解题活动 视图认识封闭的突破

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1、解题活动：三视图认识封闭的突破解题活动：三视图认识封闭的突破陕西师范大学数学系 （710062） 罗增儒 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图，这是新课程增添的一项内 容，由于初中就已经接触过三视图等原因，不少人认为无非是“长对正、高平齐、宽相等” （很简单） ，有的省份还明确规定高考不考其实，三视图以及由三视图还原实物（并进行 相关几何量的计算）等内容涉及识图、画图、空间想象能力，逻辑推理能力和运算求解能 力，并有十分丰富的开放性，我们说，丰富得不仅使学生存在认识封闭，也使高考命题专 家出现失误（参见例 3-2） 为了呈现三视图课题的开放性，纠正封闭认识，笔者曾组织过关于三视图

2、的解题活动， 经过在中学演示，学生普遍感到很有收获（成稿时作了一些补充） 整个活动以正方体为载体，由四组题目组成，为了避免相关方向1111DCBAABCD 的线被重合（比如与重合） ，图形作了一些技术性的调整，希望不会引起歧义1ABAD第一组活动第一组活动（共有 4 小步） 例例 1-1 如图 1，给出正方体请画出正方体的三视图1111DCBAABCD 讲解讲解 学生大笑，不就是三个正方形吗，太容易了笔者请大家保留三个正方形，后 面继续使用例例 1-2 若在正方体中截去一个三棱锥，得到如图 21111DCBAABCD 111AAB D的几何体，请画出它的三视图 图 1 图 2 讲解讲解 学生在

3、上述保留图上画，虽然正方体缺了一个角，但三面正投影还是正方形， 这与例 1-1 相同，不同的是多了三条面对角线，结果为三个正方形各加一条对角线，如图 3主视图 左视图俯视图 图 3例例 1-3 若在图 2 的基础上再截去一个三棱锥得到如图 4（右）的几何体，1BDCC 请画出它的三视图图 4 讲解讲解 学生又笑了，他们惊奇发现图 2、图 4（右）的三视图均为图 3，因为图 4 的正视图中与 重合，侧视图中与 重合，俯视图中与 重合1AB1DC1AD1BC11B DBD结论结论 1 不同的几何体可以有相同的三视图 就是说，一个几何体的位置确定之后，它的三视图是唯一的，但反过来，相同的三视 图可以

4、对应不同的几何体在这一认识上出现封闭就会导致编题失误，请看 例例 1-4 （2010 年宝鸡第二次质检题）如图 3，是某几何体的三视图，其中三个视图的 轮廓都是边长为 1 的正方形，则该几何体的体积为 （参见文【1】P66） 讲解讲解 文【1】的配套答案（P533）给出的几何体正是图 2，体积为但同学们由上面的讨论知这是错误的，如图 4 所示，几何体并不惟一，11511326 还可以体积为同学们又笑了，原来书也有错的2 3第二组活动第二组活动（共有 3 小步） 例例 2-1 若在图 2 的基础上再截去两个三棱锥，得到如图 5（右）CABB1111CDBC 的几何体，请画出它的三视图 图 5例例

5、 2-2 再从图 5（右）的几何体中再截去三棱锥得到如图 6（右）的正四1ACDD 面体，请画出它的三视图11DACB图 6 讲解讲解 图 5（右） 、图 6（右）的三视图均为图 7，因为图 5（右）中三棱锥的三视图完全被图 6（右）中的三视图重合了： 1ACDD 正视图中，图 6（右）中的重合了图 5（右）中的，图 6（右）中的重1D A1D DAC合了图 5（右）的 ；DC左视图中，图 6（右）中的重合了图 5（右）中的，图 6（右）中的重1DC1DDAC合了图 5（右）中的；AD俯视图中，图 6（右）中的重合了图 5（右）中的，图 6（右）中的重1D AAD1DC合了图 5（右）中的DC

6、图 7 结论结论 2 同一个几何体摆法不同可以有不同的三视图 这组练习一面强化了结论 1（不同的几何体可以有相同的三视图） ，另方面，又通过图 6（右）告诉大家，正四面体三视图的轮廓可以是三角形，也可以是正方形 与第一组最后做一道“错题” （例 1-4）相反相成，这一次做一道最新的高考“对题”：例例 2-3 （2012 年高考数学陕西卷文科第 8 题）将正方体（如图 8 所示）截去两个三棱 锥，得到图 9 所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ） 图 8 图 9（A） （B） （C） （D）图 10 解解 这个几何体比图 5、图 6 还简单，但与图 5、图 6 有相同的左视图，其轮廓为正方形

