《2014届步步高大一轮复习讲义13.4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届步步高大一轮复习讲义13.4（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.4 数学归纳法数学归纳法2014 高考会这样考 1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力复习备考要这样做 1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；2.规范书写数学归纳法的证题步骤数学归纳法一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 (n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设 nk (kn0，kN*)时命题成立，证明当 nk1 时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立上述证明方法叫作数学归纳法
2、难点正本 疑点清源1数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据2在用数学归纳法证明时，第(1)步验算 nn0的 n0不一定为 1，而是根据题目要求，选择合适的起始值第(2)步，证明 nk1 时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法1凸 k 边形内角和为 f(k)，则凸 k1 边形的内角和为 f(k1)f(k)_.答案 解析 易得 f(k1)f(k).2用数学归纳法证明：“1 1)” ，由 nk (k1)不等式成立，推证121312n1nk1 时，左边应增加的项的
3、项数是_答案 2k解析 nk 时，左边1 ，当 nk1 时，1212k1左边1 .121312k112k11所以左边应增加的项的项数为 2k.3用数学归纳法证明 1aa2an1(a1，nN)，在验证 n1 成立时，1an21a左边需计算的项是( )A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案 C解析 观察等式左边的特征易知选 C.4已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1 2时，1213141n(1n21n412n)若已假设 nk(k2 且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )Ank1 时等式成立Bnk2 时等式成立Cn2k2 时等式成立Dn2(k2)时等式成立答案 B解析 因为
4、假设 nk(k2 且 k 为偶数)，故下一个偶数为 k2，故选 B.5已知 f(n) ，则( )1n1n11n21n2Af(n)中共有 n 项，当 n2 时，f(2) 1213Bf(n)中共有 n1 项，当 n2 时，f(2) 121314Cf(n)中共有 n2n 项，当 n2 时，f(2) 1213Df(n)中共有 n2n1 项，当 n2 时，f(2) 121314答案 D解析 从 n 到 n2共有 n2n1 个数，所以 f(n)中共有 n2n1 项.题型一 用数学归纳法证明等式例 1 已知 nN*，证明：1 .12131412n112n1n11n212n思维启迪：等式的左边有 2n 项，右
5、边有 n 项，左边的分母是从 1 到 2n 的连续正整数，末项与 n 有关，右边的分母是从 n1 到 nn 的连续正整数，首、末项都与 n 有关证明 当 n1 时，左边1 ，1212右边 ，等式成立；12假设当 nk(kN*)时等式成立，即1 12131412k112k，1k11k212k那么当 nk1 时，左边1 12131412k112k12k1112k1(1k11k212k)12k112k11k21k312k12k11k112k1 右边，1k111k121k1k1k1k1所以当 nk1 时等式也成立综合知对一切 nN*，等式都成立探究提高 用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值 n0的
6、取值并验证 nn0时命题的真假(必不可少) “假设 nk (kN*，且 kn0)时命题正确”并写出命题形式分析“nk1 时”命题是什么，并找出与“nk”时命题形式的差别弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉用数学归纳法证明：对任意的 nN*，.11 313 512n12n1n2n1证明 (1)当 n1 时，左边 ，11 313右边 ，左边右边，所以等式成立12 1113(2)假设当 nk(kN*)时等式成立，即，11 313 512k12k1k2k1则当 n
7、k1 时，11 313 512k12k112k12k3k2k112k12k3k2k312k12k3，2k23k12k12k3k12k3k12k11所以当 nk1 时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切 nN*等式都成立题型二 用数学归纳法证明不等式例 2 用数学归纳法证明：1 1 n (nN*)n2121312n12思维启迪：利用假设后，要注意不等式的放大和缩小证明 (1)当 n1 时，左边1 ，右边 1，1212 1 ，即命题成立321232(2)假设当 nk (kN*)时命题成立，即1 1 k，k2121312k12则当 nk1 时，1 121312k12k112k212k2k1 2k1
