《《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解函数的单调性与最值(含解析)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解函数的单调性与最值(含解析)（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法第三节函数的单调性与最值知识能否忆起一、函数的单调性1单调函数的定义增函数减函数设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1，x2 定义 当 x1f(x2) ，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数图象描述 自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降2单调区间的定义若函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 yf(x)的单调区间二、函数的最值前提设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件对于任
2、意 xI，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0)M对于任意 xI，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0)M结论M 为最大值M 为最小值小题能否全取1(2012陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )Ayx1 Byx3Cy Dyx|x|1x解析：选 D 由函数的奇偶性排除 A，由函数的单调性排除 B、C，由 yx|x|的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选 D.三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法2函数 y(2k1)xb 在(，)上是减函数，则( )Ak Bk Dkf(n)；1，即|x| (1,0)(0,1)1.函数的单调性是局部性质从定
3、义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调2函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间注意 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”
4、联结函数单调性的判断典题导入例 1 证明函数 f(x)2x 在(，0)上是增函数1x自主解答 设 x1，x2是区间(，0)上的任意两个自变量的值，且 x10，1x1x2因此 f(x1)f(x2)0，因此 g(x1)g(x2) ，得10.m1 或 m0，x0)，若 f(x)在上的值域为，则 a_.1a1x12，212，2解析：(1)f(x)0，x0)在上单调递增，1a1x12，2所以Error!即Error!解得 a .25答案：(1) 1 (2)12251(2012广东高考)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是( )Ayln(x2) Byx1Cyx Dyx(12)1x解析：选 A 选项 A
5、 的函数 yln(x2)的增区间为(2，)，所以在(0，)上一定是增函数2若函数 f(x)4x2mx5 在2，)上递增，在(，2上递减，则 f(1)( )A7 B1C17 D25解析：选 D 依题意，知函数图象的对称轴为 x 2，即 m16，从m8m8而 f(x)4x216x5，f(1)416525.3(2013佛山月考)若函数 yax 与 y 在(0，)上都是减函数，则 yax2bxbx在(0，)上是( )A增函数 B减函数C先增后减 D先减后增解析：选 B yax 与 y 在(0，)上都是减函数，a0，则一定正确的是( )Af(4)f(6) Bf(4)f(6) Df(4)0 知 f(x)在
6、(0，)上递增，所以 f(4)f(6)6定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，当 x0，则函数 f(x)在a，b上有( )A最小值 f(a) B最大值 f(b)C最小值 f(b) D最大值 f(ab2)解析：选 C f(x)是定义在 R 上的函数，且f(xy)f(x)f(y)，f(0)0，令 yx，则有 f(x)f(x)f(0)0.f(x)f(x)f(x)是 R 上的奇函数设 x10.f(x)在 R 上是减函数f(x)在a，b有最小值 f(b)7函数 y(x3)|x|的递增区间是_解析：y(x3)|x|Error!作出该函数的图象，观察图象知递增区间为.0，32答案：
7、0，328(2012台州模拟)若函数 y|2x1|，在(，m上单调递减，则 m 的取值范围是_解析：画出图象易知 y|2x1|的递减区间是(，0，依题意应有 m0.答案：(，0三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法9若 f(x)在区间(2，)上是增函数，则 a 的取值范围是_ax1x2解析：设 x1x22，则 f(x1)f(x2)，而 f(x1)f(x2)ax11x12ax21x222ax1x22ax2x1x12x220，则 2a10.x1x22a1x12x22得 a .12答案：(12，)10求下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1；(2)ya12xx2(a0 且 a1)解
8、：(1)由于 yError!即 yError!画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)(2)令 g(x)12xx2(x1)22，所以 g(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减当 a1 时，函数 ya12xx2的增区间是(，1)，减区间是(1，)；当 00 且 f(x)在(1，)内单调递减，求 a 的取值范围解：(1)证明：设 x10，x1x20，x2x10，要使 f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0 恒成立，a1.综上所述，a 的取值范围为(0,112(2011上海高考)已知函数 f(x)a2xb3x，其中常数 a，b 满足 ab
9、0.(1)若 ab0，判断函数 f(x)的单调性；(2)若 abf(x)时 x 的取值范围解：(1)当 a0，b0 时，任意 x1，x2R，x10a(2x12x2)0b(3x13x2)0，当 a0 时，x，(32)a2b则 xlog1.5；(a2b)同理，当 a0，b0，y0 都有 ff(x)f(y)，当 x1 时，(xy)有 f(x)0.(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的单调性并加以证明；(3)若 f(4)2，求 f(x)在1,16上的值域解：(1)当 x0，y0 时，ff(x)f(y)，(xy)令 xy0，则 f(1)f(x)f(x)0.(2)设 x1，x2(0，)，且 x1x
10、10.1，f0.x2x1(x2x1)f(x2)f(x1)，即 f(x)在(0，)上是增函数(3)由(2)知 f(x)在1,16上是增函数f(x)minf(1)0，f(x)maxf(16)，f(4)2，由 ff(x)f(y)，(xy)知 ff(16)f(4)，(164)三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法f(16)2f(4)4，f(x)在1,16上的值域为0,41求函数 f(x)的单调区间x2x6解：设 ux2x6，y.u由 x2x60，得 x3 或 x2.结合二次函数的图象可知，函数 ux2x6 在(，3上是递减的，在2，)上是递增的又函数 y是递增的，函数 f(x)在(，3上
11、是递减的，在2，)ux2x6上是递增的2定义在 R 上的函数 f(x)满足：对任意实数 m，n，总有 f(mn)f(m)f(n)，且当 x0时，0f(1)，B(x，y)|f(axy)1，aR，若 AB，2试确定 a 的取值范围解：(1)在 f(mn)f(m)f(n)中，令 m1，n0，得 f(1)f(1)f(0)因为 f(1)0，所以 f(0)1.(2)任取 x1，x2R，且 x10，所以 00 时，010.1fx又 f(0)1，所以综上可知，对于任意的 x1R，均有 f(x1)0.所以 f(x2)f(x1)f(x1)f(x2x1)1f(1)，即 x2y21.f(axy)1f(0)，即 axy0.22由 AB，得直线 axy0 与圆面 x2y21 无公共点，所以1，解得22a211a1.
