nurbs曲线曲面

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1、NURBSNURBS曲线曲面曲线曲面B B样条的样条的缺点缺点 用于自由型曲线曲面的用于自由型曲线曲面的B B样条曲线在表示和设计自由型样条曲线在表示和设计自由型曲线曲面形状方面显示了强大的威力。然而在表示与设曲线曲面形状方面显示了强大的威力。然而在表示与设 计计由二次曲面与平面构成的初等曲面由二次曲面与平面构成的初等曲面时却遇到了麻烦。时却遇到了麻烦。 B B样条曲线样条曲线( (面面) )包括其特例包括其特例BBzierzier曲线曲线( (面面) )都只能都只能近似近似 表示表示除抛物线面外的除抛物线面外的二次曲线弧二次曲线弧( (面面) )。 近似表示将带来处理上的麻烦，使本来简单的问

2、近似表示将带来处理上的麻烦，使本来简单的问 题复杂化，还会带来原不存在的设计误差问题。题复杂化，还会带来原不存在的设计误差问题。 解决这一问题的途经显然应该是改造现有的解决这一问题的途经显然应该是改造现有的B B样条方法样条方法， 保留保留其其描述自由型形状长处，描述自由型形状长处， 扩充其统一表示二次曲线弧与二次曲面的能力。扩充其统一表示二次曲线弧与二次曲面的能力。 人们所寻求的方法就是人们所寻求的方法就是有理有理B B样条方法样条方法。 形状描述中更多地以形状描述中更多地以非均匀非均匀类型出现，而类型出现，而均匀均匀、准、准 均匀均匀和和分段分段BBzierzier曲线曲线( (面面) )

3、三种类型又可看作是非均三种类型又可看作是非均 匀类型的特例，因此，习惯称之为匀类型的特例，因此，习惯称之为非均匀有理非均匀有理B B样条样条 曲线曲线NURBS NURBS ( (Non-Uniform Rational B-Non-Uniform Rational B-SplinesSplines) ) 。NURBS曲线 有理样条曲线 基函数性质 NURBS曲线表示 形状因子概念 NURBS曲线形状 NURBS曲面 NURBS曲面表示 NURBS曲面性质 NURBS形状因子 三次曲线比较有理样条曲线定义有理样条曲线定义 有理函数有理函数是两个多项式之比；是两个多项式之比；有理样条有理样条是两

4、个样条函数是两个样条函数 之比。之比。 例如，有理例如，有理B B样条曲线可用向量描述样条曲线可用向量描述为：为：P P( (u u)=()=( k kP Pk kB Bk k,d ,d( (u u)/()/( k kB Bk k,d ,d( (u u) )。 P Pk k是是n n+1+1个控制点位置，个控制点位置， 参数参数 k k是控制点的权因子。是控制点的权因子。 k k值越大，曲线越靠近该控制点值越大，曲线越靠近该控制点P Pk k。 当所有权因子都为当所有权因子都为1 1时得标准时得标准B B样条曲线。样条曲线。 构造有理构造有理B-B-样条表达式与构造非有理表达式的步骤相同样条表

5、达式与构造非有理表达式的步骤相同： 给定控制点集、多项式次数、权因子、节点向量，给定控制点集、多项式次数、权因子、节点向量， 用递归关系可得混合函数。用递归关系可得混合函数。 通常，图形包用非均匀节点向量表示式来构造有理通常，图形包用非均匀节点向量表示式来构造有理B B 样条。这些样条称作样条。这些样条称作NURBSNURBS。NURBS曲线 有理样条曲线 有理样条特点 NURBS方法 NURBS特点 NURBS曲线表示 形状因子概念 NURBS曲线形状 NURBS曲面 NURBS曲面表示 NURBS曲面性质 NURBS形状因子 三次曲线比较有理有理/ /非有理样条比较非有理样条比较 有理样条

