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1、M M 推理与证明推理与证明M1 合情推理与演绎推理12M12012陕西卷 观察下列不等式1 ，122321 ，122132531 ，12213214274 照此规律，第五个不等式为_121 解析 本小题主要考查了归纳与推理的能力，解题122132142152162116 的关键是对给出的几个事例分析，找出规律，推出所要的结果从几个不等式左边分析，可得出第五个式子的左边为：1，对几个不等式右边分析，其分母依次为：122132142152162 2,3,4，所以第 5 个式子的分母应为 6，而其分子依次为： 3,5,7，所以第 5 个式子的分子应为11，所以第 5 个式子应为：1.1221321
2、42152162116 16M12012湖南卷 对于 nN*，将 n 表示为 nak2kak12k1a121a020，当 ik 时，ai1，当 0ik1 时，ai为 0 或 1.定义 bn如下：在 n 的上述表示中，当 a0，a1，a2，ak中等于 1 的个数为奇数时， bn1；否则 bn0. (1)b2b4b6b8_； (2)记 cm为数列bn中第 m 个为 0 的项与第 m1 个为 0 的项之间的项数，则 cm的最 大值是_ 16(1)3 (2)2 解析 本题以二进制为依据考查数列推理，意在考查考生的逻辑推理 能力，具体的解题思路和过程：由前几项的结果，得出规律 (1)由 221010(2
3、)易知 b21,4122021020100(2)可知 b41，同样可知 b60，b81，所以 b2b4b6b83； (2)任何一个二进制的数，当 1 的个数为奇数的时候，连续的这样的数最多只有两个，所 以 cm的最大值是 2. 易错点 本题易错一：推理能力不行，无法找到规律，导致无从下手；易错二：发现 不了数列与二进制的关联，导致第(2)问无从下手 17M12012湖北卷 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小 石子表示数他们研究过如图 16 所示的三角形数：图 16 将三角形数 1,3,6,10，记为数列an，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组 成一个新数列bn可以
4、推测： (1)b2 012是数列an中的第_项； (2)b2k1_.(用 k 表示)17答案 (1)5 030 (2)5k5k12解析 由以上规律可知三角形数 1,3,6,10，的一个通项公式为 an，写出其若nn12 干项来寻找规律：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，其中能被 5 整除的为 10,15,45,55,105,120，即 b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15.由上述规律可猜想： b2ka5k(k 为正整数)，5k5k12b2k1a5k1，故 b2 012a21 006a51 006a5 030，即
5、b2 5k15k1125k5k12012是数列an中的第 5 030 项 20C1、M12012福建卷 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等 于同一个常数： (1)sin213cos217sin13cos17； (2)sin215cos215sin15cos15； (3)sin218cos212sin18cos12； (4)sin2(18)cos248sin(18)cos48； (5)sin2(25)cos255sin(25)cos55. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论 20解：解法一：
6、 (1)选择(2)式，计算如下：sin215cos215sin15cos151 sin30121 .1434(2)三角恒等式为 sin2cos2(30)sincos(30a) .34 证明如下： sin2cos2(30)sincos(30) sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2 cos2sincos sin2sincos sin23432143212 sin2 cos2 .343434 解法二： (1)同解法一(2)三角恒等式为 sin2cos2(30)sincos(30) .34 证明如下： sin2cos2(30)sincos(3
7、0)sin(cos30cossin30sin)1cos221cos6022 cos2 (cos60cos2sin60sin2)sincos sin2121212123212 cos2 cos2sin2sin2 (1cos2)121212143434141 cos2 cos2 .14141434 5M12012江西卷 观察下列事实：|x|y|1 的不同整数解(x，y)的个数为 4，|x|y|2 的不同整数解(x，y)的个数为 8，|x|y|3 的不同整数解(x，y)的个数为 12，则|x|y|20 的不同整数解(x，y)的个数为( ) A76 B80 C86 D925B 解析 个数按顺序构成首项
