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1、能量守恒定律导出牛顿第二定律和万有引力定律付昱华 （中海油研究总院，E-mail：） 摘要：根据真理只有一个的原则，在牛顿力学范围内应只有能量守恒定律一个真理。通过 物体自由下落的实例，应用能量守恒定律分别导出原有的牛顿第二定律和原有的万有引力 定律。 关键词：真理的唯一性，牛顿力学，能量守恒定律，牛顿第二定律，万有引力定律Deriving Newtons Second Law and Law of Gravity by Using Law of Conservation of Energy Fu Yuhua (CNOOC Research Institute, E-mail:) Abstra
2、ct: According to the principle of the uniqueness of truth, there should be only one truth, namely law of conservation of energy, in the area of Newton Mechanics. Through the example of free falling body, this paper derives the original Newtons second law and the original law of gravity by using the
3、law of conservation of energy respectively. Key words: Uniqueness of truth, Newton Mechanics, law of conservation of energy, Newtons second law, law of gravity前言 哲学家经常说：真理只有一个。根据这一原则，并且考虑到能量守恒定律是自然科学 中最重要的定律，因此在牛顿力学范围内应只有能量守恒定律一个真理。 能量守恒定律的主要内容为：在封闭系统中，系统的总能量保持不变。 如所周知，牛顿在创立经典力学的时候，提出了四个定律：牛顿三定律和万有引
4、力定 律。如果将能量守恒定律作为唯一真理，那么原则上牛顿提出的四个定律，都可以根据能 量守恒定律导出；经过研究发现情况可能确实如此。本文讨论如何应用能量守恒定律分别 导出原有的牛顿第二定律和原有的万有引力定律。1 根据能量守恒定律导出原有的牛顿第二定律 在本部分中，只能导出牛顿第二定律，但是要用到万有引力定律，所以我们首先给 出含有待定常数的牛顿第二定律和万有引力定律的一般形式。 假设万有引力定律中的有关指数是未知的，只知道公式的形式为：（1）DrGMmF式中: D 为待定常数，在第二部分中我们将导出其值等于 2。 类似地，假设牛顿第二定律中的有关指数也是未知的，只知道公式的形式为：（2）Dm
5、aF 式中: D为待定常数，在本部分中我们将导出其值等于 1。 如图 1 所示，设圆 O代表地球。地球的质量为 M，小球的质量为 m。设 AO为一条铅垂线，y 坐标与 AO平行。AC 的长度为 H， OC 的长度等于地球半径 R。 假设可以不考虑地球的运动而只考虑小球在地球引力场中的自由下落（从点 A 到点 C） 。图 1，小球在地球引力场中自由下落对于本例，我们感兴趣的物理量是小球在任一点 P 时速度的平方，为了便于区别，2 Pv将牛顿第二定律及万有引力定律计算的结果仍然记为，将能量守恒定律计算的结果记2 Pv为。2Pv现在我们先根据能量守恒定律计算有关的物理量。 由万有引力定律(1)式可以
6、得到小球位于任意点 P 时的势能为（3）1 ) 1(D POrDGMmV根据能量守恒定律应有（4）2 1 21 ) 1(PD AOmvrDGMm1 ) 1(D POrDGMm于是有（5）)(111211 2 DD POPHRrDGMv现在我们根据牛顿第二定律及万有引力定律计算有关的物理量。 当小球运动到任一点 P 时，由于（6）adtdv/而 vdydt 于是有 （7）adyvdv 根据万有引力定律（1）式可得沿铅垂方向所受力为（8）D POarGMmF根据牛顿第二定律（2）式可得 P 处沿铅垂方向的加速度 a 为（9）/1/1)()(D D PODa rGM mFa于是由（7）式可得（10）
7、dyyHRGMvdvD D/1)(将上式两端从 A 到 P 进行积分，可得dyyHRGMvDDy D Pp /0/12)()(2)(/11)(20/1/12py DDD PyHRDDGMv)(111) /()(21) /(1) /( /1 2 DDDD PODPHRrDDGMv如果要求，则应有 和 ，由这两个方程式均可2 2PPvv /11D1) /(1DDD以得到：，于是对自由落体问题应用能量守恒定律严格导出了原有的牛顿第二定1D律。maF 此时虽然不能导出原有的万有引力定律（因 D 值可以是任意常数，当然也包括 D=2） ， 但是却证明了对于本例，原有的万有引力定律的结果与能量守恒定律的结
8、果无矛盾，或者 说原有的万有引力定律精确成立。2 根据能量守恒定律导出原有的万有引力定律 为了对自由落体问题真正导出原有的万有引力定律，需要考虑小球从 A 点自由下落一 段极短距离，到达端点 P时的情况（如图 1 所示） 。Z 在导出原有的牛顿第二定律时，我们已经得到)(1 )(112112 DDPHRZHRDGMv式中：POrZHR由于极短，在此区间引力可视为线性变化，所以在此区间引力所做功为ZWZZHRGMmZFWDav)(21式中，为区间的引力平均值，亦即区间中点的引力值。avFZ略去的二次项（）可得Z2 41）（ Z2/22)2(DZHZRRHHRZGMmW当小球下落至区间的端点 P时
9、，其动能为Z)2()()(12112211 2 DDDPZHZRRHHRZHRHR DGMmmv根据能量守恒定律，应有2 21PmvW 将有关量代入上式可以得到)2()()(112211 DDDZHZRRHHRZHRHR DGMm2/22)2(DZHZRRHHRZGMm 由此得到下面的三个等式11D12/ DD11)()(DDZHRHRZ从这三个等式都可以得到2D 于是我们就根据能量守恒定律导出了原有的万有引力定律。3 结论及进一步课题 根据上面的结果可以说，对于自由落体问题，我们没有依赖任何实验结果，仅仅应用 能量守恒定律，就导出了原有的牛顿第二定律和原有的万有引力定律。 在参考文献1, 2
10、中，借助于胡宁教授根据广义相对论导出的一个方程和比耐公式 （Binets formula） ，可以得出了如下改进的牛顿万有引力公式422223 rcmpMG rGMmF （11）式中：为引力常数；和为两物体的质量；为两物体间的距离；为光速；GMmrc 为质量为的物体在质量为的物体的引力场中沿圆锥曲线或近似圆锥曲线运动时pmM 所得到的半正焦弦，而且有：(1-e2)，对于椭圆；(e2-1)，对于双曲线；ap ap = y2/2x，对于抛物线。p 应用这一改进的牛顿万有引力公式求解水星近日点进动问题和光线近日偏折问题， 所得结果与广义相对论完全一致。 对于行星绕日运动问题，太阳与行星之间改进的万有
11、引力公式为：（12）422222)1 (3 rcemaMG rGMmF对于光线近日偏折问题，太阳与光子之间改进的万有引力公式为：（13）42 0 25 . 1rGMmr rGMmF式中：为光线距离太阳最近的距离，如果光线与太阳相切，则等于太阳半径。有趣的是，0r该公式得出的最大值是原有万有引力公式的两倍半。 进一步的课题是如何应用能量守恒定律导出公式（11） ， （12）和（13）等等。参考文献 1 付昱华，改进的牛顿万有引力公式，自然杂志， 2001 年 1 期，58-59 2 Fu Yuhua, Expanding Newton Mechanics with Neutrosophy and Quad-stage Method New Newton Mechanics Taking Law of Conservation of Energy as Unique Source Law, Neutrosophic Sets and Systems, Vol.3, 2014, 3-13
