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1、北京四中网校 1 地址：北京市西城区新德街 20 号四层 邮编：100088 电话：82025511 传真：82079687第二章 概 率 21 离散型随机变量及其分布列 课标考纲解读1了解离散型随机变量的概念2理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念3掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单问题状元学习方案1求随机变量的分布列，首先要明确随机变量，确定随机变量的取值，然后计算随机变量每个取值的概率， 最后列出分布列2随机变量的每个取值的概率和为 1，这个结论既可以用于求概率，也可以用来检验概率是否求对要点核心解读1随机变量（1）一般地，如果随机试验的结果，可以
2、用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量通常用大写 拉丁字母 X，Y，Z（或小写希腊字母 ，）等表示，而用小写拉丁字母 x，y，z（加上适当下标）等表 示随机变量取的可能值（2）引入随机变量后，随机试验中的各种事件就可以通过随机变量的取值表示出来了（3）说明：课本在介绍随机变量的概念时，不加定义地引入了“随机试验”的概念，一般地，一个试验如果满足下 列条件：a试验可以在相同的情形下重复进行b，试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个c每 次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果这种试验 就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验所谓随机变量
3、，就是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数的自变量是实数，而在随( )f x机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果（4）知识拓展：一般情况下，我们所说的随机变量有以下两种：如果随机变量所有可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量如果随机变量可 以取其一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量离散型随机变量和连续型随机变量的区别：离散型随机变量和连续型随机变量都用来刻画随机试验出现的结果，但在二者之间又有着根本的区别：对 于离散型随机变量来说，它所可能取的值为
4、有限个或至多可列个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列 出，而连续性随机变量可取某一区间内的一切值，我们无法将其中的值一一列举例如，抛掷一枚骰子，可能 出现的点数孝是一个离散型随机变量；某人早晨在出租车站等出租车的时间竹（单位：秒）就不是一个离散型 随机变量2随机变量概率分布的性质（1）对于随机变量的研究，我们不仅要知道随机变量取哪些值，随机变量所取的值表示的随机试验的结果， 而且需要进一步了解随机变量取这些值的概率对于离散型随机变量，它的分布列指出了随机变量 取这些值的概率，掌握离散型随机变量的分布列，我 们就对离散型随机变量取哪些值及取这些值的概率情况有了本质的认识，即掌握了离散型随机
5、变量取值的统计 规律（2）我们知道，随机事件 A 的概率满足 0P（A）1，必然事件 U 的概率 P（U）=1，若离散型随机变 量 X 所有可能取的值为 x1，x2，xn北京四中网校 2 地址：北京市西城区新德街 20 号四层 邮编：100088 电话：82025511 传真：82079687X 取每一个值 xi（i=1，2，n）的概率为 P（X=xi）=pi，则可列表如下：Xx1x2x3xnPp1p2p3pn上表有以下两条性质：0pi1，i=1，2，3，n；p1+p2+p3+pn=1满足上述两条性质的分布列一定是错误的，即分布列满足上述两条性质是该分布列正确的必要不充分条 件（3）由离散型
6、随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的，因此， 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和例如：已知随机变量 的分布表为123456P0.250.20.30.10.050.1则 P（25）=P（=3）+P（=4）+P（=5）=0.3+0.1+0.05=0.453求随机变量概率分布的步骤及综合运用（1）求随机变量的概率分布有以下几步：明确随机变量的取值范围，即找出随机变量 X 的所有可能的 取值 xi（i=1，2，） ；求出随机变量取每一个值的概率 P（X=xi）=pi；列成表格（2）随机变量的概率分布的求解要注意以下几点：搞清楚随机
7、变量每个取值对应的基本随机事件；计 算必须准确无误；注意运用概率分布的两条性质检验所求的概率分布是否正确（3）随机变量的概率分布是以后学习随机变量的数学期望、方差的基础，而求概率分布需要综合运用排列 组合和概率的相关知识，是高考考查的重点内容之一，题目类型可以是小题，也可以是大题，以中档题为主（4）随机变量的概率分布和排列组合：要求随机变量 X 的概率分布，就要求出概率 P（X=xi） （i=1，2，） ，而 P（X=xi）=P（Ai） ，要求基本事件 Ai发生的概率就要运用等可能事件的概率、排列组合、 分类计数原理、分步计数原理等知识和方法，因此求随机变量的概率分布的问题往往需要综合运用排列
