高中数学课题教学设计案例

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1、高中数学课程高中数学课程 可选内容的资源可选内容的资源-数学建模、数学课题学习的教学设计的案例1 1升旗中的数学问题升旗中的数学问题（一）问题情景和任务（一）问题情景和任务问题情景问题情景：在不同地区，同一天的日出和日落时间不尽相同；对一个地区而言，日出日落时间又是随日期的变化而变化的。北京的天安门广场上的国旗每天伴着太阳升起、伴着太阳降落，下表给出了是天安门广场 2003 年部分日期的升、降旗时刻表：日期升/降时刻日期升/降时刻日期升/降时刻1 月 1 日7:36/16:595 月 16 日4:59/19:239 月 20 日5:59/18:151 月 21 日7:31/17:206 月 3

2、 日4:47/19:3810 月 8 日6:17/17:462 月 10 日7:14/17:436 月 22 日4:46/19:4610 月 26 日6:36/17:203 月 2 日6:47/18:067 月 9 日4:53/19:4511 月 13 日6:56/17:003 月 22 日6:15/18:277 月 27 日5:07/19:3312 月 1 日7:16/16:504 月 9 日5:46/18:468 月 14 日5:24/19:1312 月 20 日7:31/16:514 月 28 日5:19/19:059 月 2 日5:42/18:45任务任务 1 1：试根据上表提供的数据

3、，分析升、降旗时间变化的大致规律；建立坐标系，将以上数据描在坐标系中；任务任务 2 2：分别建立日出时间和日落时间关于日期的近似函数模型；利用你建立的函数模型，计算“五一”国际劳动节、 “十一”国庆节的升、降旗时间；任务任务 3 3：利用年鉴、互联网或其它资料，查阅北京天安门 2003 年升旗时间表，检验模型的准确度，分析误差原因，考虑如何改进自己的模型。任务任务 4 4：你所生活地区（城市、省、乡村等）某年不同的日期的“日出和日落”的时间，建立一个函数关系。（二）实施建议与说明（二）实施建议与说明通过对升旗中数学问题的求解和讨论，进一步了解相关数学知识的意义和作用，体验数学建模的基本过程，增

4、强数学知识的应用意识。理解用函数拟合数据的方法，提高对数据的观察、分析、处理、从中获取有益信息的能力。在这个探求活动中，要特别重视观察、分析、处理数据的一般方法、现代技术的合理使用、数学得到的结果与实际情况不同的原因分析。1.组成学习探究小组，集体讨论，互相启发，形成可行的探究方案，独立思考，完成每个人的“成果报告” 。2. 任务 1 的建议：为了便于在坐标系中观察表中数据，选择适当的计量单位，如升旗时刻以 10 分之为一个单位，日期可以天为单位，即 1 月 1 日为第 0 天，12 月 31 日为第 364 天；可借助图形计算器或其它工具绘制各点，3.任务 2 的建议：利用自己的生活经验，或

5、者访问家长、地理老师等，结合散点图，选择学过的适当函数，作为刻画该关系的模型；要应注意关键数据（如最早升（降）旗时间和最迟升（降）旗时间等）在确定拟合函数参数中的作用；4任务 3 的建议：根据观察坐标平面上所绘制点的走向趋势，可以考虑分段拟合函数。5 “成果报告”的书写建议成果报告可以下表形式呈现。表表 1 1： 探究学习成果报告表探究学习成果报告表 年级年级 班班 完成时间完成时间 1、 课题组成员、分工、贡献：成员姓名分工与主要工作或贡献2、 探究的过程和结果：3、参考文献：4、 成果的自我评价：（请说明方法或原理的合理性、特色或创新点、不足之处等）5、拓展（选做）：在解决问题的过程中发现

