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1、12999 数学网 岳阳县一中2012 届高三文科数学 第 1 页 共 8 页新课标新课标回归教材回归教材 函函 数数1.函数函数的概念.理解注意(1):都是非空数集;(2)任意性:集合中的任意一: f ABA B、A个元素;(3)唯一性:在集合中有唯一确定的数和它对应;(3)定不定:集合一定是xB( )f xA 函数的定义域,集合不一定是函数的值域,函数值域一定是集合的子集.BB 典例典例:(1)函数图像与直线至多有一个公共点,但与直线的公共()xm mR()yn nR 点可能没有,也可能有任意个. (2)已知,则集合中元素有 0 或 1 个;( , )|( ),( , )|1Ax yyf
2、x xFBx yxABI(3)若函数的定义域、值域都是闭区间,则 2 .21242yxx2,2 bb2.同一函数.函数三要素是:定义域,值域和对应法则.而值域可由定义域和对应法则唯一 确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数它们一定为同一函数. 典例典例:若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“孪生 函数”,那么解析式为,值域为4,1的“孪生函数”共有 9 个.2yx3.映射的概念.理解注意理解注意: :映射是函数概念的推广,表现在集合可以为任意: f ABA B、 非空集合,不一定是表示数,可以是其它人或事
3、物本身. 典例典例:(1)设集合,映射满足条件“对任意的, 1,0,1,1,2,3,4,5MN : f MNxM是奇数”,这样的映射有 12 个;( )xf xf(2)设是集合到集合的映射,若,则一定是.2:f xxAB1,2B ABI1或4.求函数定义域的常用方法（一切函数问题一切函数问题: :定义域优先定义域优先）(1)使函数的解析式有意义.解析式求定义域解析式求定义域解析式求定义域为偶数)( )(nyu xn( )0u x 1 ( )yu x( )0u x 0 ( )yu x( )0u x (,)logayxa R1a0x tanyx()2xkkZ 典例典例:(1)函数的定义域是; 24
4、lg3xxy x 0,2)(2,3)(3,4)UU(2)若函数的定义域为 R,则;27 43kxykxkxk340,)(3)函数定义域是,且,则函数定义域是;( )f x , a b0ba ( )( )()F xf xfx ,aa(4)设函数,若的定义域是 R,求实数的取值范围;若的2( )lg(21)f xaxx( )f xa( )f x 值域是 R,求实数的取值范围（答:; ）a1a 01a(2)使实际问题有意义.实际问题有意义实际问题有意义实际问题有意义三角形中，最大角,0A3最小角3距离或弧长或 面积或体积等为正数年月日等为正整数(3)复合函数的定义域.岳阳县一中2012 届高三回归教
5、材 第 2 页 共 8 页简单函数定义域复合函数定义域求法备注若已知的定义域为( )f x , a b则的定义域由不等式解出 ( )f g x( )ag xb解不等式复合函数定义域简单函数定义域求法备注若的定义域为 ( )f g x , a b则的定义域为在上的值域( )f x( )g x , a b求值域法典例典例:(1)若函数的定义域为,则的定义域为;( )yf x12,22(log)fx4|2xx(2)若函数的定义域为,则函数的定义域为2(1)f x 2,1)( )f x1,5x 5.求函数值域(最值)的方法: (1)配方法配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间
6、上的最值;二是求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题.求二次函数的最值问题二次函数的最值问题, , , m n 勿忘数形结合勿忘数形结合,注意“两看两看”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系）. 典例典例:(1)函数的值域是;225, 1,2yxxx 4,8(2)已知在时有最大值,则;2( )4(1)3()f xaxaxx2x a1,)2(2)换元法换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是 函数解析式含有根式. 典例典例:(1)的值域为;22sin3cos1yxx178 4,(2)的值域为;（令,注意注意: :换元要等价换元要等价）;211yxx 3
7、,)10xt (3)的值域为;()sincossincosyxxxx12 1,24sincos2sin()txxx(4)的值域为;(令)249yxx1,3 243cos ()x (3)函数有界性法函数有界性法利用已学过函数的有界性,如三角函数的有界性.典例典例:函数,值域分别是:;2sin1 1 siny 3 1 3xxy 2sin1 1cosy 3122(,(0,1),(,(4)单调性法单调性法利用函数的单调性.典例典例:(1)求,的值域1(19)yxxx229 (1 sin)sinxyx5 32log1xyx为;801192(0,) ,9 R、 (5)数形结合法数形结合法函数解析式具有明显
8、的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率等. 典例典例: :(1)若点,则及的取值范围;22( , )|1Px yxy2y x2yx3333, 5, 5、(2)函数的值域;22(2)(8)yxx10,)(3)函数的值域注意注意:异侧和最小,同侧差最大.2261345yxxxx 34,) (6)判别式法判别式法分式函数(分子或分母中有一个是二次),其定义域通常为R 典例典例: :(1)函数的值域22 (1)x xy 1,1(2)若的定义域为 R,值域为0,2,求常数的值（答:）2328log1mxxnyx,m n5mn(7)不等式法不等式法利用基本不等式求函数的最值或值域.2( ,)abab a
