《《高等代数》试卷A答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等代数》试卷A答案（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、重庆大学试卷 教务处 07 版 第 1 页 共 3 页 重庆大学重庆大学高等代数高等代数(2)(2)课程试卷参考答案课程试卷参考答案A A卷卷B B卷卷20102011 学年学年 第二学期第二学期开课学院：开课学院：数学与统计学院数学与统计学院 课程号课程号：10020550考试日期：考试日期：2011-6考考试试方方式式：开开卷卷闭闭卷卷 其其他他考试时间：考试时间： 120 分钟分钟题题 号号一一二二三三四四五五六六七七八八九九十十总总 分分得得 分分一、填空题（每空 3 分, 共 21 分）： 1、实二次型正定 0 ，222 121 122( ,)nnnf x xxd xd xd xLL
2、id。 1,2,inL2、上线性变换定义如下：，则在基下的2PA2 2aab bbaAA11,01 矩阵是。3、中全体对称矩阵做成的数域 P 上的线性空间的维数是 。n nP4、设三级方阵的三个特征值为 1、2、2，矩阵与相似，则的特ABAB征值为 1、2、2 , 伴随矩阵的三个特征值为-4、-2、2 。*B5、设矩阵的初等因子为，则它的不变因子是,3 3A2(1) ,111。2) 1( 6、在中定义内积为，则的长度是 4 R x11( , )( ) ( )f gf x g x dx 21( )3f xx。2 10 15二、 （12 分）设为级实对称矩阵，则是半正定矩阵的充分必要条件是AnA
3、对于任意的正数，总是正定矩阵。EA 证明：必要性：，有。,0nXRX()XEA XX XX AX因为，所以。又因为是半正定矩阵，所以。0,0X0X XA0X AX 于是，从而总是正定矩阵。(4 分)()0XEA XEA充分性：设的特征值为且。A12,n L12nL则的特征值为。由于总是正定矩阵，EA12,n LEA故。若，则有，使得120nL0n02n ，此与矛盾，故，从而。0n0n0n120nL所以是半正定矩阵。(12 分)A三、 （15 分）设是数域上维线性空间的线性变换且,证明：APnV2AA（1）的特征值为 1 或 0；A（2）1(0)( )|;VAA（3）1(0)( );VVAA证明
4、（1）设是的特征值，是对应的特征向量，即A0,因为故有但,A2,AA22(), AAA A0,故 （5 分）2,10. 或（2） 10|V （0），则，因此AAAA命题人： 组题人： 审题人： 命题时间： 教务处制学院学院 专业、班专业、班 年级年级 学号学号 姓名姓名 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密重庆大学试卷 教务处 07 版 第 2 页 共 3 页 12|,0VV （0）又AAAAAA111|.VV （0），（0）, 从而（0）AAAAAA（10 分）（3）则,VAA1( )(0),VVAA又11( )(0),( )(0),VVVV，是
5、的子空间AAAA从而1( )(0),VVAA由（2）知，可以证明所以（或1 0(0),VA1( ),VVA1( )(0)0,VIAA）即可得 （15 分）1dim( )dim(0)dimVVAA1( )(0).VVAA四、 （18 分）设二次型12341234(,)22f x x x xx xx x1 写出这个二次型的矩阵A；2 求A的特征值及其线性无关的特征向量；3 求一个正交线性替换X=TY，将化为标准形；1234(,)f x x x x4 判断的正定性1234(,)f x x x x解：1原二次型对应的矩阵为 （3 分）0100 1000 0001 0010A 2A 的特征多项式为 22
6、(1) (1)EA特征值为 （6 分）12341,1 相应的特征向量为121（9 分）121,1,0,0 ,0,0,1,1相应的特征向量为341 （12 分） 341,1,0,0 ,0,0,1,13标准正交基为2111,1,0,0 ,0,0,1,1223411,1,0,0 ,0,0,1,12令 X=TY, 其中 1010 10101 01012 0101T 则 （162222 1234X AXyyyy分） 4二次型的正惯性指数 p=20，且负惯性指数 q=20，所以二次型是不定的 （18 分）五、 （15 分）已知复矩阵，126 103 114A 1 求A的不变因子、初等因子；2 求A的若尔当
7、标准形解：1（5 分）EA126 13 114 2100 010 00(1) A 的不变因子为 1，初等因子为 。21(1)，21(1)，（11 分）重庆大学试卷 教务处 07 版 第 3 页 共 3 页 2A 的若尔当标准形为（15100 010 011 分）六、 （12 分）欧氏空间中的线性变换称为反对称的，如果对任意VA， （）（，） ，证明：V, AA1. 为反对称的充分必要条件是，在一组标准正交基下的矩阵为反对AA称的；2. 如果是反对称线性变换的不变子空间，则也是1VA 1V1.证明： （1）必要性。设是反对称线性变换，且在标准正交基下的矩阵为AA12,n LA。则有。于是A112
8、2,1,2,iiininaaainLL（，），（，）。AijjiaiAjija又因为是反对称线性变换，所以，从而 A 是反对称矩阵。Aijajia（4 分）充分性。设在标准正交基下的矩阵为反对称矩阵 A，其中A12,n L。则有(),ijn nijjiAaaa （，）(，）。AijjiaijaiAj，设，于是,V 1 11 1,nnnnaabbLL（，）（）A1aA1naLA1 1,nnnbbL（ ,ij i jabA,i)j ,(,iji i jabA)j（）1a1naL1,nbA1nbLAn（，） 。A所以是反对称线性变换。（8 分）A（2） 。因为 W 是的不变子空间，故。,WW AAW于是，由是反对称线性变换，得A（，）（，）0。AA所以也是的不变子空间。（12 分）WA七、 （7 分）设为实对称矩阵，为实反对称矩阵，且，可ABABBAAB逆。证明为正交矩阵。1()()AB AB证明：11111111()() )()()() ()()()() ()()()() ()()()ABABABABABABABABABABABABABABABABE于是为正交矩阵。（7 分）1()()AB AB
