微博的数学建模作品

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1、微博网络结构模型及其对应的微博传播形态 摘要微博作为一种新兴的交流工具，以简单快捷的操作方式、随时随地发布信 息的互动形式,在各类网络社交服务中独树一帜。微博在人与人之间是如何传播 的，微博在微博网络中的扩散速度和扩散形式是怎样的，微博的发展对我们提 出了新的问题。本文通过建立简单树模型对微博网络进行局部建模，通过复杂 树模型对微博网络进行整体建模，通过微分方程模型从微博人数角度预测微博 传播趋势，最后建立了三元模型精确模拟微博在微博网络中的传播。通过转发 次数对时间的导数表征微博的“火”的程度，最终通过这些模型，可以根据一 条微博初期转发情况，预测这条微博在未来的传播情况。关键词：微博网络结

2、构、微博传播形态、树模型、微分方程模型、三元模型问题的重述总体来看，一个社会对应着一个相对稳定的微博网络，这个微博网络的结 构不会在短时间内发生巨大的变动。将微博网络结构当做黑盒，输入一条微博， 输出这条微博在 t 时刻之前的转发次数，由于黑盒结构较为稳定，所以对于同 一个微博网络，一条微博的内容是决定了这条微博在这个网络中的传播形态的 最主要因素，而其他因素大多是个体差异，对微博传播形态影响不大。在一条 微博开始传播的一小段时间内，我们可以利用统计学原理求出这条微博的转发 率，即当微博网络中的一个节点见到这条微博后转发它的概率。根据微博初期 的转发率，结合微波网络结构本身的特性，我们可以预测

3、出这条微博的传播形 态。模型假设（1）可以由人们对这条微博在单位时间内的转发次数表征。在短时间内， 微博网络结构不会发生巨大的变化，即不会有大量节点突然消失或突然出现， 也不会出现大量节点突然与同一个节点相关联或失去关联的情况。 （2）一条微博“火”的程度由人们的关注度决定，而人们的关注度由人 们转发速度来体现。 （3）人们对一条微博是否转发取决于人们对这条微博内容的关注，而与 名人效应、随大流、恶作剧等其他心理作用无关。 （4）一条微博对应着一个事件，微博网络中的各个节点都有与这个事件 相对应的转发率，即这个节点见到这条微博后转发的概率。 （5）在微博网络中，节点与节点之间是单向的。在一个人

4、转发微博后， 这个人的全体粉丝都能看到这条微博并决定是否转发，而非粉丝无法通过他来 看这条微博。 （6）在一个人转发过某条微博后，再次见到该微博时他将不会转发它。 （7）由于一条微博转发之后，其粉丝会在较为相近的时间内决定是否转 发它，所以可近似认为其粉丝会同时决定是否转发。 （8）转发次数可以是浮点型数据，如某人转发了 0.8 条微博，表示这个 人转发这条微博的概率是 0.8.由于微博网络结构中节点众多，根据大数定律，大量的节点最终总体上会表现出统计学的行为，所以这条假设在微博网络巨大 的条件下是很合理的。变量说明A，B，C：微博对应的确定事件,也可以说是微博本身；1 ,2:微博网络结构 1

5、，微博网络结构 2；p1(A),p2(B),p3(C):第一个人第一次见到 A 事件后转发它的概率，第二个人 见到 B 后转发它的概率，第三个人见到 C 后转发它的概率，p1(A)0,1；iA=f(t):对于微博 A，整个微博网络从 0 时刻到 t 时刻转发的次数之和，每 当网络中发生一次转发，iA=iA +1； hA=f(t):对于微博 A，在 t 时刻附近，单位时间内 f（t）的变化率，它表 征这条微博“火”的程度，也就是在 t 时刻人们对它的关注度，h 取汉字“火” 的首字母； s：微博网络中节点的总数； m：微分方程模型中微博临界转发数 m=rs，r 为系数。建模准备微博传播分成两大块