8、.k212k2kk12又 1 121312k12k112k212k2k均成立(112n1)2n12证明 (1)当 n2 时，左边1 ；右边.134352左边右边，不等式成立(2)假设当 nk(k2，且 kN*)时不等式成立，即.(113)(115)(112k1)2k12则当 nk1 时，(113)(115)(112k1)112k112k122k22k12k22 2k14k28k42 2k14k28k32 2k1.2k3 2k12 2k12k112当 nk1 时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立题型三 用数学归纳法证明整除性问题例 3 用数学归纳法证明
9、42n13n2能被 13 整除，其中 n 为正整数思维启迪：当 nk1 时，把 42(k1)13k3配凑成 42k13k2的形式是解题的关键证明 (1)当 n1 时，421131291 能被 13 整除(2)假设当 nk(kN)时，42k13k2能被 13 整除，则当 nk1 时，方法一 42(k1)13k342k1423k2342k1342k1342k1133(42k13k2)，42k113 能被 13 整除，42k13k2能被 13 整除42(k1)13k3能被 13 整除方法二 因为42(k1)13k33(42k13k2)(42k1423k23)3(42k13k2)42k113，42k1
10、13 能被 13 整除，42(k1)13k33(42k13k2)能被 13 整除，因而 42(k1)13k3能被 13 整除，当 nk1 时命题也成立，由(1)(2)知，当 nN时，42n13n2能被 13 整除探究提高 用数学归纳法证明整除问题，P(k)P(k1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将 P(k1)进行分拆、配凑成 P(k)的形式，也可运用结论：“P(k)能被 p 整除且 P(k1)P(k)能被 p 整除P(k1)能被 p 整除 ”已知 n 为正整数，aZ，用数学归纳法证明：an1(a1)2n1能被a2a1 整除证明 (1)当 n1 时，an1(a1)2n1a2a1，能
11、被 a2a1 整除(2)假设 nk(kN)时，ak1(a1)2k1能被 a2a1 整除，那么当 nk1 时，ak2(a1)2k1(a1)2ak1(a1)2k1ak2ak1(a1)2(a1)2ak1(a1)2k1ak1(a2a1)能被 a2a1 整除即当 nk1 时命题也成立根据(1)(2)可知，对于任意 nN，an1(a1)2n1能被 a2a1 整除归纳、猜想、证明典例：(12 分)在各项为正的数列an中，数列的前 n 项和 Sn满足 Sn.12(an1an)(1)求 a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列an的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想审题视角 (1)数列an的各项均为正数，且
12、 Sn，所以可根据解方程求出12(an1an)a1，a2，a3；(2)观察 a1，a2，a3猜想出an的通项公式 an，然后再证明规范解答解 (1)S1a1得 a 1.12(a11a1)2 1an0，a11，1 分由 S2a1a2，12(a21a2)得 a 2a210，a21.2 分2 22又由 S3a1a2a312(a31a3)得 a 2a310，a3.3 分2 3232(2)猜想 an (nN*)5 分nn1证明：当 n1 时，a11，猜想成立6 分10假设当 nk (kN*)时猜想成立，即 ak，kk1则当 nk1 时，ak1Sk1Sk，12(ak11ak1)12(ak1ak)即 ak1
13、12(ak11ak1)12(k k11k k1)，12(ak11ak1)ka2ak110，ak1.2k1kk1k即 nk1 时猜想成立11 分由知，an (nN*)12 分nn1温馨提醒 (1)本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力(2)本题易错原因是，第(1)问求 a1，a2，a3的值时，易计算错误或归纳不出 an的一般表达式第(2)问想不到再次利用解方程的方法求解，找不到解决问题的突破口.方法与技巧1在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可在较复杂的式子中，注意由 nk 到nk1 时，式子中项数的变化，应仔细分析，观察通项同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法2对于证明等式问题，在证 nk1 等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减 少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法3归纳猜想证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明由于“猜想”是
