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1、2 20 01 14 4 年年普普通通高高等等学学校校招招生生全全国国统统一一考考试试全全国国课课标标1 1理理科科数数学学第卷 一选择题：共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的一项。1.已知集合 A=|，B=|22，则=x2230xxxxAB .-2,-1 .-1,2） .-1,1 .1,2）ABCD2.=32(1) (1)i i . . . .A1 iB1 iC1 i D1 i 3.设函数，的定义域都为 R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是( )f x( )g x( )f x( )g x.是偶函数 .|是奇函数A( )f x(
2、 )g xB( )f x( )g x.|是奇函数 .|是奇函数C( )f x( )g xD( )f x( )g x4.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为学科FC223 (0)xmym mFC 网. .3 . .A3BC3mD3m 5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的 概率. . . .A1 8B3 8C5 8D7 8 6.如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角的始边为射线x ，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线OAOPPOAMM 的距离表示为的函数，则=在0,上的图像大致为OPx
3、( )f xy( )f x7.执行下图的程序框图，若输入的分别为 1,2,3，则输出的=, ,a b kM. . . .A20 3B16 5C7 2D15 88.设，且，则(0,)2(0,)21 sintancos. . . .A32B22C32D229.不等式组的解集记为.有下面四个命题：124xyxy D：，：,1p( , ),22x yD xy 2p( , ),22x yD xy：，：.3P( , ),23x yD xy4p( , ),21x yD xy 其中真命题是.， .， .， .，A2p3PB1p4pC1p2pD1p3P10.已知抛物线：的焦点为，准线为 ，是 上一点，是直线与的
4、一个焦点，C28yxFlPlQPFC若，则=4FPFQuu u ruuu r|QF. . .3 .2A7 2B5 2CD11.已知函数=，学科网( )f x3231axx若存在唯一的零点，且0，则的取值范围为( )f x0x0xa.（2，+） .（-，-2） .（1，+） .（-，-1）ABCD12.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中， 最长的棱的长度为. . .6 .4A6 2B4 2CD第第卷卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题， 每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求 作
5、答。 二填空题：本大题共四小题，每小题二填空题：本大题共四小题，每小题5 5分。分。13.的展开式中的系数为 .(用数字填写答案)8()()xy xy22x y 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .15.已知 A，B，C 是圆 O 上的三点，若，则与的夹角为 .1()2AOABACuuu ruuu ruuu rABuuu rACuuu r16.已知分别为的三个内角的对边，=2，且, ,a b cABC, ,A B Ca，则面积的最
6、大值为 .(2)(sinsin)()sinbABcbCABC 三三. .解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)已知数列的前项和为，=1，其中为nannS1a0na 11nnna aS常数. ()证明：；2nnaa（）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.na18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量 结果得如下频率分布直方图：()求这 500 件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表） ；x2s（）由频率分布直
7、方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似Z2( ,)N 为样本平均数，近似为样本方差.x22s (i)利用该正态分布，求；(187.8212.2)PZ （ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记表示这 100 件产品中质量指标值为于区间X （187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求.EX附：12.2.150若，则=0.6826，=0.9544.Z2( ,)N ()PZ(22 )PZ19. (本小题满分 12 分)如图三棱锥中，侧面为菱形，.111ABCABC11BBC C1ABBC() 证明：；1ACAB（）若，AB=Bc，求二面1ACABo 160C