6、和提出的新问题，可以延伸或拓广的内容；得到的新结果或猜想等6体会：描述在工作中的感受5 5成果交流：建议以小组为单位，选出代表，在班级中报告研究成果，交流研成果交流：建议以小组为单位，选出代表，在班级中报告研究成果，交流研究体会。究体会。6 6评价建议：评价建议：在评价中，采用自评、互评、教师评价相结合的形式，善于发现别人工作中的特色，以下几个方面的内容可作为重点考虑：（1）求解过程和结果：合理、清楚、简洁； （2）独到的思考和发现；（3）提出有价值的求解设计和有见地的新问题；（4）发挥组员的特长，合作学习的效果；（5）合理使用技术；（6）查阅文献，获取信息的能力。（三）教学参考信息（三）教学

7、参考信息第七届数学知识应用初赛试题第七届数学知识应用初赛试题题目题目：在不同地区，同一天的日出和日落时间不尽相同；对一个地区而言，日出日落时间有时虽日期的变化而变化的。北京的天安门广场上的国旗每天伴着太阳升起，伴着太阳降落。表 1 是天安门广场 2003 年部分日期的升旗时刻，表 2 是天安门广场 2004 年 2月部分日期的升旗时刻。请回答下面的问题：（1）建立坐标系，将表 1 数据描在坐标系中；（2）根据已给数据建立数学模型，估算 2004 年“五一”国际劳动节的升旗时间；（3）如果你打算在“五一”观看升旗，选择什么时间到达观看点？表表 1 1日期日期升旗时升旗时刻刻日期日期升旗时刻升旗时

8、刻日期日期升旗时升旗时刻刻日期日期升旗时升旗时刻刻1 1 月月 1 1 日日7 7：36364 4 月月 9 9 日日5 5：46467 7 月月 9 9 日日4 4：53531010 月月 8 8 日日6 6：17171 1 月月 2121 日日7 7：31314 4 月月 2828日日5 5：19197 7 月月 2727 日日5 5：07071010 月月 2626 日日6 6：36362 2 月月 1010 日日7 7：14145 5 月月 1616日日4 4：59598 8 月月 1414 日日5 5：24241111 月月 1313 日日6 6：56563 3 月月 2 2 日日6

9、 6：47476 6 月月 3 3 日日4 4：47479 9 月月 2 2 日日5 5：42421212 月月 1 1 日日7 7：16163 3 月月 2222 日日6 6：15156 6 月月 2222日日4 4：46469 9 月月 2020 日日5 5：59591212 月月 2020 日日7 7：3131表表 2 2日期日期升旗时刻升旗时刻日期日期升旗时刻升旗时刻日期日期升旗时刻升旗时刻2 2 月月 1 1 日日7 7：23232 2 月月 1111 日日7 7：13132 2 月月 2121 日日7 7：00002 2 月月 3 3 日日7 7：22222 2 月月 1313 日

10、日7 7：11112 2 月月 2323 日日6 6：58582 2 月月 5 5 日日7 7：20202 2 月月 1515 日日7 7：08082 2 月月 2525 日日6 6：55552 2 月月 7 7 日日7 7：17172 2 月月 1717 日日7 7：06062 2 月月 2727 日日6 6：52522 2 月月 9 9 日日7 7：15152 2 月月 1919 日日7 7：03032 2 月月 2929 日日6 6：4949解：（1）将数据描在坐标系中，如图 1-23（2）天体运动具有很强的周期性，所以日出日落时间成周期变化。观察题内两表，2003 年 2 月 10 日

11、升旗时间是 7：14，2004 年 2 月 9 日是 7：15，2 月11 日是 7：13，可以认为，在这几天，两年的升旗时间是相同的；2003 年 3 月 2 日升旗时间是 6：47，2004 年 2 月 27 日是 6：52，2 月 29 日是 6：49，再过两天就是 3 月 2 日，显见，在这几天，两年的升旗时间也是相同的。于是可以进一步认为，2003 年和 2004 年同期的升旗时间基本上是相同的。在观察2003 年的图像，整体来看与余弦函数相象。但就局部来看，从 2 月末到 5 月中旬，这些点基本上是共直线的（5 月 1 日正在这个范围内） ，从 7 月中旬到 12 月初也如此。因此

