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1、1数学品质平台数学品质平台高一数学（下）高一数学（下）同步辅导讲义同步辅导讲义 第九讲第九讲 平面向量（平面向量（1 1） 一、基本概念与公式：一、基本概念与公式： 向量的概念：向量的概念：向量的表示方法：向量的表示方法：相等向量：相等向量：共线向量（平行向量）：共线向量（平行向量）：零向量：零向量：向量的加法：向量的加法：向量的减法：向量的减法：实数与向量的积：实数与向量的积：向量共线定理：向量共线定理：平面向量基本定理：平面向量基本定理：向量向量的坐标表示与坐标运算：的坐标表示与坐标运算：ar平面向量的坐标运算法则：平面向量的坐标运算法则：平行向量的坐标运算：平行向量的坐标运算：垂直向量的
2、坐标运算：垂直向量的坐标运算：向量的模：向量的模：向量的数量积：向量的数量积：向量的射影：向量的射影：2二、回归基础：二、回归基础：1、|+| | + |成立吗?abab 变式变式 ：已知向量和反向，则下列等式成立的是：abA.| -|=| B. C. | D. abba |baba baba |baba 变式变式 ：下列四个命题正确的是 ： A两个单位向量一定相等 B若与不共线，则与都是非零向量ababC共线的单位向量必相等 D两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同2、已知向量=(-1,3)，=(x,-1)，且，求 x。arbrarbr 变式变式 ：设，若=0，则= 。(4, ),( 3,
3、6)ay b rr a brr Py 变式变式 ：已知向量，若向量，则实数的值是 (2,4)a (1,1)b ()bab3、1kg 的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图） ，已知两细绳与水平线分别成 30, 60角，问两细绳各受到多大的力？4、已知向量，若不超过 5，则的取值范围是 ： ( 2,2),(5, )abk rrab rrkA-4，6 B. -6，4 C.C. -6，2 D. -2，6 变式变式 ：已知向量a a = (), b b = (,-1)，则的最大值是 sin ,cos32ab5、在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一个内角为直角，求k值。ABAC
4、6、已知为任意非零向量，有以下条件： . abr r， 。其中可以作为的必要充分条件的是： ab rr22( )( )ab rr22( )( )ab rr ab rrP1PP230603A B. C. D.D. 变式变式 ：有下列命题：两个相等的向量，若起点相同，则终点一定相同；若a a=b b, ,b b=c c，则a=ca=c 若a ab b, ,b bc c，则a ac c；若，则四边形ABCD是平行DCAB 四边形以上命题中，真命题有 。 （填上所有真命题的序号）7、给出下列命题：若共线，且，则=0；已知，则。, a br r ab rr () ()abab rrrr P2 ,3ae
5、be rr rr32ab rr若，且，则。在ABC 中，AD 是中线，则1212,33aee bee ru ru u r ru ru u r12ee u ru u r 3ab rr . 其中正确命题的序号是 。2ABACAD uuu ruuu ruuu r8、已知若和夹角为钝角,则的取值范围是（ ）),5 , 3(),2 ,(baabA.B.B.3103103103109、平面上有四个互异的点 A、B、C、D,已知则, 0)()2(ACABDADCDB的形状是( ).ABC A. 直角三角形 B.B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形10、在湖面上高h处，测得云彩仰角为，而湖中云彩
6、影的俯角为， 求云彩的高。略解：略解：如图，C、C ，设云高CE = x，则CD = ，CD = ，在 RtACD中， AD= 在 RtACD中，AD=ABCEDC 4即有： ，解得 x= 。三、创新训练：三、创新训练： 1、下列物理量中， 不能称为向量的是 （ ） A距离 B加速度 C力 D位移2、已知平面上不共线的四点满足，则以下四个命题：CBAD （1）ABCD 是平行四边形；（2）ACBD 是平行四边形； （3）ADBC 是平行四边形；（4）ACDB 是平行四边形。 则所有正确命题的序号是_ _。3、已知向量，若，则的值是： )8 ,(), 2(xbxa | babaxA.； B. ；
