高中数学必修一至必修五知识点总结完整版

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1、- 1 -高中数学必修高中数学必修 1 1 知识点总结知识点总结第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 一、集合有关概念一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个 对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象 或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对 象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一 样，仅需比较它们的元素

2、是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示： 如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北 冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法。 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作 aA ，相反，a 不属于集合 A 记作 aA 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合

3、中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合 的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是x?R| x-32或x| x- 32 4、集合的分类： （1） 有限集 含有有限个元素的集合 （2） 无限集 含有无限个元素的集合 （3） 空集 不含任何元素的集合 例：x|x2=5二、集合间的基本关系二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 注意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部分， ；（2）A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B

4、或 B A2 “相等”关系(55，且 55，则 5=5) 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同” 结论：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的 元素，同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A- 2 -等于集合 B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:如果 AB,且 B A 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB(或 B A) 如果 AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真

5、子集。三、集合的运算三、集合的运算 1交集的定义：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的交集 记作 AB(读作”A 交 B”)，即 AB=x|xA，且 xB2、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成 的集合，叫做 A,B 的并集。记作：AB(读作”A 并 B”)，即 AB=x|xA，或 xB3、交集与并集的性质：AA = A, A= , AB = BA，AA = A, A= A ,AB = BA.4、全集与补集 （1）补集：设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集（即 ） ，由 S 中所有不 属于 A 的元素组成的集合，叫做

6、S 中子集 A 的补集（或余集） （2）全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个 集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。四、函数的有关概念四、函数的有关概念 1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f， 使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对 应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)， xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域 注意：如果只给出解析

7、式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义 域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集 合或区间的形式定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列 不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方 数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大 于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那 么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.（6）指数为零底- 3 -不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又

8、注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由 定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一 致，即称这两个函数相等（或为同一函数） （2）两个函数相等当且仅当它们 的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同 函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备) (见 课本 21 页相关例 2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值 域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、

9、对 数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标， 函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图 象 集合 C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA ,图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或 直线),也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线 或

10、离散点组成。(2) 画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以 (x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些 点连接起来. B、图象变换法（请参考必修 4 三角函数） 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用： 1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高 解题的速度。发现解题中的错误。4了解区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3） 区间的数轴表示5什么叫做映射 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对 于

11、集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f：A B”- 4 -给定一个集合 A 到 B 的映射，如果 aA,bB.且元素 a 和元素 b 对应，那么， 我们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合 A、B 及对应 法则 f 是确定的；对应法则有“方向性” ，即强调从集合 A 到集合 B 的对应， 它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的；对于映射 f：AB 来说，则应满 足：（）集合 A 中的每一个元素，在

12、集合 B 中都有象，并且象是唯一的； （）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；（）不 要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点： 1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注 意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域； 3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观 察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特 征 解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函 数值.补充一：分段函数 （参见课本 P24-25）

13、在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数 值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同 的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别 注明各部分的自变量的取值情况 （1）分段函数是一个函数，不要把它误认 为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值 域的并集补充二：复合函数 如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x)，(xA) 称为 f、g 的复合函数。 例如: y=2sinx y=2cos(2x+1)7函数单调性 （1） 增函数 设函数 y=f(x)的定义域为

14、 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两 个自变量 a，b，当 a1，且*nnN 当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负nnn数此时，的次方根用符号表示式子叫做根式（radical） ，annana 这里叫做根指数（radical exponent） ，叫做被开方数（radicand） na 当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正nn 数的正的次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示正annana 的n次方根与负的n次方根可以合并成（0） 由此可得：负数没naa 有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作。00 n注意：当是奇数时，当是偶数时

15、，naannn )0()0(|aa aaaann2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定：，) 1, 0(*nNnmaaanmnm) 1, 0(11*nNnma aaa nm nmnm0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有 理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂 3实数指数幂的运算性质（1）rasrraa；（2）rssraa)(；), 0(Rsra), 0(Rsra（3）srraaab)(), 0(Rsra （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数) 1, 0(aaayx且 （exponential function） ，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1 2、指数函数的图象和性质- 7 -a1010b 时，B 有一解注：当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCacAA 4、余弦定理：在中，有，CA2222cosabcbcA2222cosbacac2222coscababC5、余弦定理的推论：，222 cos2bca bc