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1、“所有的判断都是统计学”“统计与概率”备课与教学难点解析当今世界上最伟大的统计学家之一 C.R.劳先生在他的统计学哲理论著统计与真理怎样运用偶然性中指出：“在终极的分析中，一切知识都是历史；在抽象的意义下，一切科学都是数学；在理性的基础上，所有的判断都是统计学。”诚哉斯言，我们关于新课程小学数学统计与概率教学的判断，就是建立在我们的统计基础之上阅读的统计、实践的统计、思考的统计。一、统计与概率，小学数学的三分之一？原来我国小学数学教材中只有统计而没有概率，并且只占很小篇幅，可以说都属于古典统计学范畴。一方面，可能与我国传统文化重整合轻分析，重人伦轻自然，重义轻利，重道轻器有关；另一方面，在计划
2、经济时期人们遇到的更多的是确定的对象，没有感受到统计与概率的必需。而在标准中，“统计与概率”与历来数学教学中重量级内容“数与代数”、“空间与图”三分天下（实践与综合应用并不是独立的教学内容），受到了前所未有的重视。首先，在以信息和技术为基础的社会里，人们面临着更多的机会和选择，而数据则日益成为一种重要的信息。“生活已经无于数学课程将统计推到了学生的面前”，报刊中大数、百分数、图形图表出现的比例越来越高便是明证。图表本是统计的一部分，自不必说。许多大数、百分数本身也是统计或推断的结果，可以说他们的背后还是统计与概率。学会处理各种信息尤其是数字信息，具有收集、整理与分析信息的能力已经成为数字社会公
3、民基本素养的一部分，如威尔斯所预见的那样：“就像读和写的能力一样，将来有一天统计的思维方法会成为效率公民的必备能力。”统计与概率所提供的“运用数据进行推断”的思考方法，已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思维方式。在小学进行统计与概率的教学，可以让学生逐步形成统计观念，形成尊重事实、用数据说话的科学态度。其次，在学习统计与概率的过程中会涉及解决问题、计算、推理以及整数、小数、分数、百分数、图形等许多数学知识。实际上学统计与概率的同时又复习、运用了过去的旧知识，发展了学生解决问题的能力。最后，以不确定性为研究对象的统计与概率有其固有的思想方法，它有别于讲究因果关系的逻辑思维。数学家阿蒂亚曾经
4、说过：“代数是有序的逻辑，几何是看得见的逻辑，概率是无序的逻辑。”不少研究表明，如果学生缺乏对随机现代的体验，往往很难建立这一观念。所以有必要在学生系统地进行理论知识的学习之前，在小学里积累丰富的对随机现象的经验。二、是“统计与概率”，还是“统计概率”？尽管小学数学把统计与概率放在了一起，但是我们往往还是认为二者不太沾边：小学教材中关于这部分的内容，我们都能清晰地把它归为统计或归为概率。的确，在统计学的诞生之初，与概率无甚关联。统计学是“关于收集和分析数据的科学和艺术”（大不列颠百科全书），是一门“对数据进行收集、分类、分析和解释的科学”（兰登书屋大辞典）。两部国际权威辞典对统计学的看法有相似
5、之处，那就是强调数据，强调对数据的收集、整理、分析及解释。统计学最初来源于国情普查。国家管理中需要收集和分析各种数据，比如对人口、土地、国民收入、各种税收的统计等。14 世纪左右，随着航海业在欧洲兴起，航海保险业开始出现。为了合理地确定保险金与赔偿金，需要了解不同季节、不同航海路线出现事故的可能性的大小，需要收集相关的数据，根据数据进行分析和判断。渐渐人们发现，统计资料中的各种数据大多是偶然现象的反映。于是到了 19 世纪末 20 世纪初，概率论的有关知识被引入统计学，构建了现代统计学。与古典统计学相比，二者都是对于数据的收集和分析，但内涵有了显著的变化：本质的区别是后者进行分析的基础是“不确
