各种题型的递推数列

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1、各种题型的递推数列各种题型的递推数列如 An=p+q/A(n-1); An=p A(n-1)+q A(n-2); An=pA(n-1)2+q; An=A(n-1)*A(n-2) 的求解思路1. An=p+q/A(n-1)=pA(n-1)+q/A(n-1) 变形为 An+X=(p+X)A(n-1)+q/A(n-1)X 需满足 An 系数与常数 X 的比值=右边分子中 A(n-1)系数与常数比值 1/X=(p+X)/q X2+pX-q=0 求得 X 的解 X1、X2，带入上式。具体数字更直观些。如：p=2，q=3 X1=-3，X2=1 An=2A(n-1)+3/A(n-1)(An)-3=-A(n-

2、1)+3/A(n-1)=-A(n-1)-3/A(n-1) (An)+1=3A(n-1)+3/A(n-1)=3A(n-1)+1/A(n-1)两式相除 (An)+1/(An)-3=-3A(n-1)+1/A(n-1)-3数列(An)+1/(An)-3是以-3 为公比的等比数列题目需告知 A1，若 A1=2 (A1+1)/(A1-3)=-3 (An)+1/(An)-3=-3(-3)(n-1)=(-3)nAn=3(-3)n+1/(-3)n-1 记得验算 A1 是否符合上式。2.An=pA(n-1)+qA(n-2) An+XA(n-1)=(p+X)A(n-1)+qA(n-2) 1/X=(P+X)/q同样假

3、设 p=2,q=3 解得 X1=-3,X2=1 An=2A(n-1)+3A(n-2)An-3A(n-1)=-A(n-1)-3A(n-2) 若 A1=1，A2=2 A2-3A1=-1A(n+1)-3An=(-1)n 是等比数列 An+A(n-1)=3A(n-1)+A(n-2) A2+A1=3A(n+1)+An=3n 也是等比数列 两式联立求出 An=3n-(-1)n/4 也需要验算 A1、A24.An=A(n-1)A(n-2) An(A(n-1)x=(A(n-1)(x+1)A(n-2) 1/x=(x+1)/1x1=(50.5-1)/2 x2=-(50.5+1)/2An(A(n-1)(50.5-1

4、)/2)=(A(n-1)(50.5+1)/2)A(n-2)=A(n-1)(A(n-2)(50.5-1)/2)(50.5+1)/2)两边取对数 lgAn(A(n-1)(50.5-1)/2)=lgA(n-1)(A(n-2)(50.5-1)/2)(50.5+1)/2)=(50.5+1)/2)lgA(n-1)(A(n-2)(50.5-1)/2)数列lgAn(A(n-1)(50.5-1)/2)是等比数列lgA(n+1)(An)(50.5-1)/2)=lgA2A1(50.5-1)/2)(50.5+1)/2)(n-1)A(n+1)(An)(50.5-1)/2)=A2A1(50.5-1)/2)(50.5+1)

5、/2)(n-1)=(A2)(50.5+1)/2)(n-1)(A1)(50.5+1)/2)(n-2)同理可得 A(n+1)(An)(-50.5-1)/2)=A2A1(-50.5-1)/2)(-50.5+1)/2)(n-1)=(A2)(-50.5-1)/2)(n-1)(A1)(-50.5-1)/2)(n-2) 两式联立An=(A1)50.5/5(50.5+1)/2)(n-2)-(-50.5+1)/2)(n-2)(A2)50.5/5(50.5+1)/2)(n-1)-(-50.5+1)/2)(n-1)对于形如 a(n+2)+p*a(n+1)+q*a(n)=0 的递推式. 其特征方程为 x2+p*x+q

6、=0,求出方程的两根 x1,x2.若两根为实数, x1=x2 时,a(n)=(k1+k2*x1)*x1n x1!=x2 里,a(n)=k1*x1n + k2*x2n若两根为复数,x1=t*(cos(sita)+i*sin(sita),t0 则 a(n)=tn*(k1*cos(n*sita)+k2*sin(n*sita)其中 k1,k2 待定系数. 此方法为特征方程法.公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。类型一 归纳猜想证明 由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明

7、例 1设数列an是首项为 1 的正项数列，且(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,)，则它的通项公式是an=_解：将(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,)分解因式得(an+1+an)(n+1)an+1-nan=0由于 an0，故(n+1)an+1=nan，即 an+1=n/(n+1)an因此 a2=(1/2)a1=(1/2)，a3=(2/3)a2=(1/3),猜想 an=(1/n),可由数学归纳法证明之，证明过程略 类型二 “逐差法”和“积商法” (1)当数列的递推公式可以化为 an+1-an=f(n)时，取 n=1,2,3,n-1，得

