《上海浦东新王牌 春季周末 等价转化》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海浦东新王牌 春季周末 等价转化（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高三数学春季拓展高三数学春季拓展 第第 4 4 讲讲 化归与转化化归与转化 一、化归与转化思想概述化归与转化思想概述化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解 决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化 思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的 过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题， 无论是难题还是易题，都离不开化归。下面介绍一些常用的转化方法，及化归与转化思想 解题的应用。 化归与转化常遵循以下几个原则化归与转化常遵循以下几个原则 （1）熟悉化原则
2、：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和 问题来解决。 （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂 问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。 （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐 的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。 （5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面 去探求，使问题获解。二、范例分析范例分析正与反的转化：正与反的转化：有些数学问题，如果直
3、接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我 1 1们可以从反面着手去解决。如函数与反函数的有关问题，对立事件的概率、间接法求解排 列组合问题例例 1 1：某射手射击 1 次击中目标的概率是 0.9 他连续射击 4 次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标 1 次的概率为 。分析：至少击中目标一次的情况包括 1 次、2 次、3 次、4 次击中目标共四种情况，可转化为其对立事件：一次都未中，来求解略解：他四次射击未中 1 次的概率 P1=0.14=0.144 4C他至少射击击中目标 1 次的概率为 1P1=10.14=0.9999例例 2 2：求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦
4、都不能被直线y=m(x3)垂直平分.分析：直接求解较为困难，事实上，问题可以转化为：在曲线y= x2存在关于直线y=m(x3)对称的两点，求m的范围。略解：抛物线y=x2上存在两点（x1，x）和（x2，x）关于直线2122y=m(x3)对称，则 即 mxxxxxxmxx1)32(2212 22 12121消去x2得 mxxxxmxx1)6(21212 22 1016122212 1mmxmx存在 上述方程有解=0),(),(2 222 11xxxx2231212 mmm0， 从而m) 126)(12(2mmm21因此，原问题的解为m|m21、一般与特殊的转化、一般与特殊的转化 2 2当面临的数
5、学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然，这种方法在选择题，填空题中非常适用。例例 3 3：设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q=_.分析：由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q的值.如：成等差，312,SSS求q的值.这样就避免了一般性的复杂运算.略解： qaaS1122 111311,qaqaaSaS (a10)1322SSS12 111222aqaqaaq=2 或q=0（舍去）例例 4 4：已知平面上的直线l的方向向量，点(0，0)和A(1,2)在l上的)53,54( e射影分别为，若则 为（ ）AO和eAOA B C2
6、 D2511 511分析：直线l的斜率一定，但直线是变化的，又从选项来看，必为定值。可见直线l的变化不会影响的值。因此我们可取l为来求解的值。xy43略解：设l: 则xy43).(yxA可得 即， xyxy431)43(12)56,58(A1eAO)53,54()56,58(=2例例 5 5：设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC，则四棱锥BPAQC的体积为：AV BV CV DV61 41 31 21分析：P、Q运动四棱锥BPAQC是变化的，但从选项来看其体积是不变的，所以可以转化为特殊情况来解决略解：取P与A重合，Q与C重合的特殊情况VVV
7、VABCCCACBPAQCB3111、主与次的转化 3利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即变量与主元的角色换位）常常可以简 化问题的解决，先看下面两题。例例 6 6:已知函数其中是的的导, 5)()(, 13)(3axxfxgaxxxf)(xf )(xf函数。对满足的一切的值， 都有求实数的取值范围；11a a, 0)(xgx分析：在不等式中出现了两个字母：及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，xa另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一a1 , 1a次函数大于 0 恒成立的问题。解：（）由题意 令 2335g xxaxa, 53)3()(2xaxa11a
