《2015高考数学总复习专题系列——统计.板块二.频率直方图.学生版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015高考数学总复习专题系列——统计.板块二.频率直方图.学生版（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1知识内容一随机抽样 1随机抽样：满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样，共有三种经常采用的随机抽样方 法： 简单随机抽样：从元素个数为的总体中不放回地抽取容量为的样本，如果每一次抽Nn 取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样 抽出办法：抽签法：用纸片或小球分别标号后抽签的方法 随机数表法：随机数表是使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能生成的一张 数表表中每一位置出现各个数字的可能性相同 随机数表法是对样本进行编号后，按照一定的规律从随机数表中读数，并取出相应的样本 的方法 简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法 系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按
2、照预先制定的规则，从每一部分抽取一 个个体，得到所需要的样本的抽样方法 抽出办法：从元素个数为的总体中抽取容量为的样本，如果总体容量能被样本容量Nn整除，设，先对总体进行编号，号码从 到，再从数字 到中随机抽取一个数Nkn1N1k作为起始数，然后顺次抽取第个数，这样就得到容量为的s2(1)sksksnkL，n 样本如果总体容量不能被样本容量整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统 抽样方法进行抽样 系统抽样适用于大规模的抽样调查，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样 分层抽样：当总体有明显差别的几部分组成时，要反映总体情况，常采用分层抽样，使 总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部
3、分，每一部分叫做层，在各层中按 层在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样 分层抽样的样本具有较强的代表性，而且各层抽样时，可灵活选用不同的抽样方法， 应用广泛 2简单随机抽样必须具备下列特点： 简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的N 简单随机样本数小于等于样本总体的个数nN 简单随机样本是从总体中逐个抽取的 简单随机抽样是一种不放回的抽样简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n N3系统抽样时，当总体个数恰好是样本容量的整数倍时，取；NnNkn若不是整数时，先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容N n 量整除因为每个个体被剔除的机会相等，因
4、而整个抽样过程中每个个体被抽取的机会n板块二.频率直方图2仍然相等，为N n二频率直方图 列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤： 计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；决定组距与组数：取组距，用决定组数；极差 组距 决定分点：决定起点，进行分组； 列频率分布直方图：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得 到各小组的频率绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以的值为纵坐标绘制直方图，频率 组距知小长方形的面积组距频率频率 组距 频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率 分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横
5、轴左右两端点没有实际意义 总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分 布直方图可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线总体( )yf x 密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律三茎叶图 制作茎叶图的步骤： 将数据分为“茎”、 “叶”两部分； 将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线； 将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处同行列出 四统计数据的数字特征 用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差 数据的离散程序可以用极差、方差或标准差来描述 极差又叫全距，是一组数据的最大值和最小值之差，反映
6、一组数据的变动幅度； 样本方差描述了一组数据平均数波动的大小，样本的标准差是方差的算术平方根 一般地，设样本的元素为样本的平均数为，12nxxxL，x定义样本方差为，222 212()()()nxxxxxxsnL样本标准差222 12()()()nxxxxxxsnL简化公式：22222 121()nsxxxnxnL五独立性检验 1两个变量之间的关系； 常见的有两类：一类是确定性的函数关系；另一类是变量间存在关系，但又不具备函数关 系所要求的确定性，它们的关系是带有一定随机性的当一个变量取值一定时，另一个变 量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 2散点图：将样本中的个数据点描在
7、平面直角坐标系中，就得到n()(1 2)iixyinL， 了散点图 散点图形象地反映了各个数据的密切程度，根据散点图的分布趋势可以直观地判断分析两3个变量的关系 3如果当一个变量的值变大时，另一个变量的值也在变大，则这种相关称为正相关；此时， 散点图中的点在从左下角到右上角的区域 反之，一个变量的值变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关此时，散 点图中的点在从左上角到右下角的区域 散点图可以判断两个变量之间有没有相关关系 4统计假设：如果事件与独立，这时应该有，用字母表示此式，AB()( ) ( )P ABP A P B0H即，称之为统计假设0:()( ) ( )HP ABP A