8、 n-1 个式子： 逐差法： a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),an-an-1=f(n-1)， 且 f(1)+f(2)+f(n-1)可求得时，两边累加得通项 an(2)当数列的递推公式可以化为 an+1/an=f(n)时，令 n=1,2,3,n-1,得 n-1 个式子，即 a2/a1=f(1), a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),an/an-1=f(n1)，且 f(1)f(2)f(3)f(n-1)可求得时，两边连乘 例 2已知数列an满足 a1=1,an=3n-1+an-1(n2),证明：an=(3n-1)/2 证明：由已知得 an-an-1=3n-1，故an=(an-an

9、-1)+(an-1n-2)+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+3+1=3n-1/2 例 3(同例 1) 另解：将(n+1)a2n+1-nan2an+1an=0(n=1,2,3,)化简，得(n+1)an+1=nan， 即 an+1/an=n/(n+1) 故 n=an/an-1an-1/an-2an-2/an-3a2/a1=n-1/nn-2/n-1n-3/n-2 1/2=1/n类型三 构造法 递推式是 pan=qan-1+f(n)(p、q 是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解 例 4(同例 2) 另解：由 an=3n-1+an-1 得 3an/3n=an-1/3n-1+

10、1 令 bnan/3n，则有 bn=1/3bn-1+1/3 (*) 设 bn+x=1/3(bn-1+x)， 则 bn=1/3bn-1+1/3x-x， 与(*)式比较，得 x=-1/2，所以 bn-1/2=1/3(bn-1-1/2) 数列bn-1/2是首项为 b1-1=a1/3=-1/6， 公比为 1/3 的等比数列，所以 bn-1/2=-1/6(1/3)n-1，即 an/3n-1/2=-1/6(1/3)n-1 故 an=3n1/2-1/6(1/3)n-1=3n-1/2 例 5数列an中，a1=1,an+1=4an+3n+1，求 an 解：令 an+1+(n+1)x+y=4(an+nx+y)，

11、则 an+1=4an+3nx+3y-x, 与已知 an+1=4an+3n+1 比较，得 3x=3， 所以 x=1, 3y-x=1， y=(2/3)故数列an+n+(2/3)是 a1 为 a1+1+(2/3)=(8/3)，q 为 4 的等比数列，因此 an+n+(2/3)=(8/3)4n-1, 即 an=(8/3)4n-1-n-(2/3) 另解：由已知可得当 n2 时，an=4an-1+3(n-1)+1，与已知关系式作差，有 an+1-an=4(an-an-1)+3，即 an+1-an+1=4(an-an-1+1)，因此数列an+1-an+1是首项为 a2-a1+1=8-1+1=8，公比为 4

12、的等比数列，然后可用“逐差法”求得其通项 an=(8/3)4n-1-n-(2/3) 类型四可转化为 类型三求通项 (1)“对数法”转化为 类型三 递推式为 an+1=qank(q0,k0 且 k1,a10)，两边取常用对数，得 lgan+1=klgan+lgq，令 lgan=bn，则有bn+1=kbn+lgq，转化为 类型三 例 6已知数列an中，a1=2,an+1=an2，求 an 解：由 an+1=an20，两边取对数得 lgan+1=2lgan令 bn=lgan 则 bn+1=2bn因此数列bn是首项为b1=lga1=lg2，公比为 2 的等比数列，故 bn=2n-1lg2=lg22n-

13、1，即 an=22n-1 (2)“倒数法”转化为 类型三 递推式为商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an0，pq0,pcqb) 若 b=0，得 an+1=pan/(qan+c)因为 an0，所以两边取倒数得 1/an+1=q/p+c/pan,令 bn=1/an,则 bn+1=(c/p)bn+q/p，若 b0，设 an+1+x=y(an+x)/qan+c，与已知递推式比较求得 x、y，令 bn=an+x，得 bn+1=ybn/qan+c，转化为 b=0 的情况 例 7在数列an中，已知 a1=2,an+1=(3an+1)/(an+3)，求通项 an 解：设 an+1+x=y(an+x)/an+3，则 an+1=(y-x)an+(y-3)x/an+3，结合已知递推式得 y-x=3, 所以 x=1, y-3=1， y=4，则有 an+1+1=4(an+1)/an+3， 令 bn=an+1， 则 bn+1=4bn/bn+2， 求倒数得1/bn+1=1/21/bn+1/4，即 1/bn+1-1/2=1/2(1/bn-1/2) 因此数列1/bn-1/2是首项为 1/b1-1/2=1/a1+1-1/2=-1/6，q 为 1/2 的等比数列 故 1/bn-1/2=(-1/6)(1/2)n-1，从而可求得 an 类型四 可转化为类型三求通项 (1)“对数法”转化为类型三 递