12、，以线性函数为模型，用已知数值拟合出函数，估算五一节的升旗时间。不妨设函数模型为y=ax+b x3 , 5.5取 4 月 28 日的 5：19 和 5 月 16 日的4：59，因为升旗时间是早上，所以 5 月16 日就记作 ，5 月 1 日就记作 5，31155于是有： baba31155605943027460195得 y=-0.5709x+8.114对于 x=5，有 y=-0.57095+8.114=5.265.26 月为 5：15所以，2004 年“五一”国际劳动节的升旗时间约为 5：15。（3）因为 5：15 是个近似值，且是估值，为了确保不误事，所以，2004 年“五一”观看升旗，就

13、应该在 4：59（2003 年 5 月 16 日的升旗时刻）至 5：15 这段时间到达。2 正方体截面的形状正方体截面的形状（一）问题情景与任务（一）问题情景与任务用一个平面去截正方体，截面的形状是什么样的？1给出分类的原则（例如：按截面图形的边数分类） 。按照你的分类原则，能得到多少类不同的截面？设计一种方案，找到截得这些形状截面的方法，并在正方体中画出示意图。2 如果截面是三角形，你认为可以截出几类不同的三角形？3 如果截面是四边形，你认为可以截出几类不同的四边形？4*. 证明上面的结果。5*. 截面多边形的边数最多有几条？请说明理由。6*. 截面可能是正多边形吗？可能有几种？画出示意图。

14、 图图 1237*. 如果截面是三角形，其面积最大是多少？画出示意图。8*. 你还能提出哪些相关的数学问题？（二）实施建议与说明（二）实施建议与说明该课题学习设计的意图该课题学习设计的意图1. 按课标要求，在高中阶段至少要有一次数学探究活动和数学建模活动，而活动的开展是要有一个渐近的过程的，学生需要一个逐步适应、了解和认识自主探究、学习的过程，所以在本模块设计该课题，是为实施更为完整的数学探究、数学建模活动做准备。2. 该课题涉及内容：点、线、面的位置关系及直观图画法。涵盖了立体几何中的相当多的概念、定理，本课题学习的过程是对立体几何知识的一次全面的综合应用的过程。3. 该课题的学习很好的体现

15、了立体几何初步一章的基本要求：有助于认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。4. 在本章末安排该课题学习，一方面给学生提供一个施展所学的舞台；另一方面，也达到了借此课题的研究促进学生对所学的应用和反思，加深对空间图形的认识和理解。此外，该课题的学习有助于发展学生自主学习的能力，体验数学研究的过程，认识数学研究中直观和严谨、感性猜测和理性推理的关系，鼓励学生发挥自己的想像力和创造力。课题学习的实施建议课题学习的实施建议采用形式：形式一（能有效节省课时，但要求学生已初步具备一些自主探索、学习的经验和能力）：首先分组（2-3 人）进行课下

16、讨论研究，适学生情况，可建议学生通过实验操作进行研究，最后形成小组的学习报告。然后，根据学生的学习报告完成情况，在课上让部分小组报告他们所得到的结果，阐述理由。并回答教师或其他学生提出的问题，共同研究讨论。形式二（需要较多课时，适合于没有自主探究、学习的习惯和经验的学生，有利于他们初步认识、了解自主学习的开展）：让学生课前准备几个正方体模型，课堂上教师引导学生探索、讨论、发现。可以让学生前后桌四人一组，对引导问题逐一研究讨论，分组报告研究结果，阐述理由，并接受教师和学生的质疑。对课上未能很好解决的问题，或是由此而引发的新的问题，可以布置给学生课下去探索、研究，并完成研究报告。根据情况，可以适当安排时间让学生报告。教学实施中要注意的几个问题：教学实施中要注意的几个问题：1无论是课下指导，还是课上教学实施