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1、- 1 -高中数学必修高中数学必修 1 1 知识点总结知识点总结第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 一、集合有关概念一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个 对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象 或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对 象归入一个集合时,仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一 样,仅需比较它们的元素
2、是否一样,不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示: 如我校的篮球队员,太平洋,大西洋,印度洋,北 冰洋 1. 用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法:列举法与描述法。 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 aA ,相反,a 不属于集合 A 记作 aA 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法:将集合
3、中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合 的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 语言描述法:例:不是直角三角形的三角形 数学式子描述法:例:不等式 x-32 的解集是x?R| x-32或x| x- 32 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:x|x2=5二、集合间的基本关系二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ;(2)A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B
4、或 B A2 “相等”关系(55,且 55,则 5=5) 实例:设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同” 结论:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的 元素,同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A- 2 -等于集合 B,即:A=B 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:如果 AB,且 B A 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 AB(或 B A) 如果 AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真
5、子集。三、集合的运算三、集合的运算 1交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的交集 记作 AB(读作”A 交 B”),即 AB=x|xA,且 xB2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的并集。记作:AB(读作”A 并 B”),即 AB=x|xA,或 xB3、交集与并集的性质:AA = A, A= , AB = BA,AA = A, A= A ,AB = BA.4、全集与补集 (1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 ) ,由 S 中所有不 属于 A 的元素组成的集合,叫做
6、S 中子集 A 的补集(或余集) (2)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个 集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。四、函数的有关概念四、函数的有关概念 1函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对 应,那么就称 f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作: y=f(x), xA其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域 注意:如果只给出解析
7、式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义 域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集 合或区间的形式定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列 不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方 数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大 于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那 么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底- 3 -不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又
8、注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由 定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一 致,即称这两个函数相等(或为同一函数) (2)两个函数相等当且仅当它们 的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同 函数的判断方法:表达式相同;定义域一致 (两点必须同时具备) (见 课本 21 页相关例 2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值 域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、
9、对 数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标, 函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x A)的图 象 集合 C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA ,图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或 直线),也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线 或
10、离散点组成。(2) 画法 A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,以 (x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y),最后用平滑的曲线将这些 点连接起来. B、图象变换法(请参考必修 4 三角函数) 常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用: 1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高 解题的速度。发现解题中的错误。4了解区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3) 区间的数轴表示5什么叫做映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对 于
11、集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A B”- 4 -给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 aA,bB.且元素 a 和元素 b 对应,那么, 我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,集合 A、B 及对应 法则 f 是确定的;对应法则有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应, 它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的;对于映射 f:AB 来说,则应满 足:()集合 A 中的每一个元素,在
12、集合 B 中都有象,并且象是唯一的; ()集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个;()不 要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点: 1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注 意判断一个图形是否是函数图象的依据;2 解析法:必须注明函数的定义域; 3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观 察函数的特征;4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特 征 解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函 数值.补充一:分段函数 (参见课本 P24-25)
13、在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数 值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同 的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别 注明各部分的自变量的取值情况 (1)分段函数是一个函数,不要把它误认 为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值 域的并集补充二:复合函数 如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x),(xA) 称为 f、g 的复合函数。 例如: y=2sinx y=2cos(2x+1)7函数单调性 (1) 增函数 设函数 y=f(x)的定义域为
14、 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两 个自变量 a,b,当 a1,且*nnN 当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负nnn数此时,的次方根用符号表示式子叫做根式(radical) ,annana 这里叫做根指数(radical exponent) ,叫做被开方数(radicand) na 当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数此时,正nn 数的正的次方根用符号表示,负的n次方根用符号表示正annana 的n次方根与负的n次方根可以合并成(0) 由此可得:负数没naa 有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作。00 n注意:当是奇数时,当是偶数时
15、,naannn )0()0(|aa aaaann2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:,) 1, 0(*nNnmaaanmnm) 1, 0(11*nNnma aaa nm nmnm0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有 理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂 3实数指数幂的运算性质(1)rasrraa;(2)rssraa)(;), 0(Rsra), 0(Rsra(3)srraaab)(), 0(Rsra (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数) 1, 0(aaayx且 (exponential function) ,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1 2、指数函数的图象和性质- 7 -a1010b 时,B 有一解注:当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。3、三角形面积公式:111sinsinsin222CSbcabCacAA 4、余弦定理:在中,有,CA2222cosabcbcA2222cosbacac2222coscababC5、余弦定理的推论:,222 cos2bca bc