9、bR其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要 用到拆项、添项和平方等技巧.典例典例: :(1)型,可直接用不等式性质,如如函数的值域.2bykx23 2yx32(0,12999 数学网 岳阳县一中2012 届高三文科数学 第 3 页 共 8 页(2)型, ,如如函数的值域2xm xnymxn21 1xxyx(, 31,) U(3)型,如如函数的值域;函数的值域 .2bxyxmxn21xyx1122,2 3xyx120,(4) 设成等差数列,成等比数列,则的取值范围是.12,x a ay12,x b b y2 121 2()aa bb(,04,)U(8)导数法
10、导数法一般适用于高次多项式函数. 典例典例: :函数,的最小值是.32( )2440f xxxx 3,3x 48 提醒提醒:(1)写函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗？ (2)函数的最值与值域之间有何关系？ 典例典例: :函数且的值域是,不要错觉为.3 ( 13,yxx )xZ 3,0,3,6,9 3,9 6.分段函数的概念.分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表 示对应关系的函数,它是一类较特殊的函数.在求分段函数的值求分段函数的值时时, ,一定首先要判断一定首先要判断0()f x属于定义域的哪个子集属于定义域的哪个子集, ,然后再代相应的关系式然后再代相应的
11、关系式; ;分段函数的值域应是其定义域内不同分段函数的值域应是其定义域内不同0x 子集上各关系式的取值范围的并集子集上各关系式的取值范围的并集.典例典例: :(1)设函数,则不等式的解集为;2(1) ,(1)( )41.(1)xxf xxx( )1f x (, 20,10 U(2)已知,则不等式的解集是.1(0)( )1(0)xf xx(2) (2)5xxf x32(,7.求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种:一般式: ;顶点式:;零点式:,要会根据已知2( )f xaxbxc2( )()f xa xmn12( )()()f xa x
12、xxx 条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式. 典例典例: :若为二次函数,且,且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段( )f x(2)(2)f xfx 长为 2,求的解析式.（答:）2( )f x21( )212f xxx(2)代换代换(配凑配凑)法法已知形如的表达式,求的表达式.( ( )f g x( )f x典例典例: :(1)已知求的解析式（答:2(1 cos )sin,fxx 2f x）;242()2,2, 2f xxxx 这里需值得注意值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即的定义域应是的值域.( )f x( )g x(2)若,则函数=;2 211()f xxxx(1)
13、f x223xx(3)若是奇函数,且,那么时,= . ( )()yf x xR3( )(1)(0)f xxxx(,0)x ( )f x3(1)xx(3)方程的思想方程的思想已知条件是含有及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对( )f x等式的进行赋值,从而得到关于及另外一个函数的方程组.( )f x典例典例: :(1)已知,求的解析式（答:）;( )2 ()32f xfxx( )f x2( )33f xx (2)已知是奇函数,是偶函数,且+= ,则=.( )f x( )g x( )f x( )g x1 1x( )f x21x x 8.函数的奇偶性函数的奇偶性. (1)具有奇偶性的函数的定义域
14、的特征定义域的特征: :定义域必须关于原点对称定义域必须关于原点对称！为此确定函数的岳阳县一中2012 届高三回归教材 第 4 页 共 8 页奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称. 典例典例: :若为奇函数,其中,则值是 0 ;( )f x2sin(3),25 ,3 xx(0,2 ) (2)确定函数奇偶性的常用方法（若函数解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性）:定义法: 典例典例: :(1)判断函数的奇偶性 奇函数_. 2|4| 49xy x (2)判断函数的奇偶性 既是奇函数又是偶函数 ;44( )sincos2cosf xxxx利用函数奇偶性定义的等价形式:或().( )()0f xfx()1( )fx f x ( )0f x 典例典例: :判断的奇偶性 偶函数 .11( )()212xf xx 图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于轴对称.y典例典例: :判断的奇偶性 奇函数 .1,(0)( )1.(0)xxf xxx (3)函数奇偶性的性质: 奇(偶偶)函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同(反反). 若为偶函数,则.( )f x()( )(|)fxf xfx典例典例
