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1、1算子半群算子半群定理定理 6 6 的证明的证明摘摘 要要：证明抽象发展方程的解和半群的关系时，我们是先通过构造两个0C空间以及两个映射，再把其中一个映射做成半群，找出其生成元，从Banach0C而证明出定理 6。但为了使证明不显得那么繁琐，我们先给出一个引理，这样更方便我们对定理 6 的证明。关键词关键词： 半群 方程解 生成元0C引理引理 设是-空间上的稠定线性算子，则抽象发展方程ABX)(A（*） 0)0()()(xutAudttdu对任意，方程（*）的连续可微解具有如下性质：)(0ADx ),(0xtu（1） ),(),(00xtuxtu),(),(),(2121xtuxtuxxtu其
2、中，0, tK)(,21ADxx（2） 其中),(,(),(00xsutuxstu0,st（3） 对 ),(),(xtAuAxtu)(2ADx证：（1）令，则是满足方程（*）的解，而),(),(1xtuxtu),(1xtuxu)0(1，由方程解的唯一性： xxu), 0(),(),(00xtuxtu令，则是满足方程（*）),(),(),(212xtuxtuxtu),(2xtu212)0(xxu的解，而，由方程解的唯一性：2121), 0(xxxxu),(),(),(2121xtuxtuxxtu其中，0, tK)(,21ADxx（2）因为，均是方程（*）的解，且满足初值条件：),(0xstu),
3、(,(0xsutu200), 0(xxu所以),(,(),(00xsutuxstu0,st（3）对，令)(2ADxtdsAxsuxxv 0),()(则ttdsAxsuxAdsAxsudsdAxAxtudtdv00),(),(),()(tAv而且 由方程解得唯一性有xv)0(),()(xtutv于是),()(),(xtAutAvdtdvAxtu)(ADx证毕定理定理 6 6 设是定义在空间上的稠定线性算子，则抽ABanachX)(A象发展方程（2.1-14） 0)0()()(uutAudttdu对任意，存在唯一的连续可微解的充分且必要条件是为)(0ADu ),(0utuA某个半群的生成元且方程的
4、解可表示为0C)(tT（2.1-15）00)(),(utTutu证： 若线性算子为某个半群的生成元，则为闭稠定算子，且“A0C)(tTA对有)(0ADu ，00)()(utATutTdtd00)0(uuT3即 为方程（2.1-14）的解。0)( utT若方程有另一连续可微解，作，因为是可导的，)(ty)()()(0tyutTtx)(tx故0)()()()()()(sxstTsAxstTsxstTdsd)0(ts 即 在上取常值，当时应有)()(sxstT, 0ttss , 0)()()0()0()(txtxTxtT于是0)0()0()()0()()(0yuTtTxtTtx对，设方程在上有唯一的
5、连续可微解，其中“)(0ADu ), 0),(0utu00), 0(uuu因 ，存在，设且， 则)(A)(00A)(ADxn0xxn0yAxn（）0000yxAxxnnn即 ，所以0000)(yxxAIn)()()(,(0001 000yxAIxAIARn由极限的的唯一性得 )()(,(00000ADyxARx，即 故 是闭算子。对定义图像范数 00000)(xAIyx00Axy A)(ADx|AxxxA则在图像范数意义下成为空间，记为。)(ADA|Banach)(AD再记 为从到的所有连续函数在最大模范数下)( , 00ADtC, 00t)(AD构成的空间。Banach定义映射 ：S)( ,
6、 0)(0ADtCAD且，),( xtuSx 00tt )(ADx4由方程（2.1-14）对，存在唯一连续解则由引理易知是定义在)(0ADu ),(0utuS上的线性算子。)(AD设且在及范数意义下分别有)(ADxn)(AD)( , 00ADtC， （）0uxn)(tySxnn因为是闭算子，且A（）ttnnnndAyudxAuxxtuSx 000)(),(),(n（这里由控制收敛定理）， 故极MAyxAuCn |)(|1|),(|)(),(AyxAun限号和积分号可交换）于是有 SuutudAyutyt),()()(000故为闭算子，由闭图像定理知为有界线性算子。即常数，使得SS0MAAttx
7、Mxtu| ),(|max00 )(ADx（2.1-16）定义映射 ： )(tT)()(ADAD且，对),()(xtuxtT)(ADx由于，对有)(0ADu 000)(),(utTutuSu)0(0tt 故), 0()0(00uuuT由假设是方程（2.1-14）的解，故（对），又因，),(0utu00)0(uuT)(0ADu ，故XAD)(IT)0(若令),()()(00ustuustTtv则有5且 )(tAvdtdv0)()0(usTv于是由引理可知对0000)()()(,(),()(usTtTusTtuustuustT)(0ADu 又因 ，就有XAD)()()()(sTtTstTst,0
8、即满足半群性质。又由（2.1-16）式知在上是有界的，即，使)(tT)(tT, 00t1MAAxMxtT|)(|)(, 0(0ADxtt对任意给定的，(自然数)和，使 其中，于是对0tn00ntt, 00t有)(ADxAt AttAn An AAxMexMMxMxTtTxntTxtT|)()( |)(|)(|01 00（2.1-17）其中 0ln10Mt由条件，故有由引理可知XAD)()(AXAD)(2),(),(xtAuAxtu故 对任意 （2.1-18）xtATAxtT)()()(2ADx设 ，对，有使且由（2.1-18）)(0A00)(ADx)(2ADyyAIx)(0式有|)()(|)(
9、)(|)()(|)(|)(|0000ytTAIytATytTAytTytTyAItTxtTAt AyMeCytTCyATytT|)(|)(|)(|110又 |)(|)(|21 01 0xCxAIAxAIAyyyA于是 对|)(|xCextTt)(ADx其中为常数。因为，故上式对均成立。MCCC21XAD)(Xx又 所以为全空间上定0|), 0(|),(|lim|)(|lim 00 xxuxxtuxxtT tt)(tTX义的半群。0C6最后需证明是的无穷小生成元。设是的无穷小生成元。A)(tT1A)(tT对，由假设有Xx 01)(),(xdttTexARt对，因在上强连续，为闭算子，有 )(0ADu 00)(),(utTutu), 0,A dtutueutuedtutudtdedtutAuedtutueAttttt),(),(),(),(),(00000若取且，令，有)(ARe000000),(),(udtutuedtutueAtt即 （对）00100),()(),()(uuARAIdtutueAIt)(0ADu 因，为闭算子、为有界线性算子，故易知对都有XAD)(A),(1ARXxxxARAI),()(1即且 )(),(1ADAR),()(11ARAI从而1AA 证毕