8、组合、 概率等知识和方法例：袋中有 1 个白球和 4 个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止， 求取球次数 X 的概率分布表解：X 的可能取值为 1，2，3，4，5，则第 1 次取到白球的概率为 P（，第 2 次取到白球的1(1)5P X 概率为，第 3 次取到白球的概率为，第 4 次取到白球的概率为411(2)545P X 4311(3)5435P X ，第 5 次取到白球的概率为，所以 X 的概率分43211(4)54325P X 432111(5)543215P X 布表是X12345P1 51 51 51 51 5本题在求概率时要注意题中的条件，每次从中任
9、取一球，而且取出的黑球不再放回4对“两点分布”的理解如果随机变量 X 的分布列是两点分布列，即01P1pp则称随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布（1）两点分布又称 01 分布由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以这种分布还称为伯 努利分布并称 p=P（X=1）为成功概率（2）两点分布的应用非常广泛，如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；北京四中网校 3 地址：北京市西城区新德街 20 号四层 邮编：100088 电话：82025511 传真：82079687投篮是否命中等等，都可以用两点分布来研究典例分类剖析 考点 1 离散型随机变量的概念 命题规律
10、离散型随机变量的取值及其实际意义例 1 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果（1）袋中有大小相同的红球 10 个，白球 5 个，从袋中每次任取 1 个球，每次取到的红球不放回，直到取 出的球是白球为止所需要的取球次数；（2）从标有 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片中任取 2 张，所取卡片上的数字之和解析 要根据随机变量的定义考虑所有情况解 （1）设所需的取球次数为 x，则 x=1，2，3，4，10，11，X=i 表示前（i1）次取到红球，第 i 次取到白球，这里 i=1，2，11（2）设所取卡片的数字之和为 ，则 可取 3，4，11，其中：=3表示取
11、出标有 1，2 的两张卡片；=4表示取出标有 1，3 的两张卡片；=5表示取出标有 1，4 或 2，3 的两张卡片；=6表示取出标有 1，5 或 2，4 的两张卡片；=7表示取出标有 1，6 或 2，5 或 3，4 的两张卡片：=8表示取出标有 2，6 或 3，5 的两张卡片；=9表示取出标有 3，6 或 4，5 的两张卡片；=10表示取出标有 4，6 的两张卡片；=11表示取出标有 5，6 的两张卡片点拨 随机变量并不一定要取整数值，它的取值一般来源于实际问题，且有特定的含义，因此，可以是 R 中的任意值但这并不意味着可以取任何值，它只能取分布列中的值。且随机变量取某值时，其所表示的某 一试
12、验发生的概率必须符合 p1+p2+p3+pn=1 误区指津 应具体理解 的实际意义，并将取值按从小到大的顺序排列，以防出现遗漏与重复 母题迁移1投掷均匀硬币一次，随机变量为（ ） A出现正面的次数 B出现正面或反面的次数C掷硬币的次数 D出现正、反面次数之和考点 2 离散型随机变量的分布列 命题规律依据分布列，考查离散型随机变量的分布列例 2袋中有 3 个白球，3 个红球和 5 个黑球从中抽取 3 个球，若取得 1 个白球得 1 分，取得 1 个红球扣 1 分，取得 1 个黑球得 0 分求所得分数 X 的概率分布解析 本题中的 X 指的是分数解 得分 X 的取值为3，2，1，0，1，2，3X=
13、3 时表示取得 3 个红球，3 3 3 111(3)165CP XC X=2 时表示取得 2 个红球和 1 个黑球，21 35 3 1115(2)165C CP XC 北京四中网校 4 地址：北京市西城区新德街 20 号四层 邮编：100088 电话：82025511 传真：82079687X=1 时表示取得 2 个红球和 1 个白球，或 1 个红球和 2 个黑球，2112 3335 3 1139(1)165C CC CP XC X=0 时表示取得 3 个黑球或 1 个红球、1 个黑球和 1 个白球，3111 5335 3 1155(0)165CC C CP XCX=1 时表示取得 1 个白
14、球和 2 个黑球，或 2 个白球和 1 个红球，1221 3533 3 1139(1)165C CC CP XCX=2 时表示取得 2 个白球和 1 个黑球，21 35 3 1115(2)165C CP XCX=3 时表示取得 3 个白球，3 3 3 111(3)165CP XC所得分数 X 的概率分布为X3210123P1 16515 16539 16555 16539 16515 1651 165点拨 确定随机变量的可能取值和每一个可能取值的概率是求概率分布列的关键例 3 从一批有 10 个合格品与 3 个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性 相同，在下列两种情况下，分别求出取到合格品为止所需抽取次数 的分布列（1）每次取出的产品都不放回该批产品中；（2）每次取出的产品都立即放回该批产品中，然后再取另一件产品 解 （1） 的取值分别为 1，2，3，4，10(1)13P，3105(2)13 1226P，32105(3)13 1211143