8、P B5（读作“卡方”）统计量：2统计学中有一个非常有用的统计量，它的表达式为，用它的大小可2 2112212211212()n n nn n n n n n以用来决定是否拒绝原来的统计假设如果的值较大，就拒绝，即认为与是0H20HAB 有关的 统计量的两个临界值：、；当时，有的把握说事件与有23.8416.63523.84195%AB关；当时，有的把握说事件与有关；当时，认为事件与26.63599%AB23.841A 是无关的B独立性检验的基本思想与反证法类似，由结论不成立时推出有利于结论成立的小概率事件 发生，而小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以认为结论在很大程度上是成立 的 1
9、独立性检验的步骤：统计假设：；列出联表；计算统计量；查对临界值表，0H222 作出判断 2几个临界值：222()0.10(3.841)0.05(6.635)0.01PPP2. 706，联表的独立性检验：22 如果对于某个群体有两种状态，对于每种状态又有两个情况，这样排成一张的表，如22 下：状态B状态B合计状态A11n12n1n状态A21n22n2n1n2nn如果有调查得来的四个数据，并希望根据这样的个数据来检验上述的两11122122nnnn，4 种状态与是否有关，就称之为联表的独立性检验AB22六回归分析 1回归分析：对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析，即回归分 析就
10、是寻找相关关系中这种非确定关系的某种确定性 回归直线：如果散点图中的各点都大致分布在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线 性相关关系，这条直线叫做回归直线 2最小二乘法： 记回归直线方程为：，称为变量对变量的回归直线方程，其中叫做回归 yabxYxa b， 系数 是为了区分的实际值，当取值时，变量的相应观察值为，而直线上对应于 yYyxixYiy的纵坐标是ixiiyabx设的一组观察值为，且回归直线方程为，x Y，()iixy，1 2inL， yabx4当取值时，的相应观察值为，差刻画了实际观察值与回归xixYiy (1 2)iiyy inL，iy 直线上相应点的纵坐标之间的偏离程度，称这些
11、值为离差 我们希望这个离差构成的总离差越小越好，这样才能使所找的直线很贴近已知点n记，回归直线就是所有直线中取最小值的那条21()nii iQyabxQ这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法用最小二乘法求回归系数有如下的公式：a b，其中上方加“”，表示是由观察值按最小二乘法求得的1221nii i ni ix ynxy b xnx aybxa b，回归系数 3线性回归模型：将用于估计值的线性函数作为确定性函数；的实际值与估计yabxy 值之间的误差记为，称之为随机误差；将称为线性回归模型yabx 产生随机误差的主要原因有： 所用的确定性函数不恰当即模型近似引起的误差； 忽略了某些因
12、素的影响，通常这些影响都比较小； 由于测量工具等原因，存在观测误差 4线性回归系数的最佳估计值：利用最小二乘法可以得到的计算公式为 a b，其中，1122211()()()( )nniiii ii nnii iixxyyx ynxy b xxxn x $ aybx11ni ixxn 11ni iyyn由此得到的直线就称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程其中，分yabx$ ab$别为，的估计值，称为回归截距，称为回归系数，称为回归值ab ab$ y5相关系数：112222221111()()()()( ) )( ) )nniiii iinnnniiii iiiixxyyx ynxy rxxy
13、yxn xyn y 6相关系数的性质：r ；|1r 越接近于 1，的线性相关程度越强；|rxy，越接近于 0，的线性相关程度越弱|rxy， 可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关 7转化思想： 根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程 转化为线性回归方程，从而确定未知参数 8一些备案 回归（regression）一词的来历：“回归”这个词英国统计学家 Francils Galton 提出来 的1889 年，他在研究祖先与后代的身高之间的关系时发现，身材较高的父母，他们的孩 子也较高，但这些孩子的平均身高并没有他们父母的平均身高高；身
14、材较矮的父母，他们 的孩子也较矮，但这些孩子的平均身高却比他们父母的平均身高高Galton 把这种后代的 身高向中间值靠近的趋势称为“回归现象”后来，人们把由一个变量的变化去推测另一个 变量的变化的方法称为回归分析5回归系数的推导过程：22222()222iiiiiiiiQyabxyaynabx yabxbx ，22222 ()2iiiiiinaa bxybxbx yy 把上式看成的二次函数，的系数，a2a0n 因此当时取最小值2()2iiiibxyybxann 同理，把的展开式按的降幂排列，看成的二次函数，当时取最小Qbb2iiiix yaxbx 值解得：，1 2 221()()()nii
15、iii n i i ix ynxyxxyybxxxnx aybx其中，是样本平均数1iyyn1ixxn9 对相关系数进行相关性检验的步骤：r 提出统计假设：变量不具有线性相关关系；0Hxy， 如果以的把握作出推断，那么可以根据与（是样本容量）在95%10.950.052n n 相关性检验的临界值表中查出一个的临界值（其中称为检验水平） ；r0.05r10.950.05 计算样本相关系数；r 作出统计推断：若，则否定，表明有的把握认为变量与之间具有线0.05|rr0H95%yx性相关关系；若，则没有理由拒绝，即就目前数据而言，没有充分理由认为变0.05|rr0H 量与之间具有线性相关关系yx 说明： 对相关系数进行显著性检验，一般取检验水平，即可靠程度为r0.0595% 这里的指的是线性相关系数，的绝对值很小，只是说明线性相关程度低，不一定不rr 相关，可能是非线性相关的某种关系 这里的是对抽样数据而言
