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1、版权所有:中国好课堂 二一般形式的柯西不等式对应学生用书 P32名称形式等号成立条件三维形式柯西不等式设 a1，a2，a3，b1，b2，b3R，则(a a a )(b b b )2 12 22 32 12 22 3(a1b1a2b2a3b3)2当且仅当 b1b2b30 或存在一个实数 k 使得 aikbi(i1,2,3)一般形式柯西不等式设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(a a a )(b b2 12 22 n2 1b )(a1b1a2b2anbn)22 22 n当且仅当 bi0(i1,2，n)或存在一个实数 k，使得aikbi(i1,2，n)说明 一般形式的柯西不等
2、式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式对应学生用书 P32版权所有:中国好课堂 利用柯西不等式证明不等式例 1 设 x1，x2，xn都是正数，求证：.1x11x21xnn2x1x2xn思路点拨 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明证明 (x1x2xn)(1x11x21xn)(1)2()2()2xx2xn(1x1)2(1x2)2(1xn)22n2，(x11x1 x21x2 xn1xn).1x11x21xnn2x1x2xn柯西不
3、等式的结构特征可以记为：(a1a2an)(b1b2bn)(a1b1)2.a2b2anbn其中 ai，biR(i1,2，n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键1已知 a，b，c，dR，且 abc1，求证：3.3a13b13c12证明：根据柯西不等式，有()23a13b13c1版权所有:中国好课堂 (111)(3a13b13c1)18，3.3a13b13c12利用柯西不等式求最值例 2 (1)已知 x，y，zR，且 xyz1.求 的最小值1x4y9z(2)设 2x3y5z29.求函数 的最大值2x13y45z6思路点拨 (1)利用
4、(xyz)1x4y9z(1x4y98)(2)利用()22x13y45z6111)2.2x13y45z6解 (1)xyz1， (xyz)1x4y9z(1x4y9z)2(1x x2y y3z z)(123)236.当且仅当 x ，y2z3即 x ，y ，z 时取等号161312所以 的最小值为 36.1x4y9z版权所有:中国好课堂 (2)根据柯西不等式，有(111)22x13y45z6(2x1)(3y4)(5z6)(111)3(2x3y5z11)340120.故2 ，2x13y45z630当且仅当 2x13y45z6，即 x，y，z时等号成立3762892215此时 max2 .30利用柯西不等
5、式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果同时，要注意等号成立的条件2设 a，b，c，d 均为正实数，则(abcd)的最小值为_(1a1b1c1d)解析：(abcd)(1a1b1c1d)()2()2()2()2abcd(1a)2(1b)2(1c)2(1d)22(1111)24216，(a1a b1b c1c d1d)版权所有:中国好课堂 当且仅当 abcd 时取等号答案：163已知：x，y，zR且 xyz2，则2的最大值为( )xy3zA2 B273C4 D5解析：(2)2(12)2(1222()2)()2()2()2xy3zxy3z3xyz8(xyz)16.(当且仅当x14y
6、13z14时取等号)24.xy3z答案：C4把一根长为 12 m 的细绳截成三段，各围成三个正方形问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和 S 最小，并求此最小值解：设三段绳子的长分别为 x，y，z，则 xyz12，三个正方形的边长分别为 ，x4， 均为正数，三个正方形面积之和：S222(x2y2z2)y4z4(x4)(y4)(z4)116(121212)(x2y2z2)(xyz)2122，即 x2y2z248.从而 S483.116当且仅当 时取等号，x1y1z1又 xyz12，xyz4 时，Smin3.故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为 3 m2.版权所有:中国
7、好课堂 对应学生用书 P331若 a，b，cR，且 1，则 a2b3c 的最小值为( )1a12b13cA9 B3C. D63解析：柯西不等式得 a2b3c(a2b3c)(111)29，(1a12b13c)a2b3c 的最小值为 9.答案：A2已知 a a a 1，x x x 1，则 a1x1a2x2anxn的最大值2 12 22 n2 12 22 n是( )A1 B2C3 D4解析：(a1x1a2x2anxn)2(a a a )(x x x )111，当且仅2 12 22 n2 12 22 n当1 时取等号x1a1x2a2xnana1x1a2x2anxn的最大值是 1.答案：A3已知 a2b
8、2c2d25，则 abbccdad 的最小值为( )A5 B5C25 D25解析：(abbccdda)2(a2b2c2d2)(b2c2d2a2)25，当且仅当abcd时，等号成立52版权所有:中国好课堂 abbccdbd 的最小值为5.答案：B4(湖北高考)设 a，b，c，x，y，z 是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则( )abcxyzA. B.1413C. D.1234解析：由柯西不等式得，(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2400，当且仅当 时取等号，因此有 .axbycz12abcxyz12答案：C5已知：2x3yz8，则 x2y2z2取得最
9、小值时，x，y，z 形成的点(x，y，z)_.解析：由柯西不等式(223212)(x2y2z2)(2x3yz)2，即 x2y2z2.8214327当且仅当 z 时等号成立又 2x3yz8，x2y3解得：x ，y，z ，8712747所求点为.(87，127，47)答案：(87，127，47)6设 a，b，c 为正数，则(abc)的最小值是_(4a9b36c)解析：(abc)(4a9b36c)版权所有:中国好课堂 ()2()2()2abc(2a)2(3b)2(6c)22(a2a b3b c6c)(236)2121.当且仅当 k(k 为正实数)时，等号成立a2b3c6答案：1217已知 a，b，c
10、R且 abc6，则的最大值为_2a2b12c3解析：由柯西不等式得：()2(111)2a2b12c32a2b12c32(121212)(2a2b12c3)3(264)48.当且仅当，2a2b12c3即 2a2b12c3 时等号成立又 abc6，a ，b，c 时，8313676取得最大值 4.2a2b12c33答案：438在ABC 中，设其各边长为 a，b，c，外接圆半径为 R，求证：(a2b2c2)36R2.(1sin2A1sin2B1sin2C)证明：2R，asin Absin Bcsin C(a2b2c2)(1sin2A1sin2B1sin2C)236R2.(asin Absin Bcsi
11、n C)9求实数 x，y 的值使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2取到最小值版权所有:中国好课堂 解：由柯西不等式，得(122212)(y1)2(3xy)2(2xy6)21(y1)2(3xy)1(2xy6)21，即(y1)2(xy3)2(2xy6)2 .16当且仅当，y113xy22xy61即 x ，y 时，上式取等号5256此时有最小值 .1610已知实数 a，b，c，d 满足 abcd3，a22b23c26d25，求 a 的最值解：由柯西不等式，有(2b23c26d2)(bcd)2，(121316)即 2b23c26d2(bcd)2，由条件可得，5a2(3a)2，解得 1a2，当且仅当时等号成立，2b123c136d16代入 b ，c ，d 时，amax2，121316代入 b1，c ，d 时，amin1.2313