6、与非有理样条相比有两个重要的优点：有理样条与非有理样条相比有两个重要的优点： 有理样条有理样条提供了提供了二次曲线的精确表达式二次曲线的精确表达式； 非有理样条表达式为多项式，仅能逼近二次曲线。非有理样条表达式为多项式，仅能逼近二次曲线。 这使图形包能这使图形包能用一个表达式用一个表达式( (有理样条有理样条) )来来模拟所模拟所有曲线形状有曲线形状，无需用一个曲线函数库去处理不，无需用一个曲线函数库去处理不同的形状。同的形状。 有理样条对于透视观察变换是不变的。有理样条对于透视观察变换是不变的。 非有理样条关于透视观察变换是可变的。非有理样条关于透视观察变换是可变的。 这意味着可对有理曲线上

7、的控制点应用一个透这意味着可对有理曲线上的控制点应用一个透视观察变换，来得到曲线的正确视图，视观察变换，来得到曲线的正确视图，NURBS曲线 有理样条曲线 有理样条特点 NURBS方法 NURBS特点 NURBS曲线表示 形状因子概念 NURBS曲线形状 NURBS曲面 NURBS曲面表示 NURBS曲面性质 NURBS形状因子 三次曲线比较NURBSNURBS方法方法 NURBSNURBS方法是建立在非有理方法是建立在非有理BBzierzier方法和非有理方法和非有理B B样样条方法基础上的。条方法基础上的。 它提出的首要的理由是为了找到与描述自由型曲它提出的首要的理由是为了找到与描述自由型

8、曲 线曲面的线曲面的B B样条方法相统一的、又能精确表示二样条方法相统一的、又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。次曲线弧与二次曲面的数学方法。 鉴于鉴于NURBSNURBS在形状定义方面的强大功能与潜力，在形状定义方面的强大功能与潜力， 美国国家标准局在美国国家标准局在19831983年制订的初始图形交换年制订的初始图形交换 IGESIGES第二版就将第二版就将NURBSNURBS列为优选类型。列为优选类型。 19881988年颁布的年颁布的STEP/PDESSTEP/PDES产品定义交换规范只产品定义交换规范只 规定了规定了NURBSNURBS为唯一的一种自由型参数曲线曲为唯一的一种

9、自由型参数曲线曲面。面。 19911991年年ISOISO正式颁布的正式颁布的STEPSTEP标准中标准中NURBSNURBS是唯是唯一的自由型参数曲线曲面表示方法。一的自由型参数曲线曲面表示方法。NURBS曲线 有理样条曲线 有理样条特点 NURBS方法 NURBS特点 NURBS曲线表示 形状因子概念 NURBS曲线形状 NURBS曲面 NURBS曲面表示 NURBS曲面性质 NURBS形状因子 三次曲线比较NURBSNURBS方法的优缺点方法的优缺点 NURBSNURBS方法的优点表现在以下几个方面：方法的优点表现在以下几个方面： 既为标准解析形状也为自由型曲线曲面的精确表示与设计既为标

10、准解析形状也为自由型曲线曲面的精确表示与设计 提供了一个公共的数学形式。提供了一个公共的数学形式。 由操纵控制顶点及权因子为各种形状设计提供了充分的灵由操纵控制顶点及权因子为各种形状设计提供了充分的灵 活性。权因子的引入成为几何连续样条曲线曲面中形状参活性。权因子的引入成为几何连续样条曲线曲面中形状参 数的替代物。数的替代物。 NURBSNURBS计算稳定且速度快；计算稳定且速度快；NURBSNURBS有明显的几何解释。有明显的几何解释。 NURBSNURBS有强有力的几何配套技术有强有力的几何配套技术( (包括插入节点包括插入节点/ /细分细分/ /消去消去 、升阶、分裂等、升阶、分裂等)