8、对，恒有，即11a 0g x 0a 即 解得 10 10 22320380xxxx213x故时，对满足的一切的值，都有2,13x 11a a 0g x 0 对上恒成立，求实数a的取值范围.22 axx 1 , 1x例例 7 7、对任何函数的值总大于 0，则实数x 1 , 1aaxaxxf24)4()(2的取值范围是：_分析：对于例 2：我们也可以转化为例 1 的形式只需视为关于a的函数，问题就可以转化为例 1 的情况：)(xf略解：令为关于a的一次函数，)2()2()2()(2xxaxxg由图像知 或x1 或x3 0) 1 (0) 1( gg例例 8 8：设的实数，则的取值范围是：_y0544
9、2xxyyx分析：把看作是关于的二次方程，则利用0 求解的范05442xxyyyx围。略解：把看作是关于的二次方程，因为的实数，所以方程05442xxyyyy有解。=0)6(4)4(22xxx | x-2 或x3、数与形的转化。 5数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观图形相结合。可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求。例例 9 9：设对于任意实数,函数2 , 2x总有意义，求实数的取值范围。)3lg()(2xaxaxfa解法一：有意义，有，)(xf032xaxa即在时总成立，032aaxx2 , 2x设，即当时，总成立。aaxxxg3)(22 , 2x0)(xg依抛物线的特征，
10、将其定位， )(xgy 有解得：,04054 0)2(0)2( aa gg4a解法二：不等式可化成6393)(xxxhao-2xy2只要的最大值即可。设,6393)(xxxhxt 35 , 1 t的图象如图，6)(xh可知的最大值为，故最小值为.故6)(xh1044a点评 通过数与形的转化，抓住了抛物线的特征，建立了实数的不a 等式组，从而求出的范围。解法二是通过分离参数的方法，再通过a换元，利用函数的特征求其最值，同样体现了数形结合的特点。uu1、陌生与熟悉的转化 5把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是数学解题的一条重要原则。例例 1010：某厂 2001 年生产利润
11、逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建 设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加 投入的百分率相同，到 12 月投入建设资金又恰好与 12 月的生产利润相同，问全年总利润与全年总投入的大小关系是 （ ）mN A. B. 0，即存在1 31 3aa0.而cm(a2am2m)m(a )2m2m ，则m0 或1 21 4Error!Error!解得m0 或m2(2n1)，1 2n1 2n11 2n1bn2bn1.b0，y0)和部分抛物线y2 a2x2 b2C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.32(1)求a
12、，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若APAQ，求直线l的方程解题模板 (1)构造关于a，b的方程；(2)设直线的点斜式方程，与椭圆、抛物线的方程分别联立得方程组，构建关于斜率k的方程解析 (1)在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点，设C1的半焦距为c，由 及a2c2b21，得a2.c a32a2，b1.(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为x21(y0)易知，直线l与x轴y2 4不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)，代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)设点P的
13、坐标为(xP，yP)，直线l过点B，x1 是方程(*)的一个根由求根公式，得xP，从而yP.k24 k248k k24点P的坐标为.(k24 k24，8k k24)同理，由Error!Error!得点Q的坐标为(k1，k22k)(k，4)，k(1，k2)AP2k k24AQAPAQ，0，即k4(k2)0.APAQ2k2 k24k0，k4(k2)0，解得k .8 3经检验，k 符合题意8 3故直线l的方程为y (x1)8 31714 陕西在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上(1)若0，求|；PAPBPCOP(2)设
14、mn(m，nR R)，用x，y表示mn，并求mn的最大值OPABAC解题模板 (1)用向量的坐标形式表示给出的向量的等式，求出x，y，再求向量的模；(2)利用向量的坐标形式得到mnyx，再利用线性规划求解目标函数的最值解析 (1)方法一 0，PAPBPC又(1x,1y)(2x,3y)(3x,2y)(63x,63y)，PAPBPCError!Error!解得Error!Error!即(2,2)，故|2.OPOP2方法二 0，PAPBPC则()()()0.OAOPOBOPOCOP ()(2,2)OP1 3OAOBOC|2.OP2(2)mn，OPABAC(x，y)(m2n,2mn)Error!Error!两式相减，得mnyx.令yxt，由图知，当直线yxt过点B(2,3)时，t取得最
