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1、西华师范大学西华师范大学毕毕 业业 论论 文文论文题目：浅析论文题目：浅析 VandermondeVandermonde 行列式的行列式的相关性质及其应用相关性质及其应用姓姓 名：名： 专专 业：业： 年年 级：级： 类类 别：别： 学历层次：学历层次： 浅析 Vandermonde 行列式的相关性质及其应用摘要：在高等数学的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。Vandermonde 行列式是一类很重要的行列式。本文系统的阐述了 Vandermonde行列式的相关性质及其应用,通过各种方法说明了行列
2、式中的一些计算问题以及如何利用 Vandermonde 行列式计算一般的行列式，用多个例子论述并总结了 Vandermonde行列式在科研和实践生活中如何更好的应用。关键字: 行列式；Vandermonde 行列式；Vandermonde目 录第一章 引言 1 第二章 预备知识2 2.1 定义 2 2.2 行列式的性质 2 2.3 行列式计算中的几种基本方法3 2.3.1 三角形法3 2.3.2 加边法或升级法42.3.3 递推法或数学归纳法5第三章 行列式的一种特殊类型 Vandermonde 行列式63.1 Vandermonde 行列式的证法 63.2 Vandermonde 行列式的性
3、质 73.2.1 推广的性质定理：行列式 773.2.2 一个 Vandermonde 行列式为 0 的充分必要条件93.2.3 Vandermonde 行列式的偏导数983.3 Vandermonde 行列式的翻转与变形 113.4 Vandermonde 行列式的应用 12第四章 小结 17第五章 参考文献 18第六章 谢 辞 19引引 言言在中学数学和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法。但是在数学研究和实际问题的解决过程中，经常会遇到由多个未知量而组成的多个方程组，并且未知量的个数和方程组的个数也未必相等。为了解决这些具体的问题，经过一代代数学家的不懈努力，
4、终于由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别发明了行列式。经过一段时间的发展，法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离。后来又经过许多大数学家的不断发展完善，如柯西、詹姆士西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1894)、雅可比 (J.Jacobi,1804-1851)等人都对行列式的进步起到了巨大的推动作用。美国当代数学家 Bernard Kolman 对行列式又做了进一步的1解析与应用。数学家 Chongying Dong,Fu-an Li 等人在 Vandermonde 行列式方面2
5、的最新研究也被收录到 Recent Developments in Algebra and Related Areas 一书中。3本文通过在行列式基本性质了解的基础上，进一步探讨一种特殊的行列式Vandermonde 行列式的相关性质及其应用。2 2 预备知识预备知识为了深入学习 Vandermonde 行列式的性质及其应用，我们有必要回顾一下行列式的相关知识。2.12.1 定义定义 1 1行列式是由个元素（数）(=1,2,)排成行列并写成 2nijji,nnn(1)的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和： 每项是个元素的乘积，这个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个nn元素组成的，
6、可记为,式中是 1,2,的一个排列。 nnpppaaaL 2121nppp,21Ln每项应带正号或负号，以 1,2,的顺序为标准来比较排列( nnpppaaaL 2121n)的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项排列(231)nppp,21L312312有 2 个逆序，即 2 在 1 之前，3 在 1 之前,所以应带正号；而中312312332112(213)的逆序为 1，因为这时只有 2 在 1 之前，所以应带负号。 2.2 行列式的性质4性质 1 行列式与它的转置行列式相等。性质 2 交换行列式的两行（列） ，行列式改变符号。性质 3 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列
7、式等于 0。性质 4 把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一个数,等于以数乘这个kk行列式。性质 5 一个行列式中一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。性质 6 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是 0，那么这个行列式等于 0。性质 7 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于 0。性质 8 设行列式的第 行元素都可以表示成Di,D11121112212.niiiiininnnnnaaabcbcbcaaa那么等于两个行列式与的和，其中的第 行元素是，的第DD1D2D1i12,.iiinb bbD2行元素是，而与的其他各行都和的一样。同样的性质对于
8、列i12,.iiincccD1D2D来说也成立。性质 9 把行列式的某一行(列)的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。2.3 行列式计算中的几种基本方法2.3.1 三角形法就是利用行列式的性质，将给定的行列式化为上三角形或下三角形行列式，而上（下）三角形行列式的值即为其主对角线上所有元素的乘积。例 1 计算级行列式n. .nxaaaaxaa Daaxaaaax分析 该行列式具有各行（列）元素之和相等的特点.可将第列（行）都加n, 3 , 2L到第一列（行） （或第列（行）加到第列(行)） ，则第 1（或）列（行）121n，Lnn的元素相等，再进一步化简即可化为三角形行列
9、式或次三角行列式.解 1(1).(1).(1).(1) ().(1).n nxnaaaxnaaaxnaxaxaDxnaxaxnaaxxa2.3.2 加边法或升级法例 2 计算级行列式n123. . . . .nnabbb babb Dbbabbbba(,1,2,., )iba in分析 该行列式的各行（列）含有共同的元素可在保持原行列式值不变的bbb,L情况下，增加一行一列（称为升级发或加边法） ，适当选择所增加行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素.解 121. 0 00nnbbb abb DbabbbaL L M MMM L升级121 100 100100nbbb ab aba
10、b L L L MMMM L1121nnbbbbbababab abab LLO12 111()()()nn iibab abababL2.3.3 递推法或数学归纳法例 3 计算级行列式n21000 12100 01200.00021 00012nD L L L MMMMML L分析 对于三对角或次三对角行列式，按其第 1 行（列）或第行（列）展开得到n两项的递推关系，再利用变形递推的技巧求解.解 1 2 11211000 02100 0120012( 1) ( 1)200021 00012nnnnDDDD L L L MMMMM L L按第行展开直接递推不易得到结果（按低级是可以的） ，变形
11、得12112(1)2(1)1.nnnDDDDnnn L3 行列式的一种特殊类型Vandermonde 行列式定义 2 我们把型如=nV 12111 1211.1.nnnn naaaaaa1()ij j i naa 的行列式叫做 Vandermonde 行列式，其中表示这个数码的1()ij j i naa 12,.iiinaaan所有可能（， ）因子共项的乘积（） 。 ijaaji2 nc2n 3.1 Vandermonde 行列式的证法方法一、消元法6证：从第行开始，每一行加上前一行的倍。根据行列式的性质可知行列式n1a的值不变，此时有 =nV)()(.)(0)()(.)(0.011.1112
12、 112 1122 213 113 1123 211112aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaann nnn nnnn nnn nnnn =1)()(.)()()(.)(.12 112 1122 213 113 1123 211112aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaann nnn nnnn nnn nnnn （按行列式首项展开得到）(2)21111().()()nnaaaaaa2313333 231 2222 23111.11 . . . .nnnnnn nn nnnn nnaaaaaaaa aaaa 注意到行列式（2）是阶 Vandermonde 行列式，即已经将用表示出来。1n 1nVnV1nV重复用上述方法对进行求解，经过有限步可以得到：1nV=（） ()()1nV(21aa)111()()nnaaaa32122().()nnaaaaaa1nnaa= 即证。1()ij j i naa 方法二：数学归纳法证：当时,成立。假设对于阶成立，对于阶有：首先要把2n 221Vaa1n n降阶，从第 n 行起后一行减去前一行的倍，然后按第一行进行展开，就有nV1a，于是就有=，其中表示连乘，213111()().()nnnVaaaaaa VnV()ijaa的取值为，原命题得证。, i j2jin 方法一与方法二的实质与算法是一致的，可以说