6、定性”，即“随机”。至于概率论，大家都知道它的“出生”就和赌博有关。但概率论的真正出现源于 17 世纪一次未完成的赌博，双方为最终赌金的分配争执不休，于是写信向当时法国最具权威的数学家帕斯卡请教，这个问题随后吸引了包括帕斯卡、费马、惠更斯等众多数学家的思考和讨论，讨论的结果，惠更斯把它写成一本书论赌博中的计算（1657 年），这就是概率论最早的一部著作。由此一个崭新的数学分支概率论登上了历史舞台。后来概率在社会学、生物学、物理学和化学等许多领域发挥着十分重要的作用。概率论是分析随机现象的一个数学分支。概率是表示特殊结果在单个场合出现的可能性的数（大不列颠百科全书国际中文版）。概率论是数学、统计
7、学术语，是分析、说明有关有确定现象发生可能性的学科（兰登书屋大辞典）。统计与概率是密不可分的。一方面，概率论是现代统计学的根据：因为统计总是需要通过对样本的统计来推断全体，总要受到实际生活中不确定因素的影响，因此必须加入受不确定因素影响做出错误判断的概率；另一方面，通过频率研究概率需要多次的重复实验，需要收集、整理、分析实验数据，所以概率也离不开统计。已故中科院院士、中国统计学会副会长陈希孺先生指出：“统计学是有关收集和分析带随机性误差的数据的科学和艺术。分析着重在数量化，而随机性的数量化，是通过概率表现出来，由此可以看出统计学与概率论的密切关系大体上说，二者的关系是：概率论是统计学的理论和方
8、法的依据，而统计学可视为概率论的一种应用。”小学生学习统计与概率的过程，与统计与概率的历史发展是一致的。一开始，统计的对象更多的是确定性的（或者说学习内容是与概率没多大关系的古典统计学），例如，北师大版教材第一册“统计”中，统计的对象是全班每个同学最喜欢吃的水果，它们在数量上是确定的。利用统计对象的确定性教学统计表，不仅充分考虑了一年级学生的学习能力，而且有利于学生更好地学习简单统计表。随着学习的深入，统计对象更多地具有随机性。例如，“估计你们班所有同学的家庭一个月内共丢弃多少个塑料袋？通过实际调查验证你的估计。”在该统计活动中，统计对象塑料袋的总数非常大，统计起来既浪费时间，又浪费人力和物力
9、。此时，就可以渗透抽样统计的方法，帮助学生自己选择统计对象。这里，统计对象可以是全班同学家庭的某些天丢弃塑料袋的个数，或部分同学家庭的某个月丢弃塑料袋的个数。随着学生相关知识的增多，统计与概率越来越密不可分。例如，标准第 29 页例 7，“调查两支球队以往比赛的胜负情况，预测下场比赛谁获胜的可能性大，并说明自己的理由。”这样的教学是建立在随机现象的基础上的，要求学生能够用统计的方法收集有关两队以往比赛胜负的资料，进行有效的整理分析，推断下场比赛的胜负。三、统计=计算制图制表？在计算机尚未普及的年代，统计被演绎成繁杂的计算和枯燥的制图制表。在信息技术日益发达的今天，计算、画图等工作不应该再占据学
10、生过多的时间，事实是它们也远非统计教学的核心。小学统计教学的核心目标是发展学生的统计观念。统计观念体现在以下几个方面：认识到统计的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题；能通过收集、描述、分析数据的过程，作出决策；能对数据的来源、收集和描述的方法、分析的结论进行合理的质疑。我们以为：对于小学教师而言，理解什么是“统计”，了解统计的发展历史，了解不同统计的作用，明确小学阶段的统计学是描述性统计等非常重要。观念的形成需要人们亲身的经历。建立统计观念最好的办法是让学生经历完整的收集、整理、描述、分析的统计全过程，让学生明白为什么要做这些。常见的教学中，数据的“收集、整理、描述、分析”都是教师布置的
11、“任务”，只要学生按照教师的要求去做即可，而没有问一问做这些的意义。首先，关于收集数据。我们发现，教师往往把重点放在收集数据的具体细枝末节的方法上，比如：多样化的符号表达，画“正”字记录等等。当然，这些对初学统计的小学生而言不容忽视。但我们认为，首要的一个问题是应该收集什么样的数据？显然，是能够客观反映背景的“好”数据。这是决定统计成败的关键。获得“好”的数据，一是要尽可能多地利用对实际背景已有的经验。比如要预测某一天的天气情况，我们可以收集历史上相应的天气的数据。以下两种方法哪种更恰当呢？一、收集近三十年该日期的天气情况；二、收集近三十年来相似卫星云图的天气情况。根据我们的经验，“天气情况与
