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1、 20112012 二 高等代数 （A 卷） 数理学院 数学系应数、信计专业本科生 （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、 填空题：（每小题 3 分，共 24 分）1、二次型的矩阵是 。222 123123121323( ,)f x x xxxxx xx xx x 2、设为 3 阶方阵，其特征值为 3，-1，2，则 。AA3、设是数域上的 3 维向量空间，是的一个线性变换，是的VCV123，V一个基，关于该基的矩阵是，则在 321321111321)(下的坐标是 。123，4、若线性变换关于基的矩阵为，那么线性变换关于基的12, ab cd 21, 3矩阵为 。5、设与都是数域上的两个有限
2、维向量空间，则 。VWPWV6、令是数域上一切满足条件的 3 阶矩阵所成的向量空间，则SPAA A= 。Sdim7、设与分别是数域上 10 元齐次线性方程组与的解空间，如果1W2WP0AX =0BX，4，则 。3,4rankArankB12dim()WW12dim()WW8、 在闭区间上的所有实连续函数所成的空间中，定义内积0,110( , )( ) ( )f gf x g x dx课程考试试题课程考试试题学期学期学年学年拟题人拟题人: :校对人校对人: :拟题学院（系）拟题学院（系）: : 适适 用用 专专 业业: : 则和的夹角为 。x2x二、 单项选择题：（每小题 3 分，共 15 分）
3、1、下列集合中，是的子空间的为（ ） ，其中3R 123( ,)x x x（A） （B） 30x123230xxx（C） （D）31x123231xxx2、是阶实方阵，则是正交矩阵的充要条件是（ ） 。AnA（A） （B）1AAIAA（C） （D）1AAIA 23、下述说法中不正确不正确的是（ ） 。（A） 维线性空间的任意个线性无关的向量都可构成的一个基；nVnV（B） 设是线性空间中的个向量，且中的每个向量都可由之线性nL，21,VnV表示，则是的一个基；nL，21,V（C） 设是向量空间的一个基，如果与等价，12,n L，V12nL，12,n L，则也是的一个基；12nL，V（D）维线性
4、空间的任意个向量线性相关。nV1n4、 设都是三维向量空间的基，且321321,与V，321321211, a则矩阵是由基到（ ）的过渡矩阵。 111001011 P321,（A） （B） 312,3, 21,（C） （D） 132,123,5、设，是相互正交的维实向量，则下列各式中错误的是（ ） 。n（A） （B）222（C） （D）222三、 判断题：（每小题 2 分，共 10 分）1、若两个矩阵合同,则它们的秩相等，反之也成立。 （ ）2、设是数域上的一个维线性空间的一个线性变换，关于两组基的矩阵分别为PnV和，则。 （ ）ABAB3、和是矩阵的两个不同的特征值，和分别为的属于和的特征向
5、量，12A12A12则+也是的一个特征向量。 （ ）12A4、若一个阶矩阵的行列式不为 0，则 可逆。 （ ）n n( )A( )A5、有限维欧氏空间中的线性变换为对称变换的充要条件是将标准正交基变到标准正交基。 （ ）四、 计算题：（5 个小题，共 40 分）1、 （6 分） 取何值时，二次型正定。t32212 32 22 132122)(),(xxxxxxxtxxxf2、 （8 分）在中，2 P x（1）求由基到基的过渡矩阵；221,xxxx221,xxxx（2）求向量关于基的坐标。2( )1 23f xxx 221,xxxx3、 （8 分）设线性变换在线性空间的基下的矩阵为。V123, 101 210 113A 求值域与核的基。( )V1(0)4、 （8 分）已知一个 5 阶矩阵的行列式因子3 =1, 4 =,5 = ADD) 1( D。23) 1( 求的若当标准形。A5、 （10 分）实数域上的矩阵。211 121 112A （1）求的特征值与特征向量；A（2）求一个正交矩阵和对角矩阵，使。TB1TATB五、 证明题（2 个小题，共 11 分）1、 （6 分）不含零向量的正交向量组是线性无关的。2、 （5 分）设是维欧氏空间的一个线性变换，如果是正交变换又是对称变换，nV证明是单位变换。2
