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1、习题二习题二 2-3 已知真空中静电场的电位xdUxx+=02 )( V，求电场强度的分布及电荷体密度。 解： xxdUx xeeE)2(0+= V/m 2)2(0000=xExED C/m2 2-4 半径为的圆面上均匀带电， 电荷面密度为a， 试求：(1)轴线上离圆心为z处的场强，(2)在保持 不变的情况下，当和时结果如何？(3)在保持总电荷不变的情况下，当和0aa0aa时 结果如何? 解：(1)如图所示，在圆环上任取一半径为r、厚度为的圆环，它所带的电荷量为rdrrqd2d=。由 例题2-5(1)的结果可知该回环在轴线上P点处的场强为 zR dqoa 23 22023 )(d 2)zrrr
2、z+=22 0(4ddzrqzE+=则整个均匀带电圆面在轴线上P点出产生的场强为 )1 (2)22023 2zazr+=(d 2020zrrzEaz += (2)若不变，当时，则 0a0) 11 (20= zE 当，则 a002)01 (2 =zE (3)若保持不变，当a时，此带电圆面可视为一点电荷。则2aq =02 04zqEz= 当时，a0，则。 0=zE2-5 已知某空间电场强度，问：(1)该电场可能是静态电场吗？(2)如果是静电场，求与之对应的电位的分布。 zyxyxzxxzyeeeE+=)2(答案 （1）是 （2） xyzx=22-7 在半径为的无限长带电长直圆柱中分布有电荷，其中、
3、are=00均为常数。求圆柱内、 外的电场强度。 答案 rrr iearearaeE)11(00 = rrr oeaaearaeE)11(00 = 2-8 已知电场强度),0( ,033 0为常数EararE r= 0)(2020 zzzzee D2-12 在无限大真空中，已知电位rerq =04（式中r为球坐标系中半径坐标） ，求对应的电场强度及电荷分布。 分析分析 处是0=r)(r的奇异点，在该点应有一个点电荷。在0r处，可由求得电荷体 密度，而位于处的点电荷，则可应用高斯定律求得。 2 0= 0=r 解解 (1)电场强度为 rr rrreq reeE += 2 01 4(2) 在处，电荷
4、体密度由球坐标系中散度展开式求得为 0r()r rerqErrr =412 2 2ED 为了确定处的点电荷，作一个半径为0=rr的球面。由高斯定律可得到球面内的总电荷为 SSQrSerqrrEQ+=)1 (4)(d2 00SE该球面内的体分布电荷的总电荷量SQ为 qerqeqVQrrrV+=)1 (d44d)(d 0220故处的点电荷为 0=r0qqQQq=0说明说明 在给定E或分布时可应用E=或求电荷分布。但应注意：在2=E或的奇 异点处可能有点电荷，而在E的突变面上，可能有面分布的自由电荷。 2-13 一个半径为的导体球，要使得它在空气中带点且不放电，试求它所能带点最大电荷量级表面电位各是
5、多少？已知空气的击穿场强为V/m。 a6103答案 32max103=aqC，V 6 max103= a2-14 空气中有一内外半径分别为和的带电介质球壳，介质的介电常数为ab，介质内有电荷密度为2rA=的电荷分布，其中系数A为常数。求总电荷及空间电场强度、电位的分布。若，结果如何？ ab 答案 )(4abAq= rrarAeE21)( =，rrabAeE2 02)( = 2-15在半径分别为a和的两个同心导体球壳间有均匀的电荷分布，其电荷体密度C/m2。已知外球壳接地，内球壳的电位为，如例3.3图所示。求两导体球壳间的电场和电位分布。 b0=0U 分析分析 在内球壳的外表面和外球壳的内表面上
6、都有感应电荷。 由于电荷分布具有球对称性， 可用高 斯定律求解。先假设内球壳的外表面上的感应电荷面密度，求出电场强度后，由两导体球壳间的电位差 确定出内球壳的外表面上的感应电荷面密度。 解解 在内球壳的外表面和外球壳的内表面上都有感应电 荷。由于电荷分布具有球对称性，可用高斯定律求解。设内 球壳的外表面上的感应电荷面密度。根据高斯定律，有 b 题 2-16 图 ab c 0 abc0abc003322 0)(344arar+= 4E )(bra题 2-15 图 a U0 2 02 000212 02 0002122,22raa rbb rr rerErerE=点P处总的电场为 )(222220
7、11ra rbrrEEE=+=在且区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点br P产生的电场分别为 2 02022 002222,22raar rr rerErerE=点P处总的电场为 )(22200 22ra rrEEE=+=在的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点ar 介质球内、外的电位分别为 rrRKrrKrErEl RRrRrRrd)(d)(ddd2 000211+=+= E)(ln)(000 +=K rRK)(Rr rRKrrRKdrE rr)(d)(002 0022 =)(Rr说明说明 虽然介质是均匀的，但极化强度P不是常矢量，所以介质的极化是非均匀的。因此，介质 体内可
