) 面面垂直的证明：（线面垂直面面垂直）,aa,mnmnu rru rr(3) 线线面垂直的证明： 0a bababr rrrg,a
7、bab8 8、空间角的求法、空间角的求法 （1 1）异面直线所成的角: 范围： (0,2求法： 【方法一】平移法：把两条直线平移到同一个平面内求解【方法二】向量法：设异面直线的夹角为，它们,m n的方向向量分别为，则；,m nu r r|cos,| cosm nu r r（2 2）直线与平面所成的角: 范围： (0,2求法：设直线 与平面所成角为l 【方法一】定义法：如图 1，设直线 与平面的交点l 为，在直线 上取一点，过作平面的垂线，垂AlPP 足是，则就是设直线 与平面所成角，然OPAOl 后在计算即可Rt POA【方法二】向量法：设直线 的方向向量为，平面llr2013 年高考数学复习
8、专题系列-立体几何部分第 4 页 共 25 页的法向量为，则，即或者；nr|cos,| sinl nr r,2l n r r,2l nr r（3 3）二面角: 范围：(0, )求法：设平面与平面所成角为，lI【方法一】定义法：在两个平面的交线 上取一点，过分别在平面内作 的垂线，lOO, l公共垂足是，即所以平面与平面所成角为就是；O,OAl OBlAOB【方法二】如图 2，在平面（或）中任取一点，向另一平面（或）作垂线，垂A足为，即（或） ，然后过向交线 作垂线，垂足为，即，BABABAlOAOl连接，则交线 垂直于平面，即；OBlAOB,lAO lABAOB 【方法三】向量法：设平面的法向
9、量为，平面的法向量为，则nrmu r即（1）当两个平面的法向量，的方向都指向两个平面的内部|cos,| |cos|m nu r rnrmu r或外部时，；（2）当两个平面的法向量，的方向一个指向平面的内,m n u r rnrmu r部（或外部） ，另一个指向平面的外部（或内部）时，;如图 3 所示；,m nu r r9、空间距离的求法：、空间距离的求法： （1）空间中的距离分三类： 点到平面的距离： 直线和平面平行的线面距离：转化为点到平面距离 两个平行平面的面面距离：转化为点到平面距离 即点到平面的距离，直线和平面平行的线面距离，两个平行平面的面面距离都是转化为点 到平面距离来求；2013
10、 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 5 页 共 25 页（2）点到平面距离的定义：过点向已知平面作垂线，则点和垂足构成的线段就是点到平面的距离；如图 4 所示： ，垂足是，则点到平面距离就是；AOOAAO (3)求法： 【方法一】定义法：先作后求 【方法二】等体积法：【方法三】向量法：在平面内任取一点，设平面的法向量为，则Bnr| |AB ndnuuu r r r原因如下：如图 5 所示，点到平面距离就是，设，在中，AAOAOdRt AOB|cosdABBAOuuu r|cos|cos,|AB nAB nAB nBAOAB ndABAB nAB nnuuu r ruuu r ruuu r
11、 ruuu r ruuu ruuu rruuu rrr，10、空间直角坐标系中点的坐标：、空间直角坐标系中点的坐标： （1）空间直角坐标系中点的坐标的如何确定：设空间中有一点，则点的横坐标的绝对值是它到 平面的距离，点的( , , )P x y zPyozP纵坐标的绝对值是它到平面的距离，点的竖坐标的绝对值是它到平面的距离；xozPxoy （2）空间直角坐标系中特殊点的坐标若点在原点，则点的坐标为；PP(0,0,0)若点在 x 轴上，则点的坐标为；PP( ,0,0)x若点在 y 轴上，则点的坐标为；PP(0, ,0)y若点在 z 轴上，则点的坐标为；PP(0,0, ) z若点在平面上，则点的坐
12、标为；PxoyP( , ,0)x y若点在平面上，则点的坐标为；PyozP(0, , )y z2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 6 页 共 25 页若点在平面上，则点的坐标为；PxozP( ,0, )xz若点在空间上，则点的坐标为；PP( , , )x y z二，例题分析二，例题分析例例 1、 （12 新课标文、理新课标文、理 7）如图 6，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何1 体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A、 B、 C、 D、69 【解析】此题考查三视图、锥体的体积计算公式、考查学生 的空间想象能力； 由已知三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为
13、，所以几何体的体积为3，选 B；933621 31V例例 2、 （12 新课标理新课标理 11）已知三棱锥的所有顶点都SABC 在球的球面上，是边长为 的正三角形，为球OABC1SC 的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）O2SC A、 B、 C、 D、2 63 62 32 2【解析】此题考查球的性质、点到平面的距离、锥体体积的计算公式、考查学生的空间想象能力和转化化归思想的应用；【解法一】直接法：的外接圆的半径，点ABC3 3r 到面的距离,为球的直径点到面的距离为OABC226 3dRrSCOSABC， 此棱锥的体积为，所以选 A2 623d 1132 62233436ABCVSd【解法二】排
14、除法：因为排除,选 A.13236ABCVSR,B C D例例 3、 （12 新课标文新课标文 8）平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面的距离为，则此球的体积为 （ ）2A、 B、 C、 D、64 34 66 3【解析】此题考查球的截面、球的性质、球的体积的计算公式；球半径，所以球的体积为，选 B.3)2(12r34)3(343例例 3、 （12 全国文全国文 8、理、理 4）已知正四棱柱中 1111ABCDABC D，为的中点，则直线与平面的距离为（ ）2AB 12 2CC E1CC1ACBED2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 7 页 共 25 页A、 B、 C、 D、2321【解析】此题考查空间中距离的计算、考查学生的等价转化和化归思想的应用、考查学生的运算求解能力；如图 7 所示，连结交于点，连结，因为是中点，所BDAC,OOEEO,以,且，所以，即1/ ACOE121ACOE BDEAC /1直线与平面 BED 的距离等于点到平面 BED 的1ACC距离，过做于,则即为所求距离.因C
