算子和算子方程

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1、2.2 算子和算子方程算子和算子方程2.2.1 线性算子线性算子1. 定义：定义：设和都是线性函数集，且，若元素经算子映射得唯ADADHDAADA一的确定的元素，其映射关系为ADA并满足线性运算律(、为任意常数)2121)(AAA则称为线性算子线性算子。其中：是的定义域，是的值域。AADAADA若对于任意的，都有ADi i AA lim成立，则称为线性连续算子线性连续算子。A若对于任意的，都有AD(C 为有限常数)CA成立，则称为线性有界算子线性有界算子。A可以证明：线性连续算子等价于线性有界算子。2. 运算性质运算性质设 A、B 为线性算子，、分别为其定义域ADBD(1) 算子的和若BADD

2、 )()(ABBABA(2) 算子的积若，BDADB)A(B)B(A)B(A(3) 算子的逆若，则)(AB，1 AB1 BA称与 B 互为逆算子逆算子。A)(1AA3. 线性算子方程：线性算子方程：可分为两种类型：(1) 设 A 是已知线性算子，若其值域中的已知点由定义域中相应未知点AD映射而得，即ADA则称之为确定性算子方程确定性算子方程。由算子方程的运算性质：111)()(AAAAA确定性算子方程的求解任务：算子求逆运算。若存在，则解答是唯一的，连续，1A1A则解答是稳定的。(2) 设 A 为已知线性算子，其值域等于定义域，且( 为待定常数)在AADD 值域中也是未知点，则A称为本征值算子

3、方程本征值算子方程。本征值算子方程的求解任务：确定所取的待定的值；nLL,2, 1nn求出所对应的解。nLL,2, 1nn2.2.2 对称算子和正定算子对称算子和正定算子1. 对称算子对称算子定义 1：设，则)()(),()(22ELDxVELDxUAA)(*)(,xEdxVUVUAA称为含算子的内积算子的内积，也即是交集上的线性泛函。定义 2：若函数集中的任何两个元素 U 和 V 所构成含算子的内积都满)(2ELD 足VUVUAA,则称 A 为 D 上的对称算子对称算子。定义 3：若凡都有DU 实实UU,A则 A 亦称为 D 上的对称算子对称算子。2. 正定算子正定算子(1) 定义：若凡都有

4、)(2ELDU(a 为实数)2,UaUU A称 A 为 D 上的下有界算子。当 a=0 时，称 A 为 D 上的非负算子。(2) 定义：若凡都有)(2ELDU0UU,A则称 A 为 D 上的正算子正算子。(3) 定义：若凡都有)(2ELDU(k 为正数)2,UkUU A则称 A 为 D 上的正定算子正定算子。由以上定义可知：正定算子 正算子 非负算子 下有界算子 对称算子 线性算子。2.2.3 自伴算子自伴算子1. 伴随算子伴随算子定义：设 A 是 H 空间的线性连续算子，若存在 B，使对于任何都有：HVU、VUVUBA,则称 B 为 A 的伴随算子，记为=。AB2. 自伴算子自伴算子基于上面

5、的定义，当 B = A 时， VUVUAA,则称为自伴算子，即。AAA 由上可知，自伴算子就是定义在 H 空间的对称算子。可以严格证明：凡自伴算子都能求逆，其逆算子亦为自伴算子。3. Lagrange 意义下的自伴算子意义下的自伴算子通常求解电磁场问题，所要求解的场函数既要满足算子方程，又要满足边界条件。这就是说：要求算子的自伴性，只要在符合边界条件的函数集上是线性连续对HDb称算子，就能保证方程存在唯一、稳定的解，这种线性连续自伴算子就是 Lagrange 意义下的自伴算子。限定算子自伴性的边界条件自伴边界条件 自伴边值问题。4. 自伴边值问题自伴边值问题(1) Poisson 边值问题 VSrrUnrUVrrfrUbb02)()()()(vvvvv rfrUvvAA2(2)Helmholtz 边值问题标量形式 VSrrUnrUVrrfrUkbb022vvvvv rfrUkvvAA22 rUrUrfkvvvAA022，矢量形式 VSrrunjrunVrrukbbbvvvvvvvvvr002若， A2k)()(ruruvvvvA(3) Fredholm 边值问题第一类 VrrfVrUrrGVvvvvv,d第二类 VVrrUVrUrrGvvvvv,dVrrG VdvvA rUrUrfrUrrvv AA