空间向量的乘法运算

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1、3.1.2 空间向量的乘法运算空间向量的乘法运算一、选择题1设 M 是ABC 的重心，记 a，b，c，abc0，则为( )BCCAABAMA. B.bc2cb2C. D.bc3cb3答案 D解析 M 为ABC 重心，则 () (cb)AM2312(o(AB,sup6()o(AC,sup6()13ABAC132如图所示，已知 A，B，C 三点不共线，P 为一定点，O 为平面 ABC 外任一点，则下列能表示向量的为( )OPA.22 OAABACB.32OAABACC.32 OAABACD.23OAABAC答案 C解析 根据 A，B，C，P 四点共面的条件即可求得xy.即xyAPABACOPOAA

2、B，AC由图知 x3，y23当|a|b|0，且 a、b 不共线时，ab 与 ab 的关系是( )A共面 B不共面C共线 D无法确定答案 A解析 本题考查空间两向量的关系由空间任何两个向量一定为共面向量可知选 A.4i j，则存在两个非零常数 m，n，使 kminj 是 i，j，k 共面的( )A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D非充分非必要条件答案 A解析 本题考查空间三个向量共面的条件若 i 不平行 j，则 k 与 i，j 共面存在惟一的一对实数 x，y 使 kxiyj.故选 A.5对空间任一点 O 和不共线三点 A、B、C，能得到 P、A、B、C 四点共面的是( )A.OPOA

3、OBOCB.OP13OA13OB13OCC.OPOA12OB12OCD以上皆错答案 B解析 解法一： 1，选 B.131313解法二：，OP13OA13OB13OC3，OPOAOBOC()()，OPOAOBOPOCOP，APPBPC，P、A、B、C 共面PAPBPC6已知正方体 ABCDABCD ，点 E 是 AC的中点，点 F 是 AE 的三等分点，且 AF EF，则等于( )12AFA.AA12AB12ADB.12AA12AB12ADC.12AA16AB16ADD.13AA16AB16AD答案 D解析 由条件 AF EF 知，EF2AF，12AEAFEF3AF， () ()AF13AE13

4、AAAE13AA12AC AA ().1316ADAB13AA16AD16AB7如图所示，空间四边形 OABC 中，a，b，c, 点 M 在 OA 上，且OAOBOC2，N 为 BC 中点，则等于( )OMMAMNA. a b c122312B a b c231212C. a b c121223D. a b c232312答案 B解析 ()MNONOM12OBOC23OA (bc) a a b c.应选 B.12232312128以下命题：若 a，b 共线，则 a 与 b 所在直线平行；若 a，b 所在直线是异面直线，则 a 与 b 一定不共面；若 a，b，c 三向量两两共面，则 a，b，c

5、三向量一定也共面；若 a，b，c 三向量共面，则由 a，b 所在直线确定的平面与由 b，c 所在直线确定的平面一定平行或重合其中正确命题的个数为( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个答案 A解析 a，b 共线是指 a，b 的方向相同或相反，因此 a，b 所在直线可能重合，故错；由于向量是可以自由平移的，所以空间任意两个向量一定共面，故错；从正方体一顶点引出的三条棱作为三个向量，虽然是两两共面，但这三个向量不共面，故错；在平行六面体ABCDA1B1C1D1中， ，三向量共面，然而平面 ABCD 与平面 ABB1A1相交，故错，ABA1B1DC故选 A.9在三棱锥 SABC 中，G 为ABC

6、 的重心，则有( )A. ()SG12SASBSCB. ()SG13SASBSCC. ()SG14SASBSCD.SGSASBSC答案 B解析 ()SGSAAGSA13ABACSA() () ()13SBSA13SCSA13SASBSC10有下列命题：当 R，且 a1a2an0 时，a1a2an0；当 1，2，nR，且 12n0 时，1a2ana0；当 1，2，nR，且 12n0 时，a1，a2，an是 n 个向量，且a1a2，an0，则 1a12a2nan0.其中真命题有( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个答案 C解析 由于 a1a2an(a1a2an)00，故命题为真命题由于 1a

7、2ana(12n)a0a0，故命题也为真命题命题为假命题，例如当 n2 时，取 11，21，a1a(a0)，a2a，则1a12a2a(1)(a)2a0，但此时有 120，a1a20，命题不成立二、填空题11已知 i，j，k 是三个不共面向量，已知向量 a ijk，b5i2jk，则124a3b_.答案 13i2j7k12如图所示，已知矩形 ABCD，P 为平面 ABCD 外一点，且 PA平面ABCD，M、N 分别为 PC、PD 上的点，且 PMMC21，N 为 PD 中点，则满足xMNyz的实数 x_，y_，z_.ABADAP答案 231616解析 在 PD 上取一点 F，使 PFFD21，连结

8、 MF，则MNMFFNFNDNDF12DP13DP ()16DP16APADMF23CD23BA23ABMN23AB16AD16APx y z23161613如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 A1A，B1B 的中点，O 为 BD1的中点设a，b，c，用 a，b，c 表示下列向量：ABAA1AD(1)_；D1N(2)_.OM答案 a bc a c121212解析 (1)a bcD1N12(2) a cOM121214在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，若x2y3z，则AC1ABBCC1Cxyz_.答案 76解析 在进行空间向量的线性表示时，一定要与所求一致，才不至

9、于犯错如图所示，有(1).AC1ABBCCC1ABBCC1C又x2y3z，AC1ABBCC1Cx2y3z(1)，ABBCC1CABBCC1C有Error!解得Error!xyz1 .121376三、解答题15如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 DD1的中点，N 在 AC 上，且ANNC21，求证：与、共面A1NA1BA1M解析 ， ()A1BABAA1A1MA1D1D1MAD12AA1AN23AC23ABAD ()A1NANAA123ABADAA1 () ()23ABAA123AD12AA1.23A1B23A1M与，共面A1NA1BA1M16如图，已知平行六面体 ABCDABCD

10、，点 E 在 AC上，且AEEC12，点 F，G 分别是 BD和 BD的中点，求下列各式中的 x，y，z 的值(1)xyz；AEAAABAD(2)xyz；BFBBBABC(3)xyz.GFBBBABC解析 (1)AEEC12，AE13AC () ()13ABBCCC13ABADAA，13AA13AB13ADx ，y ，z .131313(2)F 为 BD的中点， () ()BF12BBBD12BBBAAAAD (2)，12BBBABCBB12BA12BCx1，y ，z .1212(3)G、F 分别为 BD、BD的中点，x ，y0，z0.GF12BB1217已知 i、j、k 是不共面向量，ai2jk，bi3j2k，c3i7j，证明这三个向量共面解析 设 abc，则 i2jk(3)i(37)j2k，i，j，k 不共面，Error!，Error!，故存在实数 ， ，使 abc，1212故 a，b，c 共面18已知三个向量 a，b，c 不共面，并且pabc，q2a3b5c，r7a18b22c，向量 p，q，r 是否共面？解析 假设存在实数 ，使 pqr，则 abc(27)a(318)b(522)c，a，b，c 不共面，Error!，Error!，即存在实数 ， ，5313使 pqr，故 p、q、r 共面