8、能有极化电荷， 此即意味着介质体内有自由电荷分布， 但介质表面上通常不存在面分布的自由电 荷。 2-19设平行板电容器的极板与x轴垂直，平行板内介质的介电常数为)1 (xK+=，其中K为常数。若 处的极板接地，处的极板电位为。试求介质中电场的分布及电容器的电容。 （提示：平 行板内的介质不均匀分布）0=xdx =U答案 )1ln(dKC+= 2-20无限长同轴电缆内外导体的半径分别为和， 单位长度的带电量分别为和。 两导体间填充介质，介电常数为1r2r0+0rK=，其中K为常数。试求介质中的电场强度、极化电荷的分布。 答案 rKeE 20=，Krp200=， =100 11 2)(rKrp ，
9、 =Krrp020 21 2)( 2-21自由空间均匀电场中有一厚度为的无限大均匀介质板，介质板的相对介电常数为，介 质板的法线方向与外电场方向夹角为。求：(1)使介质板内电场方向与板的法线方向夹角为时的 值；(2)介质板表面的极化电荷面密度。 0Ed4=r1451 分析分析 当无限大介质板放入均匀电场中时，介质表面上有均匀分布的极化电荷，极化电荷在介质 内产生均匀电场，而在介质外产生的电场为零，故介质外的电场不变。根据静电场的边界条件，即可求 得以及介质板表面的极化电荷密度。 1 解解 (1)根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有 例 3.9 图 0E 0E0 E 21题 2-21 021
10、 tantan=由此得到 o1441tantantantan101201 1= (2)设介质板中的电场为E，根据分界面上的边界条件，有 ，即 nnEE=00nEE=100cos 所以 o14cos41cos0100EEEn=介质板左表面的束缚电荷面密度 00000728. 014cos43)(EEEnp=o介质板右表面的束缚电荷面密度 00000728. 014cos43)(EEEnp=o说明说明 在此题的求解中，外加电场是均匀的是关键。当外电场不是均匀场时，介质表面上的极化电 荷亦不均匀分布，极化电荷在介质内外均要产生电场，则不能这样简单的求解。 2-22两种电介质的相对介电常数分别为和，其
11、分界面为21=r32=r0=z平面。如果已知介质1中的电场为，那么对于介质2中的和，你能得到什么结果？ zyxzxyeeeE)5(321+=2E2D分析分析 在两种电介质的分界面上，不存在面分布的自由电荷。根据静电场的边界条件，在两种电 介质分界面处，有、，由此可求出介质2中的和在分界 面处的表达式。 0=z0)(21=zeEE0eDD=z)(212E2D 0=z 解解 设在介质2中 zzyyxxyxEyxEyxEyxeeeE)0 ,()0 ,()0 ,()0 ,(2222+=2022023EED=r在处，由和，可得 0=z0)(21=zeEE0eDD=z)(21=+=)0 ,(352)0 ,
12、()0 ,(3220022 yxEyxEyxExyzyyxxyx eeee于是得到 310)0 ,(,3)0 ,(,2)0 ,(222=yxExyxEyyxEzyx故得到介质2中的和在处的表达式分别为 2E2D0=z)1096()0 ,()310(32)0 ,(022zyxzyx xyyxxyyxeeeDeeeE+=+=说明说明 边界条件给出的是边界面上的场矢量之间的关系。一般情况下，介质中任意点的电场与边界 面上的电场是不相同的。 如果介质中的场是均匀的， 则边界面上的电场与介质中的电场相同。 在本题中， 由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。 2-24两块无限大接地
13、导体平面分别置于0=x和ax=处，其间在处有一面密度为C/m2的均匀电荷分布。求两导体板之间的电场和电位。 )000axxx的区域内，可取半径为r的同心球面为高斯面，如题9图所示。高斯 面上各点的电场E与面元的方向相同。于是，由高斯定理，有 Sd024ddqErSESroSro=E 所以 2 04rqEro= 矢量形式为 )(42 0arrq ro=eE在ar a 的介质管拉进电容器时，拉力为 abVF ln)(2 0= 证：内外导体间的电场为 abrVEr ln= 电容器中拉入介质管后的能量变化为 abzVdzr rabrEVEWzbavln)(d )(ln2)(21d)(212 00222
14、02 0=由虚位移法得 abV zWFconstVln)(2 0=2-44有两个质量均为 的完全相同金属小球mA和，用一个原长为的轻弹簧连接，小球和弹簧之间是绝缘的。用丝线把小球和弹簧吊起来，如图所示。此时弹簧的长度为。使两个小球带上等量同种电荷后，弹簧的长度变为，问两个小球所带电量为多少。(提示：设弹簧的拉伸系数为B0l1l2lK，单位为 Kg/m。弹簧较轻，自身重量忽略不计) 解 当两个小球不带电时，以B球为分析对像，它共受两个力作用，一个是重力，另一个是 弹簧的拉力mg T，因为静止，所以这两个力平衡，设弹簧的拉伸系数为K，则有： )(01llKTmg= (1) 两个小球带电后，还是以球为分析对像，此时球受到三个力的作用，除去重力、弹簧的拉力以外，还受到A球的库仑力。平衡后两球间的距离为, 所以库仑力为： BBmg)(02llKT=2l2 22041 lQF= 由于平衡，所以有： )(41 022 220llKlQmg=+(2) 解(1)(2)两式得 01120102 2 220141 llllmgllllmglQ = =A B
