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1、19.29.2 两条直线的位置关系两条直线的位置关系2014 高考会这样考 1.考查两条直线的平行、垂直关系；2.考查两点间的距离公式及点到直线的距离公式的应用复习备考要这样做 1.对于两条直线的位置关系问题，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系；2.熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离1 两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1
2、l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直2 两直线相交交点：直线l1：A1xB1yC10 和l2：A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组Error!的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解3 三种距离公式(1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离：|AB| .x2x12y2y12(2)点P(x0，y0)到直线l：AxByC0 的距离：d .|Ax0By0C|A2B2(3)两平行直线l1：AxByC10 与l2：AxByC20 (C1C2)间的距离为d.|C2C1|A2B22难点正本 疑点清源1 两条
3、直线平行、垂直的充要条件是有大前提的，就是两条直线都有斜率当直线无斜率时，要单独考虑2 与直线AxByC0(A2B20)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为AxBym0；垂直的直线方程设为BxAyn0.1 直线Ax3yC0 与直线 2x3y40 的交点在y轴上，则C的值为_答案 4解析 因为两直线的交点在y轴上，所以点在第一条直线上，所以C4.(0，4 3)2 若直线x2y50 与直线 2xmy60 互相垂直，则实数m_.答案 1解析 直线x2y50 与直线 2xmy60 互相垂直， 1，m1.1 2(2 m)3 已知直线l1与l2：xy10 平行，且l1与l2的距离是，则直
4、线l1的方程为2_答案 xy10 或xy30解析 设l1的方程为xyc0，则.|c1|22|c1|2，即c1 或c3.4 过点(1,0)且与直线x2y20 平行的直线方程是 ( )Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10答案 A解析 所求直线与直线x2y20 平行，所求直线的斜率为k ，排除 C、D.又1 2直线过点(1,0)，排除 B，故选 A.5 若经过点(3，a)、(2,0)的直线与经过点(3，4)且斜率为 的直线垂直，则a的值为1 2( )A. B. C10 D105 22 5答案 D3解析 2，a10.a0 32题型一 两条直线的平行与垂直例 1 已知直线l1：ax2y6
5、0 和直线l2：x(a1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1l2时，求a的值思维启迪：运用两条直线平行或垂直的条件求解，要注意斜率为 0 或斜率不存在的情形解 (1)方法一 当a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1 且a0 时，两直线可化为l1：yx3，l2：yx(a1)，a 21 1al1l2Error! 解得a1，综上可知，a1 时，l1l2，否则l1与l2不平行方法二 由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)160，l1l2Error!Error!
6、a1，故当a1 时，l1l2，否则l1与l2不平行(2)方法一 当a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1 不成立；当a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2；当a1 且a0 时，l1：yx3，l2：yx(a1)，a 21 1a由1a .(a 2)1 1a2 3方法二 由A1A2B1B20 得a2(a1)0a .2 34探究提高 (1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论已知两直
7、线l1：mx8yn0 和l2：2xmy10.试确定m、n的值，使：(1)l1与l2相交于点P(m，1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且l1在y轴上的截距为1.解 (1)由题意得Error!，解得m1，n7.(2)当m0 时，显然l1不平行于l2；当m0 时，由 ，m 28 mn 1得Error! Error!或Error!即m4，n2 时或m4，n2 时，l1l2.(3)当且仅当m28m0，即m0 时，l1l2.又 1，n8.n 8即m0，n8 时，l1l2，且l1在y轴上的截距为1.题型二 两条直线的交点问题例 2 求经过直线l1：3x2y10 和l2：5x2y10 的交点，且垂直于直线
8、l3：3x5y60 的直线l的方程思维启迪：可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解解 方法一 先解方程组Error!，得l1、l2的交点坐标为(1,2)，再由l3的斜率 求出l的斜率为 ，3 55 3于是由直线的点斜式方程求出l：y2 (x1)，即 5x3y10.5 3方法二 由于ll3，故l是直线系 5x3yC0 中的一条，而l过l1、l2的交点(1,2)，故 5(1)32C0，由此求出C1，故l的方程为 5x3y10.方法三 由于l过l1、l2的交点，故l是直线系 3x2y1(5x2y1)0 中的5一条，将其整理，得(35)x(22)y(1)0.其斜率 ，解得 ，35
9、 225 31 5代入直线系方程即得l的方程为 5x3y10.探究提高 运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线AxByC0 平行的直线系方程是AxBym0 (mR R 且mC)；(2)与直线AxByC0 垂直的直线系方程是BxAym0 (mR R)；(3)过直线l1：A1xB1yC10 与l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0 (R R)，但不包括l2.如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30 所截的线段的中点在直线l3：xy10 上，求其方程解 与l1、l2平行且距离相等的直线
10、方程为x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直线过A(1,1)，(1)(1)(2)120.解得 .所求直线方程为 2x7y50.1 3题型三 距离公式的应用例 3 已知三条直线：l1：2xya0 (a0)；l2：4x2y10；l3：xy10.且l1与l2的距离是.7 510(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：点P在第一象限；点P到l1的距离是点P到l2的距离的 ；1 2点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.25若能，求点P的坐标；若不能，说明理由思维启迪：(1)由l1与l2的距离构建方程求a；(2)假设存在点P，并设出其
11、坐标，根据条件建立方程求解并作出判断解 (1)l1：4x2y2a0 (a0)，l2：4x2y10，两条平行线l1与l2间的距离为d，|2a1|2 56由已知，可得.又a0，可解得a3.|2a1|2 57 510(2)设点P的坐标为(x，y)，由条件，可知x0，y0.由条件和，可得Error!化简得Error!于是可得，4|xy1|4x2y1|，也就是 4(xy1)4x2y1，或 4(xy1)4x2y1，解得y ，或 8x2y50.1 2当y 时，代入方程|2xy3|xy1|，1 2解得x30)(x0，x02x0)13则|PN|x0，|PM|，因此|PM|PN|1.|2x0|21 x0(2)解 直线PM的方程为yx0(xx0)，2x0即yx2x0.2x0解方程组得Error!xyx0，22x0S四边形OMPNSNPOSOPM |PN|ON| |PM|OM|1 21 2x01 2(x02x0)22x0(x012x0)1，21 2(x2 01 x2 0)2当且仅当x0，即x01 时等号成立，1 x0因此四边形OMPN的最小值为 1.2