7、 C.； D.。440164 4、已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影是 a b1205| , 3| ba b a_ 。 变式变式 ：设在 上的投影为， 在x轴上的投影为 2，且14，则(4,3),a ab5 2 2b|b为 b5 5、设集合平面向量 ，定义在上的映射，满足对任意，均有DDfDx且。Rxxf ( ,)()0若，且不共线，试证明：。| ba ba,)()()( babfaf若，且，求。)8 , 4(),6 , 3(),2 , 1 (CBA ABBCf)( ABACf)(56 6、 （0606 安徽卷）安徽卷）在四面体中，为的中点，为OABCOAOBOCDuu u ruuu r
8、uuu r，abcBCE的中点，则 （用表示） 。ADOE uuu r，abc7 7、 （0707 湖南）湖南）若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ： OEF，A； B ； C ； DEFOFOEuuu ruuu ruuu rEFOFOEuuu ruuu ruuu rEFOFOE uuu ruuu ruuu r。EFOFOE uuu ruuu ruuu r8、 （0707 辽宁）辽宁）若向量与不共线，且，则向量与 的夹角ab0ga bg ga ac = a -ba bac为：A0； B； C； D 。 6 3 29、在平面上有一个四边形 ABCD，E、F、G、H 分别是 AB、BC、C
9、D、DA 中点，求证：。HGEF 10、 （0707 福建）福建）对于向量和实数，下列命题中真命题是 ： ，abc A若，则或B若，则或 0ga b0a =0b =0a =0 0aC若，则或D若，则22ababa =bgga b = a cb = c11、设的两个单位向量，若与的夹角为，试求向量与12,e eu r u u r1eu r2eu u r060122aee ru ru u r的夹角。1232bee ru ru u r612、是不共线的两个向量,已知若三点ba,2,2baCDbaBCbkaABDBA,共线,求值.k13、若对个向量存在个不全为零的实数 ，使得n,21aanan,21k
10、knk，+成立，则称向量为“线性相关”.依此规定，能2211akakoaknn ,21aana说明“线性相关”的实数依次可以取 )2 , 2(),1, 1 (),0 , 1 (321aaa321,kkk.（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）14、已知且与之间满足关系:,sin,cos,sin,cosbaab其中 k0. ,3bkabak用 k 表示 ; ba求的最小值,并求此时与夹角的大小.baab715、已知ABC的面积为 3，且满足设和的夹角为06AB ACuuu r uuu rgABuuu rACuuu r求的取值范围；求函数的最大值与最小值2( )2sin ()3cos24f16、设
11、平面内两个向量 ，且(cos ,sin),(cos,sin)ab0（1）求证：；()()abab（2）若两个向量与的模相等求的值abk abk(0,)kkR8课后反馈：课后反馈：部份试题部份试题参考答案：参考答案：11 22220 121122(2)4454cos607aeeee ee ru ru u ru ru r u u ru u r，同理，又7a r 7b r12127(2) ( 32 )2a beeee r ru ru u ru ru u r设 与 的夹角为 ，则ar br 01cos,1202a ba b r rrr与 的夹角为。ar br012014、两边平方，得，bkabak3Q
12、22| 3|bkabak)2(3222222bkabkabakbk即kbkakba8) 13()3(2222),sin,(cos),sin,(cosbaQ. 1, 122ba.412kkba从而, 0) 1(, 02kkQ21 42 41,212 2kk kkkk的最小值为,此时,即 与 夹角为.ba21 21|cos baba 60ab6015、解：，即，06AB ACuuu r uuu rg0 |cos6ABACuuu ruuu r又ABC 的面积为 3，即，1|sin32ABACuuu ruuu r,4 2 =1+，又( )1sin23cos2f 2sin(2)322633，即函数的最大值为 3，最小值为 22( )3f16、解：（1）(cos ,sin),(cos,sin)ab ，(coscos,sinsin)ab9(coscos,sinsin)ab ，() ()0abab()()abab （2），即22ababkk2222(1)4(1)0aa bbkk