7、，而的投影是一条从左上角到右下角的实对角线，的投影是一条从右上角到左1AD1B D下角的虚对角线，故答案为（B） 第三组活动（第三组活动（共有 3 小步） 进入第三组活动，综合性加强，对、错题并举，并学会如何纠正错题例例 3-1 若把正方体木块截去四个三棱锥，1111DCBAABCD 111AAB D，可以得到一个正四面体木块（如图CABB1111CDBC 1ACDD 111BAC D11（右） ，保持其在正方体中的位置不动） ；而正方体平移取出这个正四面体后，可得到一 个“中空正方体”木块，如图 11（左） 对这两个木块几何体给出四个判断： （1）两个几何体有相同的三视图，并且体积相等； （

8、2）两个几何体有相同的三视图，但体积不相等； （3）两个几何体有不同的三视图，但体积相等； （4）两个几何体有不同的三视图，并且体积不相等 其中为真命题的序号是 图 11 解解 易知，两个几何体有相同的三视图，均为图 7下面，求体积设正方体的边长为，四个三棱锥，a111AAB DCABB1111CDBC 的体积均为，则“中空正方体”的体积为，正四面体1ACDD 36a332463aa的体积为所以为真命题的序号是（2）号111BAC D33 32 33aaa 例例 3-2 （1） （2010 年高考数学福建卷文科第 3 题）若一个底面是正三角形的三棱柱 的正视图如图 12 所示，则其侧面积等于（

9、 ） （参见文【1】 P50）（ A） （B） 32（C） （D） 2 36（2） （2010 年福建卷理科第 12 题）若一个底面是正三角 图 12 形的三棱柱的正视图如图 12 所示，则其表面积等于 （文【1】P51） 解解 文【1】 （P527）配套答案说：由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为 2 的正 三角形，侧棱为 1 的直三棱柱，则（1）此三棱柱的侧面积为，选（D） 2 1 36 （2）此三棱柱的侧面积为，上、下底面积都为，所以此三2 1 36 23234棱柱的表面积 62 3反思反思 这两道高考题的求解对不对呢？部分同学已经看出： （1）主视图为矩形的三棱柱不唯一，其左视图可以使

10、是一般平形四边形、不是矩形 （2）底面是正三角形的三棱柱其俯视图可以不是正三角形 就是说，题目给出的三棱柱可以是斜三棱柱（有无穷多个） ，其侧面积和表面积不是常 数 询问同学们都搞清楚之后，我请大家提出修改意见，比较成功的意见是：保留条件改 为求体积或求侧（表）面积的取值范围 例例 3-3 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图 12 所示，则其体积等于（ ）（ A） （B） （C） （D） 322 36解解 由正视图可知，此三棱柱是一个底面边长为 2 的正三角形，高为 1，则此三棱柱的体积为，选（A） 232134V 例例 3-4 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图 12 所示，则其

11、侧面积的取值范 围为 解解 由正视图可知，此三棱柱有两侧面为平行四边形，其底为 2、高为 1，面积为2+2=4；第三个侧面为矩形，其底为 2、高为（为矩形面与底面的夹角，1 sin） ，面积为得侧面积为，其取值范围为090o2 sin24sinS6,)表面积的取值范围为242 3sin第四组活动第四组活动（共有 2 道开放题） 下面是两道开放题，答案不惟一，留给大家作探究性练习 例例 4-1 找出三视图（外框都是正方形）为图 13 的几何体图 13 说明说明 文【2】给出了其中的 3 个： (1)正方体去掉两个四棱锥和的剩余部分1111ABCDABC D1111OABC DOABCD(图 13

12、(1);(2)正方体去掉两个四棱锥和三棱锥的剩余1111ABCDABC D1111OABC DOABD部分 (图 13(2);(3)正方体去掉两个四棱锥和两个三棱锥1111ABCDABC D1111OABC D的剩余部分（图 13(3)11,OB BC OC CD图 14一个中学生在文【3】中给出了 182 个，你能找出多少？ 例例 4-2 若一个由相同的小正方体组成的几何体的三视图都是的正方形（如图3 3 14） ，那么组成这个几何体需要几个小正方体？（三视图源于人民教育出版社（A 版 2005）必修 2P24 习题 1-2B 组第 3 小题） 图 14 说明说明 文【4】给出的答案是最多有 27 个，最少有 15 个；并且小正方体的个数一样多 时，其形状还可以不一样你能找出多少？参考文献参考文献【1】杜志建主编2012 新编高考题库（数学理科）M延吉：延边教育出版社， 2011，7【2】甘大旺三视图所表示的几何体是唯一存在的吗J数学通报，2007，11 【3】危 伟（指导老师:胡寅年） 一个三视图问题的再探究J数学通报，2009，5 【4】周士藩也谈“小立方体的个数知多少”J中学生数学，2010，1（下）中学数学杂志（高中版） 2012，6，29 基本信息 罗增儒 ，陕西师范大学数学系 ，邮编 710062 电子信箱：手机：13609297766