12、卫星云图有很大的相关”，我们就会选择一者。二是采用简单的方法。简单的方法往往可以节省很多统计成本。这方面有一个很经典的统计案例：1997 年香港回归，民心民意到底如何？只收集一项数据的调查（回归前后市民关于“你是哪里人”答案的比较）就很好地回答了这个问题。简单需要把握纷繁复杂的现象背后的本质，这一切依赖数学化。其次，关于数据整理。统计图表的格式和绘制规则是必不可少的，但绝对不是整理数据的全部：计算机的广泛使用，让统计教学的重心转移，即数据整理后首先需要面对的是选择什么样的方式呈现？这就需要学生通过观察、比较、讨论等活动对各种统计图表的特点有一个明确的认识。再次，关于数据描述。主要包括集中趋势的
13、描述和离中趋势的描述两部分。小学阶段只涉及前者。集中趋势，就是指整体水平，一般用平均数来表示，有时也用众数、中位数等描述。这里，需要强调平均数的统计意义。首先，它是一组数据的代表数值，可以用来说明这组数据的整体水平或典型情况；其次，它可用来进行数据之间的比较。教学时要重视学生对平均数意义、特点的把握，注重对其统计含义的理解。学生往往因为对平均数和通常的“平均分”分辨不清，不理解平均数的假设性，误以为真正的移多补少。导致学生常常有这样的困惑：“平均每户 3.1 人，人数怎么会有小数呢？”“足球比赛比分是 2：4，平均每队的进球数是 3，两队是对抗性的，怎么可以平均呢？”最后，关于数据分析。信息时
14、代生活中充斥着各种数据，经过形象化处理得到的统计图表，给人们带来了很大的视觉冲击，所谓的“读图时代”便源于此。为了能在这个“读图时代”更好地生存，就必须能从大量的“图”中获取有用的信息，作出独立的分析，并理智地对待新闻媒介、广告等公布的数据，对数据的来源、收集方法、呈现方式、由此得出的结论进行合理的质疑。下面摘录的是石雪纳老师教学“简单的数据整理和统计表”一课的片段，我们一起感受统计的全过程。师：刚才大家交流了生活中的统计表。现在有这么一件事：小明的奶奶有一天来到学校，反映作业负担太重，说孩子前一天写作业整整用了 90 分钟。校长听后请奶奶先回去，并跟奶奶说，明天我会给您一个满意的答复。同学们
15、，你要是校长，接下来你会做些什么呢？生 1：我要是校长，我会去问老师是否昨天留的作业太多了。生 2：你问了老师肯定说不多，我想应该让老师把昨天的作业做一遍，看看是不是要很长时间。生 3：那不行，你想啊，老师是大人，而小明是学生。大人知识那么多，做题肯定比小孩熟练，时间一定短呀。不能这样比！生 2：哎，你说的对呀，那我们就找一个学生来做。生 4：那万一你找的这个学生也很慢呢？或者他是班里作业最快的学生，怎么比呀？生 2：那，我们多找几个人不就行啦？生 4：这还差不多！师：看来大家的最终意见是要把小明的作业时间和别的同学比较一下，对吗？我这里就有一张全班同学作业时间的记载表，来看看。师：校长拿着这
16、个表格就想了：这么多数，奶奶的眼睛不都看花了？需要整理一下。你觉得该以多长时间为一段进行统计呢？生 1：我看按照时间长短进行排列就能看出来全班作业时间的情况，不用分时间段。师：这方法可以，但是为了奶奶看得更清楚，我们是不是可以分段来统计呢？生 2：对，我看 30 分钟一段就行。生 3：10 分钟一段也行吧。生 4：15 分钟一段也行！师：大家说的都可以，一般在时间间隔比较短的时候我们采用 15 分或 30 分一段。投影出示：师：这张纸上有两个不同时间段的统计表，各组也有。一会儿小组选择其中一个进行统计就可以了。下面咱们小组比一比，看哪个组最先做好统计。（小组合作完成表格）师：哪个小组说说你们是怎么统计的？生 1：我们组选择的是第一个表格，大家分工合作，一个人负责统计 15 分以内和 61 分以上的，因为这两个时间段人比较少，少一个人负责就够了；一个人负责统计 1630 分的；一个负责统计 3145 分的；一个负责统计 4660 分的。最后大家再汇总，填写到表格里。生 2：我们统计的结果是 15 分以内 1 人，16