8、BB角的余弦值.111AABC20. (本小题满分 12 分) 已知点（0，-2） ，椭圆：AE的离心率为，是椭圆的22221(0)xyabab3 2F焦点，直线的斜率为，为坐标原点.AF2 3 3O()求的方程；E （）设过点的直线 与相交于两点，当的面积最大时，求 的方程.AlE,P QOPQl21. (本小题满分 12 分)设函数，曲线在点（1，处的切线为1 ( )lnx xbef xaexx ( )yf x(1)f. ()求； （）证明：.(1)2ye x, a b( )1f x 请考生从第（请考生从第（2222） 、 （2323） 、 （2424）三题中任选一题作答。注意：只能做所选
9、定的题目。如果多做，则按）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按 所做的第一个题目计分，作答时请用所做的第一个题目计分，作答时请用 2B2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。方框涂黑。 22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长 线交于点 E，且 CB=CE .()证明：D=E；学科网 （）设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明： ADE 为等边三角形.23. （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知曲线：
10、，直线 ：（ 为参数）.C22 149xyl2 22xt yt t()写出曲线的参数方程，直线 的普通方程；Cl（）过曲线上任一点作与 夹角为的直线，交 于点，求的最大值与最小值.CPlo30lA|PA 24. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲若，且.0,0ab11abab() 求的最小值；33ab （）是否存在，使得？并说明理由., a b236ab20142014 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案（理科数学试题答案（B B 卷）卷）一选择题 1. A 2.D 3.C 4.A 5.D 6.C 7 .D 8. C 9. B 10.B
11、11.C 12.B二填空题13.-20 14.A 15.90 度 16. 三解答题17.解： （I）由题设，,又11nnnsaa111nnnsaa两式相减的121)(nnnnaaaa由于，所以nnaa2（ ）由题设，假设为等差数列，设公差为 d,则na。当 n=1 时，即daaaaaannnnnn2)()(1122, 1121aaa得 =4。, 11)21 (1故，由此可得是首项为 1，公差为 4 的等差数列，是首项为 3，公差为 4 的等差数列，=4n-1所以 因此存在 =4，使得数列为等差数列（18）解（I）收取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别是x2s=200x=1502s （
12、）由上述可此，ZN(200，165),从而 P（187.8Z212.2）=P(200-12.2Z200+12.2)=0.6826 一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为 0.6826依题意可知 XB(100,0.6826),所以 EX=10026.686826. 0（19）解：（I） 连结，交于点 O，连结 AO。因为侧面为菱形，所以，且 O 为及的中点。又，所以平面 ABO，由于 AO平面 ABO，故又，故 AC=， 6 分（II）因为，且 O 为的中点，所以 AO=CO。 又因为 AB=BC，所以。故，从而 OA、OB、两两相互垂直。以 O 为坐标原点，的方向为 x
13、 轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间指教坐标系 O- xyz.因为，所以为等边三角角，又 AB=BC，则 A，B（1,0,0），,设式平面的法向量，则即所以，取 n=（1，）设 m 是平面的法向量，则同理可取 m=（1，-，）则 cos=所以，所求角 A-A2B2-C1的余弦值为(20)解：（1）设 F(C,0)，由条件知，又故 E 的方程为故设 l:y=kx-2,P(x1,x2)将 y=kx-2 代入+y2=1 得（1+4k2）x2-16kx+12=0当0，即时，=从而 |PQ|=|=又点 O 到直线 PQ 的距离 d=。所以的面积.9 分设，则 t0, 因为 t+4.当且仅当 t=2,
14、即 k=时等号成立，且满足0. 所以，OPQ 的面积最大时，l 的方程为.12 分（21）解：（I）函数 f（x）的定义域为，f（x）=， 由题意可得 f（1）=2 ，f（1）=e 故 a=1，b=25 分（II）由（I）知，f（x）=，从而 f（x）1 等价于 xlnx. 设函数 g（x）=xlnx，则 g(x)=1+lnx所以当 x (0, ) 时，g(x)0；当 x （）时，g(x)0.故 g（x）在（0，）单调递减，在（，+）单调递增，从而 g（x）在的最小值为g（）=- 8 分设函数 h（x）= ，则 h（x）= .所以当时，h（x）0；当时，h（x）0.故 h（1）在（0,1）单调递增，在单调递减，从而 h（x）在的最大值为 h（1）= 综上，当 x0 时，g（x）h（x），即 f（X）1.12 分(22)解： （I）由题设知 A,B,C,D 四点共圆，所以D=CBE 由已知得CBE=E,故D=E5 分（II）设 BC 的中点为 N,连结 MN，则由 MB=MC 知 MNBC，故 O 在直线 MN 上。又 AD 不是O 的直径，M 为 AD 的中点，故 OMAD，即 MNAD 所以 AD/BC,故A=CBE 又CBE=E，故A=E。由（I）知，
