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1、初等数学研究复习资料1、ABC是一个等腰三角形，AB=AC，M是BC的中点；O是AM的延长线上的一点，使得OBAB；Q是线段BC上不同于B和C的任意一点，E在直线AB上，F在直线AC上，使得E，Q，F是不同的和共线的求证： （）若OQEF，则QE=QF； （）若QE=QF，则OQEF2、在ABC中，D，E分别是BC，CA上的点，且BD：DC=m：1，CE：EA=n：1，AD与BE交于F，则ABF的面积是ABC的面积的多少倍.3、凸四边形ABCD内接于圆的充要条件是ABCD+BCAD=ACBD （托勒迷定理）4、在四面体ABCD中，设3, 1=CDAB，直线AB与CD的距离为 2，夹角为3，则四
2、面体ABCD的体积等于多少.5、设G为ABC的重心,过 G 作DEBC交AB于D,交AC于E,过G作PFAC交AB于P,交BC于F, 过G作KHAB交AC于K,交BC于H,则=+ABKH CAFP BCDE（） 6、BE是ABC的中线，G在BE上， 分别延长AG，CG交BC，AB于D，F 过D作DNCG交BG于N，DGL及FGM为正三角形求证：LMN为正三角形.7、在ABC中，60=A,ABAC,点O是外心，两条高BE，CF交于H点，点M，N分别在线段BH，HF上，且满足BM=CN.则=+ OHNHMH3.8、在ABC中，O是ABC的外心，I是其内心。若BOC=BIC，求A.9、设抛物线的顶点
3、在原点O，F为焦点，PQ为过F的弦，|OF|=a,|PQ|=b,求 SOPQ。10、 在四边形ABCD中，ABD,BCD,ABC的面积比是 3：4：1，点M,N分别在AC,CD上，满足AM：AC=CN: :CD，并且B,M,N共线求证：M与N分别是AC和CD的中点11、在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M为BC中点,DE射线AM于E,求DE的长.(用ba,表示)12、若椭圆4)(422=+ayx与抛物线yx22=有公共点,则实数a的取值范围是为多少.13、在四面体ABCD中，设3, 1=CDAB，直线AB与CD的距离为 2，夹角为3，则四面体ABCD的体积等于多少.14、在正四棱锥ABCD
4、O中，030=AOB，面OAB和面OBC所成的二面角的大小是，且cba=cos，其中Ncba,，且b不被任何质数平方整除，则cba+的值15、给定曲线族0) 1cossin8() 3cossin2(22=+yx(为参数).求该曲线族在直线xy2=上所截得的弦长的最大值.16、在 ABC中 ,BCACAB, 2=边 上 有100个 不 同 的 点,10021PPP,记,)100, 2 , 1(2=+=iCPBPAPmiiii,求10021mmm+的值?17、设G为ABC内的一点，G为ABC的重心的充要条件是：当AG，BG，CG的延长线交三边于D，E，F时，有CEGBDGAFGSSS=18、在AB
5、C中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若角A,B,C的大小成等比数列,且b2-a2=ac,则角C的弧度数等于多少19、设AB，CD，EF是交于圆O内一点M的三条不同的弦，CF，DE交AB于P，Q两点， 则M平AB的充要条件是M平分PQ20、已知在ABC中,ABAC, A的一个外角的平分线交ABC的外接圆于点E,过E作EFAB,垂足为F.求证：2AF=AB-AC21、D是ABC的内心,E是ABD的内心,F是BDE的内心,若BFE的度数为整数,求BFE的最小度数.22、已知a,b是不相等的正数,求函数xbxaxf22sincos)(+=xbxa22cossin+的值域是多少？23、设P为ABC
6、的外接圆周上有一点，P在边BC,CA,AB上的射影分别是L,M,N，令PL=l,PM=m, PN=n, BC=a ,CA=b, AB=c.求解:.mna =lnb+lmc.24、阐述张角定理，并给出证明.25、设A,B,C分 别 是 ABC的 边BC ， CA ， AB的 中 点 ，O1,O2,O3,I1,I2,I3分 别 是ABC,ABC,ABC的外心和内心求证:321321IIIOOO26、设三角形ABC的外接圆半径、内切圆半径分别为R,r，其外心、内心分别为O,I.若IO=d，则d2=R2-2Rr.27、三角形五心的基本性质.28、几个基本不等式及其性质.29、设1,=+cbaRcba且
7、。则333)1()1()1(ccbbaa+的最小值为多少30、已 知naaa,21是 任 意 正 实 数 , 且 满 足121cba.则111232323+accbba的最小值为多少.38、设1,),2, 1(01= =mAxnkxnkkk且，则mmnkkkAn nAnxx)()1(1+ =其中等号当且仅nAxxxn=21当时成立.39、设nxxx,21是任意实数.，证明：nxxx xxx xxnn+求证：1 1212()()()(1)kkkk r k rn rrrr naaanssasasan + +43、mnaaapmmRaaa+=+2121) 1(, 1,且若，13121132321)1
8、(+nnmn mmnmn pmm aaaa aaaa aaaa 则44、证明：，且设,1,+=NnabcRcba)411( 1)11)(11)(11(试题届时为第当IMOnaccbbann nn nn=+45、设正数数列,210aaa满足, 110=aa且, 3 , 2,21212=naaaaannnnn.求该数列的通项公式.46、整数列na满足:2,21 21, 7, 212121是奇数47、设非负数列,321aaa满足条件Nnmaaamnmn+,.求证:对任意mn,均有mnamnmaa) 1(1+48、设,3121=aa,且当, 5 , 4 , 3=n时,22 122 12 12 42)2
9、1 ( +=nnnnnn naaaaaaa.(1)求数列na的通项公式.(2)证明:21na是整数的平方.49、设00=a,且对, 2 , 1 , 0=n有) 1() 1(2) 1() 1(1+=+nnnnnaakkakaka，其中k是给定的自然数.求证:对于nan, 0是整数.50、数列na的首项11a=，前n项和nS与na之间满足22(2)21n n nSanS=.(1)求数列1nS的通项公式； (2)设存在正数k， 使12(1)(1)(1)21nSSSkn+对一切nN+都成立，求k的最大值51、用 1、2、3、4、5 可以构成多少个各相邻数字恰好相差 1 的n位数？52、对任意给定的正整
10、数)2( nn， 数列kb满足11=b， 且) 1, 2 , 1(11=+=+nkknk bbkk.（ 1 ） 求nbbb+21；（ 2 ） 记), 2 , 1(121=+=nbbbann， 求 证 ： 从)3(,2221=naaaAn中任取n个互不相同的数时，总存在取出的两个数jiaa,，使21=，求339272 abca+的最大值 .64、设 方 程1 1100nn nxaxa xa +=的 系 数 都 是 实 数 且 满 足 条 件01101naaa，已知为此方程的复根且| 1,求11n+=.65、已知函数( )f n是定义域为正整数集且取值为正整数严格单调递增函数，且满足 ( )3f f nn=，求(2009)f值.66、试求所有函数:fRR，使得对一切xR，均有(19)( ) 19,f xf x+(94)( )94.f xf x+
