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1、1球体间万有引力计算的探究南京市第 12 中学 杨伟高中物理中关于万有引力定律是这样叙述的“自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体 的质量 m1和 m2的乘积成正比，与它们之间距离 r 的二次方成反比。 ”这种表达是很不严密的。因为距离 应该是两个点之间的，当物体可视为质点时没有问题，但当物体不能看成质点时就为难了。对此人教版 普通高中课程标准实验教科书物理必修 2 P70 上有这么一段说明：“两个物体间的距离”到底是指物体 哪两部分间的距离？对于可以看做质点的物体，当然就是这两个点间的距离。如果是地球，月球等球体， 牛顿应用微积分的方法得知，这个距离应该是球心间的距离。 ” （其中
2、加下划线的三个“间”是本人加上 去的） 牛顿是怎样用微积分的方法得知的，我们都不得而知，所有的教参上也都没有提到。我想做一件 被大家忽略的事或许会有点意思。于是就有了下文，我用两种方法来证明“对于质量分布均匀的球体， 在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。 ” 方法一：微积分方法。这种方法比较复杂，为了简化，我用命题 1 和命题 2 做铺垫。命题 1。 质量分布均匀的圆环对在其轴线上的质点的万有引力。设环质量为 m1 ,质点质量为 m2 ,环半径为 r , 环中心到质点的距离为 x ,把环分成许多小段, 任取一小段可视为质点,其质量为 dm ,它对质 点的引力为 dF ,再把其
3、分解为沿轴和垂直于轴 的两个分量 dF1和 dF2 ,由于质量分布均匀,由 对称性可知环上所有 dm对质点引力的 dF2分量的矢量和为零,所以环对质点的引力为:F= , 11 mdF而 dF1=dFcos= .212121 3222222222cosGm dmGm dmGm xdmx rxrxrxrx所以.12 131222FmGm m xFd rx 命题 2: 质量分布均匀的圆面对在其轴线上的一个质点的万有引力.设圆面质量为 M1 ,质点质量为 m2 ,圆面半径为 R, 圆心到质点的距离为 x , 在圆面内任取一半径为 r 宽为 dr的同心圆环,则由命题 1 得此圆环对质点 m2的 引力为2
4、1 22 12 33222222222r r FMGrdm xGM m xrdRd rxRrx 则12 32002222212 3202221 22122 2 012 12 2222121RRRRGM m xrFdFdrRxrGM m xd xrRxrGM m xxrRGM mx RxR 正题: 质量分布均匀的球体对其外的一个质点的万有引力. 设球的质量为 M,质点的质量为 m, 球心到质点的距离 为 L,球半径为 r.为了计算球对质点的引力,可以在球中截取 一半径为 R 厚度为 dx 并且其轴线与球心和质点的连线重合的圆片,设此圆片的中心到质点 m 的距离为 x. 则由命题 2 可得该圆片对
5、质点的引力为:2312 22213 22222213 22213 22213 22224 31312312231223 22L rL rL rL rMGR dx m rxdFRxRGMmxdxrxRRrLxGMmxdFdxrrLLxGMmxFdxrrLLxGMmxdxdrrLLx Q2L rL rL rL rxdxr Q3为了计算所以 32222(2).3rMmrrGLL33G M mF=2r这说明：对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。方法二：类比法，为了数学形式的对称，我引入了万有引力场强度和万有引力通量着两个概念，不知是 否恰当，请专家指点。221
6、1.44QqMmFrrrruu vvv引电库仑定律： 万有引力定律: F1)4G（令1 2222L rL rxdxrLLx 2211 2222112 221 2122 231 22221 221 22222 21 2222211122 3 223 1232rLa Lbxxdxdx abxrLLxabxad abxbabxabxaabxd abxd abxbbabxaabxabxCbbabxbxaCbrLLxrLLxCLxrLLx 令 ，则还原 1 22222 23212322.3L r L rL r L rdxrLLxrLLxLrrL 4电场强度： 。 万有引力场强度：。FEquu vuu u
7、 v电 电FEmuu vu v引引电通量： 万有引力通量： .dEds uu u vv电dEdsu vv引高斯定律： （q 为闭合面内的总电量）qEdsuu u vv电应用高斯定律，计算均匀带电球体在其外任一点 p 的电场强度。 设球半径为 R,带电量为 Q,球心到 p 点的距离为 r.过 p 点作与带电球同心的球面 S,因为电荷分布均匀 由对称性可知 S 面上各点的场强大小相等设为 E，方向沿径向，通过 S 的电通量为：24 sEdsEr uu u vv电由高斯定律得：2 22444QErrrvvv电Q即 E=QE =r 其中r为径向单位矢量。 由于数学表达式完全对称，因此，同理可得，质量分布均匀的球体在其外任一点的万有引力场强度为 ： 。24MErru vv引M 为球的质量, r 为球心到所取点的距离.因为 1 4G所以。2MEGrruu u vv引又因为质点的引入不会影响球体的质量分布，故在所取点上放入一质量为 m 的质点时，球对该质点的 万有引力为：2.MmFEmGrruu vu vv引引（其中的为沿球心和质点的连线向内的单位矢量） 。rv这也证明了：对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。5参考：1、高中物理教材。2、清华大学教材大学物理学第三册电磁学 张三慧主编3、 电磁学 梁灿彬 秦光戎 梁竹健编