11、)。 NURBSNURBS在几何变换及平行和透视投影变换下不变。在几何变换及平行和透视投影变换下不变。 NURBSNURBS是非有理是非有理B B样条和样条和BBzierzier形式合适的推广。形式合适的推广。 NURBSNURBS方法主要缺点包括：方法主要缺点包括： 需要额外的存储以定义传统的曲线曲面。需要额外的存储以定义传统的曲线曲面。 权因子的不合适应用可能导致很坏的参数化，甚至毁掉随权因子的不合适应用可能导致很坏的参数化，甚至毁掉随 后的曲面结构。后的曲面结构。 某些技术用传统形式比某些技术用传统形式比NURBSNURBS工作得好。如曲面求交。工作得好。如曲面求交。 某些基本算法存在数

12、值不稳定问题。例如：点的反求。某些基本算法存在数值不稳定问题。例如：点的反求。NURBS曲线 有理样条曲线 有理样条特点 NURBS方法 NURBS特点 NURBS曲线表示 形状因子概念 NURBS曲线形状 NURBS曲面 NURBS曲面表示 NURBS曲面性质 NURBS形状因子 三次曲线比较NURBSNURBS曲线三种等价表示曲线三种等价表示 从表面上看，与非有理从表面上看，与非有理B B样条曲线比较，样条曲线比较，NURBSNURBS不过是不过是多了权因子与分母。多了权因子与分母。 正因为多了权因子与分母，问题变得复杂。正因为多了权因子与分母，问题变得复杂。 NURBSNURBS曲线有三

13、种表示方法：曲线有三种表示方法： 分式表示分式表示是有理的由来，它说明：是有理的由来，它说明：NURBSNURBS曲线是非曲线是非 有理与有理有理与有理BBzierzier和非有理和非有理B B样条曲线的推广；样条曲线的推广；但却但却难以从中了解更多的性质。难以从中了解更多的性质。 在在有理基函数表示有理基函数表示形式中，可从有理基函数的性质形式中，可从有理基函数的性质 清楚地了解清楚地了解NURBSNURBS曲线的性质。曲线的性质。 齐次坐标表示形式齐次坐标表示形式说明：说明：NURBSNURBS曲线是它的控制顶曲线是它的控制顶点的齐次坐标或带权控制点在点的齐次坐标或带权控制点在高一维空间里

14、高一维空间里所定义所定义 的的非有理非有理B B样条曲线样条曲线在在=1=1超超平面上的平面上的投影投影。 不仅包含了明确的几何意义，而且也说明：不仅包含了明确的几何意义，而且也说明：非非 有理有理B B样条曲线的大多数算法都可以推广应用于样条曲线的大多数算法都可以推广应用于 NURBSNURBS曲线曲线。NURBS曲线 有理样条曲线 NURBS曲线表示 有理分式表示 有理分式性质 基函数表示 基函数性质 基函数性质 齐次坐标表示 齐次坐标表示 形状因子概念 NURBS曲线形状 NURBS曲面 NURBS曲面表示 NURBS曲面性质 NURBS形状因子 三次曲线比较NURBSNURBS曲线有理

15、分式表示曲线有理分式表示 一条一条k k次次NURBSNURBS曲线可表示为一分段有理多项式矢函数曲线可表示为一分段有理多项式矢函数： 这给出了这给出了NURBSNURBS的数学定义，也是有理的由来。的数学定义，也是有理的由来。 参数参数 i i是控制顶点权因子，分别与是控制顶点权因子，分别与n n+1+1个控制顶点个控制顶点P Pi i( (i i=0,1,2,=0,1,2,n n) )相联系。相联系。 首末权因子首末权因子 0 0, , n n00，其余其余 i i00，以防止分母为以防止分母为零、保留凸包性质及曲线不致于权因子而退化为零、保留凸包性质及曲线不致于权因子而退化为 一点。一点。 恰如非有理恰如非有理B B样条曲线，控制顶点样条曲线，控制顶点P Pi i(i=0,1,2,n)(i=0,1,2,n)顺顺序连接成控制多边形。序连接成控制多边形。 B Bi,ki,k( (u u) )是由节点向量是由节点向量U U=u u0 0, ,u u1 1, ,u u2 2,u un+k+1n+k+1) )按递推公式按递推公式 决定的决定的k k次规范次规范B