6、：微博本身的内容及微博网络结构。为了刻画微博的 传播，我们定义微博传播形态的概念：把微博单位时间内转发的次数对应的函 数 hA（t）叫做微博的传播形态，它表征了微博在微博网络中的流行程度、人们 对这条微博的关注程度。 用图论知识描述微博网络，每个人相当于一个节点，节点 A 是节点 B 的粉 丝，则以一个从 B 指向 A 的有向线段将二者连接。这样就得到了一个有向连通 图，人与人之间的信息传递通过节点与节点之间的有向边传播。模型的建立和求解一、简单树模型的建立和求解 微博网络结构是一个复杂的结构，要想简化问题，必须从简化微博网络结 构入手。在微博网络结构中，存在大量的节点密集区，并且这些节点密集

7、区围 绕着某个中心展开，比如某个名人的微博、某体育论坛、政治论坛等信息中心。 我们选定一个中心及其周围节点群作为研究对象，把这个局部网络简化为树模 型，用图论知识简化微博网络。 每个人相当于一个节点，节点 A 是节点 B 的粉丝，则以一个从 B 指向 A 的 有向线段将二者连接。这样就得到了一个有向连通图，由生成树定理知，任意 一个连通图至少对应一个最小生成树。树是最简单的图，所以我们将微博网络 结构抽象为树。 为了便于计算，假设树模型中每个节点有相同的出度且入度为一，即每个 节点有相同的粉丝数且这个节点是一个节点的粉丝，每个节点是等价的。若树 中每个节点都有 3 个粉丝则称这个简单网络为 3

8、 度树，每个节点至多一条路径 从一个节点到达特定节点，称从节点 A 到节点 B 所经过的边数叫做 A 与 B 之间 的距离。从中心信息源开始，微博会在节点之间传播，像涟漪一样一圈一圈荡 开去。第一次传播，与信源节点距离为 1 的节点收到微博，记这次传播过程中 转发微博次数之和为 g（0）=1；第一轮传播，与信源距离为 1 的节点作为新的 信源以一定的概率转发微博，记第一轮传播中转发次数之和为 g（1）=p1（A）+p2(A)+p3(A).+pn(A),n 表示该网络是 n 度网络，p1（A）表示节点 1 对于事件 A 转发的概率，这个概率可以通过小样本空间求出。对于一个节点群，他们通 常有类似

9、的性质，即这个节点群中每个节点转发这条微博的概率趋于一致， p1（A）=p2(A)=p3(A)=.=pn(A)，那么 g(1)=np。 类似的，g(2)=n2p（A）2,第二轮传播有 n2个人决定转发还是不转发，这些 人能收到微博 A 的概率为 p（A） ，这些人转发这条微博的概率为 p（A） ，故 g(2) =n2p（A）2;第三轮传播 g（3）=n3p(A)3.从第一轮到第 k-1 轮转发过的次数10)()(kjAkgkfinpnpnpnpnpkfk k 1)(1).()()(1)(12102030405060708090100024681012x 104中 中 中 中 中 0.55中 中

10、 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中中 中 中 中 /中中 中 中 中 /中02040608010011.021.041.061.081.11.121.14中 中 中 中 中 0.003中 中 中 中 33中 中 中 中 中 中 中中 中 中 中 /中中 中 中 中 /中式中，np1.n 表示这是一个 n 度网络结构，p 表示 p(A),即每个节点第一 次转发它的概率，k 表示从微博出现开始到微博传播的第 k-1 轮，f(k)表示这 条微博被转发的次数。h(k)=f(k)=1 -np)(lnknpk02040608010011.021.041.061.081.11.121.14中 中 中

11、中 中 0.003中 中 中 中 33中 中 中 中 中 中 中中 中 中 中 /中中 中 中 中 /中020406080100012345678x 107中 中 中 中 中 0.04中 中 中 中 30中 中 中 中 中 中 中 “中 “中 中 中中 中 中 中 k/中中 中 中 中 中 中 中 中 h(k)/中02040608010000.10.20.30.40.50.60.70.80.91中 中 中 中 中 0.03中 中 中 中 30中 中 中 中 中 中 中 “中 “中 中 中中 中 中 中 k/中中 中 中 中 中 中 中 中 h(k)/中结合图像及对式子 1,2 的分析知，当 n