8、为 4，公差为 4 的等差数列，因此|x|y|20 的不同 整数解(x，y)的个数为 44(201)80，故选 B.M2 直接证明与间接证明23D5、M22012上海卷 对于项数为 m 的有穷数列an，记 bkmaxa1，a2，ak(k1,2，m)，即 bk为 a1，a2，ak中的最大值，并称数列 bn是an的控制数列如 1,3,2,5,5 的控制数列是 1,3,3,5,5. (1)若各项均为正整数的数列an的控制数列为 2,3,4,5,5，写出所有的an； (2)设bn是an的控制数列，满足 akbmk1C(C 为常数，k1,2，m)，求证： bkak(k1,2，m)；(3)设 m100，常
9、数 a.若 anan2(1)n，bn是an的控制数列，求(12，1)nn12 (b1a1)(b2a2)(b100a100) 23解：(1)数列an为：2,3,4,5,1 或 2,3,4,5,2 或 2,3,4,5,3 或 2,3,4,5,4 或 2,3,4,5,5. (2)因为 bkmaxa1，a2，ak，bk1maxa1，a2，ak，ak1， 所以 bk1bk. 因为 akbmk1C，ak1bmkC， 所以 ak1akbmk1bmk0，即 ak1ak. 因此，bkak. (3)对 k1,2，25， a4k3a(4k3)2(4k3)； a4k2a(4k2)2(4k2)； a4k1a(4k1)2
10、(4k1)； a4ka(4k)2(4k) 比较大小，可得 a4k2a4k3.因为 a1，所以 a4k1a4k2(a1)(8k3)0，即 a4k2a4k1.12 a4ka4k22(2a1)(4k1)0，即 a4ka4k2. 又 a4ka4k1. 从而 b4k3a4k3，b4k2a4k2，b4k1a4k2，b4ka4k. 因此(b1a1)(b2a2)(b100a100) (a2a3)(a6a7)(a98a99)(a4k2a4k1)25 k1(1a)(8k3)2525(1a)25 k1 22B12、M22012湖南卷 已知函数 f(x)exax，其中 a0. (1)若对一切 xR，f(x)1 恒成立
11、，求 a 的取值集合； (2)在函数 f(x)的图象上取定两点 A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)(x1x2)，记直线 AB 的斜率为 k，证明：存在 x0(x1，x2)，使 f(x0)k 成立 22解：(1)f(x)exa.令 f(x)0 得 xlna.当 xlna 时，f(x)0，f(x)单调递减；当 xlna 时，f(x)0，f(x)单调递增故当 xln a 时，f(x)取最小值 f(lna)aalna. 于是对一切 xR，f(x)1 恒成立，当且仅当 aalna1. 令 g(t)ttlnt，则 g(t)lnt. 当 0t1 时，g(t)0，g(t)单调递增； 当 t1 时，g(
12、t)0，g(t)单调递减 故当 t1 时，g(t)取最大值 g(1)1.因此，当且仅当 a1 时，式成立 综上所述，a 的取值集合为1(2)由题意知，ka.fx2fx1x2x1ex2ex1x2x1令 (x)f(x)kex，则ex2ex1x2x1(x1)ex2x1(x2x1)1，ex1x2x1(x2)ex1x2(x1x2)1ex2x2x1 令 F(t)ett1，则 F(t)et1. 当 t0 时，F(t)0，F(t)单调递减； 当 t0 时，F(t)0，F(t)单调递增 故当 t0 时，F(t)F(0)0，即 ett10.从而 ex2x1(x2x1)10，ex1x2(x1x2)10，又0，0，e
13、x1x2x1ex2x2x1 所以 (x1)0，(x2)0. 因为函数 y(x)在区间x1，x2上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在 x0(x1，x2)， 使 (x0)0，即 f(x0)k 成立M3 数学归纳法M4 单元综合23M42012江苏卷 设集合 Pn1,2，n，nN*.记 f(n)为同时满足下列条件的 集合 A 的个数： APn；若 xA，则 2xA；若 xPnA，则 2xPnA. (1)求 f(4)； (2)求 f(n)的解析式(用 n 表示)23解：(1)当 n4 时，符合条件的集合 A 为：2，1,4，2,3，1,3,4， 故 f(4)4. (2)任取偶数 xPn，将 x 除以 2，若商仍为偶数，再除以 2，经过 k 次以后，商必为奇 数，此时记商为 m，于是 xm2k，其中 m 为奇数，kN*. 由条件知，若 mA，则 xAk 为偶数； 若 mA，则 xAk 为奇数 于是 x 是由 m 是否属于 A 确定的设 Qn是 Pn中所有奇数的集合，因此 f(n)等于 Qn的子集个数当 n 为偶数(或奇数)时，Pn中奇数的个数是，所以 f(n)Error!n2(或n12)20B3、D4、M42012北京卷 设 A 是如下形式的 2 行 3 列的数表，abc def 满足性质 P：a，b，c，d，e，f1,1，且 abcdef0. 记 ri(A)为
