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1、涪陵试验中学校比赛试题（共 4 页，第 3 页） 涪陵试验中学校比赛试题（共 4 页，第 4 页）1ABA1B1CABA1B1ABA1B1ABA1B1涪陵实验中学高涪陵实验中学高 2009 级单元测试题级单元测试题满分 150 分. 考试时间 120 分钟.命题人：杜容 命题范围：立体几何，排列组合占 70%，不等式，解析几何占 30%注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2、所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。第第 I I 卷（选择题卷（选择题 共共 5050 分）分） 一、一、选择题：选择题：( (本大题共本大题共 1010 小题，每小题
2、小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的) )1已知是两条异面直线，那么 与的位置关系是 （ ） , a b/cacbA 异面 B平行 C平行或相交 D相交或异面2. 设 a,b 是非零实数，若 a1 时，解集为 （10 分） 01x或aaxx（4）当 a0 时，解集为 （13 分） 10aaxxx或20.证明: （I）取 AC 中点 O,连结 SO、OB SAC 为等腰; ABC 为等边SOAC ACOBAC面 SOB ACSB. （3 分）（II）面 SAC面 ABC ，SOAC
3、 SO面 ABC 取 OB 中点 E. 则 NE/SO NE面 ABC 过 E 作 EHCM 于 H 连结 NH 由三垂线定理知 NHCM NHE 即为所求二面角的平面角.在SAC 中求得. NE=.222 2SOSCOC2设 G 为 CM 与 OB 交点则 G 为重心.GB= 2 3OB211 326GEGBEBOBOBOB 又EHCM CMBM1 16 24 3OBGE GBOB EH/BM EH=1 4EHGE MBGB1 2 （9 分）2tan2 21 2NENHEHE（III）设 BCMNhd面B CMNN CMBVVA1BCDMAB1C1D1OHEQP SNCB MA涪陵试验中学校
4、比赛试题（共 4 页，第 3 页） 涪陵试验中学校比赛试题（共 4 页，第 4 页）411 33CMNCMBShSNE221114 2222222243CM NH hMB CM NENEEHhhh所以点 B 到平面 CMN 的距离为。 （13 分）4 2 321. 解：（I）连结 BD，取 BD 的中点 O，E 为 PB 的中点 EO/PD 则AEO（或Q 其补角）为异面直线PD 与 AE 所成的角，PD平面 ABCD EO平面 ABCD2, 121AOPDEOQtanAEO= 异面直线PD 与 AE 所成的角为 arctan （4 分）2OEAO2（II）连结 FO，F 是 AD 的中点，Q
5、ADEFABCDEOADOF由三垂线定理得面Q又，连结 FB，可求得 FB=PF=BCEFBCAD/Q5则 （8 分）PBCEFBBCPBPBEF面又Q,（III）取 PC 的中点 G，连结 EG，FG，则 EG 是 FG 在面 PBC 内的射影，BCDCBCPDABCDPD又面QBCPCPDCBC面PCFGPCEGBCEG/Q的平面角，是二面角BPCFFGE在 Rt3, 12122DGDFGFBCEGFEG中，cosFGE= （12 分）33arccos33二面角的大小为FGEG22（I）由知，点的轨迹是以为焦点的双曲线右支，1212| 2 |PFPFFFPE12,F F由得，故轨迹的方程为
6、（3 分）2,22ca23b E2 21(1)3yxx（II）当直线 的斜率存在时，设直线方程为l1122(2), ( ,),(,)yk xP x yQ xy与双曲线方程联立消去得：y2222(3)4430kxk xk，解得22122212230 0403 4303kkxxk kxxk 23k 1212()()MP MQxm xmy yuuu r uuu u r2 22222 121223(45)(1)(2)()43mkkx xkm xxmkmk，MPMQ0MP MQuuu r uuu u r故得对任意的恒成立，2223(1)(45)0mkmm23k ，解得，当时，2210450mmm 1m 1m MPMQ当直线 的斜率不存在时，由及知结论也成立l(2,3),(2, 3)PQ( 1,0)M 综上，当时，（8 分）1m MPMQ（III） ，直线是双曲线右准线，1,2ac1 2x 由双曲线定义得222111|,|22PAPFPFQBQFe222 2121 2 21211|1|11112|2|2| ()|2|2kxxkxxPQk AByyk xxkk涪陵试验中学校比赛试题（共 4 页，第 3 页） 涪陵试验中学校比赛试题（共 4 页，第 4 页）5，故23k 21103k13 23注意到直线的斜率不存在时，此时| |PQAB1 2综上，（12 分）13 ,)23