12、p1 时，微博的流行程度指数级上升， 迅速的扩散出去。如图转发率为 4%的一条微博在 30 度树中迅速传播，在传播80 轮后就已经有成千上万的人转发过这条微博，然而这个树中的人数却未必就 有这么多，这是这种模型所忽视的情况。 通过这个模型可以初步看出，n 和 p 两个变量决定了微博的传播形态。n 表 征微博网络结构，p 表征微博事件本身，这种结果正好和假设相符：微博的传 播形态取决于微博网络结构本身和微博本身的性质。但是，这个模型是对微博 网络局部的模拟，所以，为改进之，我们建立了复杂微博网络模型。 二、复杂树模型以上简单树模型是对微博网络局部结构的建模，而在实际中，微波网络 结构是由一个又一

13、个的节点群构成的，这可以看做是许多简单树的拼接、组合， 它的各个局部子网度数各异，各个子网之间联系相对较少，但这些联系足以使 信息得以在子网之间传播。根据两个网络之间联系的紧密程度，可以乘以一个 系数表示初始时传入该网络的微博信息强度。 下式中，f1(k)为 n1度简单树 1的传播函数，f2(k)为 2的传播函数， 。f1(k) 当 krs 时，h（t）=f （t）随 f（t）增大而减小。描述这一现象最简单的函数就是二次函数。所以，我们构 造了如下方程：)()(rs()()( )(tftfApktfth在这个方程中，f（t）表示已经转发过的人数，rs 表示临界值。因为转 发这条微博的人数 f（

14、t）不会超过节点总数，微博单位时间内转发次数 f(t) 不会比 0 小。所以这个方程只在 f(t)0 且 f（t）1,mm-1.在式中，把 h(0)=1,f(0)=1 带入，得 k=/rs-11/rs=1/m.故得方程：ptptememtf)(下图为 m=1000，p=0.4 时微博转发次数随时间的关系。01020304050607080900100020003000400050006000700080009000中 中 中 中 中 中中 中 t中 中 中 中 f(t)/中求导即得微博传播形态函数：2)()2()( ptptptemempmetf类似于从简单树模型到复杂树模型的过渡，我们不难得

15、出多个群体、多个 信息中心情况下微博传播形态公式：pt npt n nptptptptmmemem emem ememtftftf.)()()(22 2 11 12121其中，m1、m2为微博网络局部子网的节点个数，求导得 h（t） 。 四、三元模型综合以上全部讨论，可以明确思路：微博的传播形态取决于微博网络结构 和微博本身的内容（人们转发这条微博的概率） 。以上模型都是局部的、片面的 刻画微博结构，下面用矩阵和向量来用计算机模拟微博传播过程。 对于一个微博网络结构，假设它有 s 个节点，对这些节点从 1 到 s 进行编 号。用图论中节点对节点的表示法来刻画图，这个矩阵有 s 行 s 列，记这

16、个矩 阵为 aij，称之为微博矩阵。同时用 aij表示这个矩阵第 i 行，第 j 列元素。这 个矩阵的建立通过如下公式求得：aij= 1 i 是 j 的粉丝（i 是可以直接看见 j 的） 0 i 不是 j 的粉丝构造 s 维向量 （p1,p2.pn-1,pn）.这个向量中，pi表示第 i 个人见到 这条微博时转发它的情况：1 只要 i 见到这条微博，就一定会转发它 pi= 0 i 不可能转发此微博这个向量叫做此微博网络的概率向量，由于现实中人的行为是离散的，不 会以概率的形式去转发微博，在这个模型中，i是根据对每个节点长期分析得 出每个节点的兴趣爱好，从而估测节点 i 是否会转发这条微博；再构造 s 维向 量 （1,0,1.0,1） ，若 i=0，表示节点 i 没有见到过这条微博，若 i=1，表示节点 i 见到过这条微博，把这