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1、- 1 -专题 034：数列的概念与简单表示法（复习设计） （师）考点要求：1以数列的前几项为背景，考查“归纳推理”思想2考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项3考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，已知 Sn与 an的关系求 an等4本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主5熟练掌握求解数列通项公式的基本方法，尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法，另外注意累加法、累积法的灵活应用知识结构1数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法4数列的通项公式如果数列an的第 n
2、 项 an与 n 之间的函数关系可以用一个式子 anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式5Sn与 an的关系（1）已知 Sn，则 anError!（2）在数列an中，若 an最大，则Error!若 an最小，则Error!6由递推式求通项an的方法：(1)an1anf(n)型，采用叠加法；(2)f(n)型，采用叠乘法；an1 an分类原则类型满足条件有穷数列项数有限 按项数分类 无穷数列项数无限递增数列an1an递减数列an1an按项与项间的 大小关系分类常数列an1an其中 nN有界数列存在正数 M，使|an|M按其他标准分 类摆动数列an的符号正负相间，如 1，1,1，1，-
3、 2 -(3)an1panq(p0,1，q0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决基础自测1已知数列an的前 4 项分别为 2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列an的通项公式的一项是( )Aan1(1)n1 Ban2sin Can1cos n DanError!n2解析 根据数列的前 4 项验证答案 B2在数列an中，a11，an2an11，则 a5的值为( )A30 B31 C32 D33解析 a52a412(2a31)122a32123a2222124a123222131.答案 B3已知 an1an30，则数列an是( )A递增数列 B递减数列 C常数列 D不确定解析 an1an30，
4、an1an30，an1an.故数列an为递增数列答案 A4设数列an的前 n 项和 Snn2，则 a8的值为( )A15 B16 C49 D64解析 由于 Snn2，a1S11.当 n2 时，anSnSn1n2(n1)22n1，又 a11 适合上式an2n1，a828115.答案 A5数列 1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，中 x 的值为_解析 观察数列中项的规律，易看出数列从第三项开始每一项都是其前两项的和答案 21 例题选讲：1由数列的前几项求数列的通项例 1：写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，；(2) ， ， ，；12347815163132(3)1， ，
5、，；3213341536(4)3,33,333,3 333，.分析：先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项之间的关系，项与前后项之间的关系解 (1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an2n1.(2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21,22,23，24，所以 an.2n12n(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(1)n；各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 21，偶数项为 21，所以 an(1)n.21nn也可写为 anError!(4)将数列各项改写为： ， ，939939993
6、9 9993- 3 -分母都是 3，而分子分别是 101,1021,1031，1041，所以 an (10n1)13小结： 根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来2由 an与 Sn的关系求通项 an例 2：已知数列an的前 n 项和为 Sn3n1，则它的通项公式为 an_.分析：利用 anSnSn1(n2)求解解析 当 n2 时，anSnSn13n1(3n11)23
7、n1；当 n1 时，a1S12 也满足 an23n1.故数列an的通项公式为 an23n1.答案 23n1小结： 数列的通项 an与前 n 项和 Sn的关系是 anError!当 n1 时，a1若适合 SnSn1，则 n1 的情况可并入 n2时的通项 an；当 n1 时，a1若不适合 SnSn1，则用分段函数的形式表示学生练习：已知数列an的前 n 项和 Sn3n22n1，则其通项公式为_解析 当 n1 时，a1S13122112；当 n2 时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当 n1 时，不满足上式故数列的通项公式为 anError!答案 anError!3由数
8、列的递推公式求通项例 3：根据下列条件，确定数列an的通项公式(1)a11，an13an2；(2)a11，anan1(n2)；n1n(3)已知数列an满足 an1an3n2，且 a12，求 an.分析： (1)可用构造等比数列法求解(2)可转化后利用累乘法求解(3)可利用累加法求解解 (1)an13an2，an113(an1)，3，数列an1为等比数列，公比 q3，an11an1又 a112，an123n1，an23n11.(2)anan1(n2)，an1an2，a2 a1.以上(n1)个式子相乘得 ana1 .n1nn2n1121223n1na1n1n(3)an1an3n2，anan13n1
9、(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)当 n1 时，a1 (311)2 符合公式，n3n1212an n2 .32n2小结：已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解当出现 anan1m 时，构造等差数列；- 4 -当出现 anxan1y 时，构造等比数列；当出现 anan1f(n)时，用累加法求解；当出现f(n)时，用累乘法求解anan1学生练习：已知 a11，anan13n1(n2)，求数列的通项公式。na解 (1)anan13n1(n2)，an1an23n2，an2an33n3，a2a131，以上(n1)个式子相加得ana131323n
10、113323n1.3n124数列性质的应用例 4：已知数列an的前 n 项和 Snn224n(nN*)(1)求an的通项公式；(2)当 n 为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？解 (1)n1 时，a1S123.n2 时，anSnSn1n224n(n1)224(n1)2n25.经验证，a123 符合 an2n25，an2n25(nN*)(2)法一 Snn224n，n12 时，Sn最大且 Sn144.法二 an2n25，an2n250，有 n.a120，a130，252故 S12最大，最大值为 144. 巩固作业： 1设 ann210n11，则数列an从首项到第几项的和最大 ( C ) A10B
11、11C10 或 11D122.已知数列an的通项公式 ann (nN*)，则数列an的最小项是 ( C )156nA.a12 B.a13 C.a12或 a13 D.不存在3下列对数列的理解： 数列可以看成一个定义在 N*(或它的有限子集1,2,3，n)上的函数； 数列的项数是有限的； 数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； 数列的通项公式是唯一的 其中说法正确的序号是 ( C ) ABCD 4.若数列an的前 n 项和 Snn210n (n1,2,3，)，则此数列的通项公式为 an_.2n11_；数列nan中数值最小的项是第_项.5已知数列an的前n项和Sn2n23n1，求an的通项公式解 当 n1 时， a1S12123110；- 5 -当 n2 时，anSnSn1(2n23n1)2(n1)23(n1)14n5； 又 n1 时，an4151a1，anError!6已知数列满足 a12，an1anln.，求数列an的通项公式.na(11n)解 an1anln，(11n)an1anlnln .(11n)n1nanan1ln ，nn1an1an2ln ，n1n2a2a1ln ，21累加可得，ana1ln ln ln nn1n1n221 ln nln(n1)ln(n1)ln(n2)ln 2ln 1 ln n. 又 a12，anln n2.
