《广东高考理数大轮 专项训练【专题】立体几何中的向量方法(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东高考理数大轮 专项训练【专题】立体几何中的向量方法(含答案)（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2016 广东高考理数大二轮广东高考理数大二轮 专项训练专项训练第第 3 讲讲 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法考情解读 1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明，常出现在解答题的第(1)问中，考查空间想象能力，推理论证能力及计算能力，属低中档问题.2.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间角(主要是线面角和二面角)的计算，是高考的必考内容，属中档题.3.以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题1直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方
2、法设直线 l 的方向向量为 a(a1，b1，c1)平面 、 的法向量分别为 (a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)(以下相同)(1)线面平行laa0a1a2b1b2c1c20.(2)线面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直vv0a2a3b2b3c2c30.2直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线 l，m 的方向向量分别为 a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)平面 、 的法向量分别为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同)(1)线线夹角设 l，m 的夹角为 (0 )，则2cos
3、.|ab|a|b|a1a2b1b2c1c2|a2 1b2 1c2 1 a2 2b2 2c2 2(2)线面夹角设直线 l 与平面 的夹角为 (0 )，2则 sin |cosa，|.|a|a|(3)面面夹角设半平面 、 的夹角为 (0)，则|cos |cos，v|.|v|v|提醒 求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析3求空间距离直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点 P 到平面 的距离：d(其中 n 为 的法向量，M 为 内任一点).|PMn|n|热点一 利用向量证明平行与垂直例 1 如图，在直三棱柱 ADEBCF 中，面 ABFE 和面 ABC
4、D 都是正方形且互相垂直，M 为 AB 的中点，O 为 DF 的中点运用向量方法证明：(1)OM平面 BCF；(2)平面 MDF平面 EFCD.思维启迪 从 A 点出发的三条直线 AB、AD，AE 两两垂直，可建立空间直角坐标系证明 方法一 由题意，得 AB，AD，AE 两两垂直，以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系设正方形边长为 1，则 A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M，O.(12，0，0)(12，12，12)(1)，(1,0,0)，OM(0，12，12)BA0, .OMBAOMBA棱柱 ADEBCF 是直三棱柱，AB平面 B
5、CF，是平面 BCF 的一个法向量，BA且 OM平面 BCF，OM平面 BCF.(2)设平面 MDF 与平面 EFCD 的一个法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)(1，1,1)，(1,0,0)，DFDM(12，1，0)DC由 n1n10，DFDM得Error!解得Error!令 x11，则 n1.(1，12，12)同理可得 n2(0,1,1)n1n20，平面 MDF平面 EFCD.方法二 (1)OMOFFBBM12DFBF12BA ()12DBBFBF12BA12BD12BF12BA ()12BCBA12BF12BA.12BC12BF向量与向量，共面，OMBFBC又
6、OM平面 BCF，OM平面 BCF.(2)由题意知，BF，BC，BA 两两垂直，CDBAFCBCBF0，OMCD(12BC12BF)BA()OMFC(12BC12BF)BCBF220.12BC12BFOMCD，OMFC，又 CDFCC，OM平面 EFCD.又 OM平面 MDF，平面 MDF平面 EFCD.思维升华 (1)要证明线面平行，只需证明向量与平面 BCF 的法向量垂直；另一个思路则OM是根据共面向量定理证明向量与，共面(2)要证明面面垂直，只要证明这两个平面OMBFBC的法向量互相垂直；也可根据面面垂直的判定定理证明直线 OM 垂直于平面 EFCD，即证OM 垂直于平面 EFCD 内的
7、两条相交直线，从而转化为证明向量与向量、垂直OMFCCD如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面ABCD 是菱形，PAAB2，BAD60，E 是 PA 的中点(1)求证：直线 PC平面 BDE；(2)求证：BDPC；证明 设 ACBDO.因为BAD60，AB2，底面 ABCD 为菱形，所以 BO1，AOCO，ACBD.3如图，以 O 为坐标原点，以 OB，OC 所在直线分别为 x 轴，y 轴，过点 O 且平行于 PA 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0， ，0)，D(1,0,0)，333E(0，1)3(1)设
8、平面 BDE 的法向量为 n1(x1，y1，z1)，因为(1，1)，(2,0,0)，由BE3BDError!得Error!令 z1，得 y11，所以 n1(0,1，)33又(0,2，2)，所以n10220，PC3PC33即n1，又 PC平面 BDE，PC所以 PC平面 BDE.(2)因为(0,2，2)，(2,0,0)，PC3BD所以0.PCBD故 BDPC.热点二 利用向量求空间角例 2 如图，五面体中，四边形 ABCD 是矩形，ABEF，AD平面ABEF，且 AD1，AB EF2，AFBE2，P、Q 分别为122AE、BD 的中点(1)求证：PQ平面 BCE；(2)求二面角 ADFE 的余弦
9、值思维启迪 (1)易知 PQ 为ACE 的中位线；(2)根据 AD平面 ABEF 构建空间直角坐标系(1)证明 连接 AC，四边形 ABCD 是矩形，且 Q 为 BD 的中点，Q 为 AC 的中点，又在AEC 中，P 为 AE 的中点，PQEC，EC面 BCE，PQ面 BCE，PQ平面 BCE.(2)解 如图，取 EF 的中点 M，则 AFAM，以 A 为坐标原点，以AM、AF、AD 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系则 A(0,0,0)，D(0,0,1)，M(2,0,0)，F(0,2,0)可得(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2，1)AMMFDF设平面 DEF 的法向量为
10、n(x，y，z)，则Error!.故Error!，即Error!.令 x1，则 y1，z2，故 n(1,1,2)是平面 DEF 的一个法向量AM面 ADF，为平面 ADF 的一个法向量AMcosn，.AMnAM|n|AM|2 10 10 26 266由图可知所求二面角为锐角，二面角 ADFE 的余弦值为.66思维升华 (1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论(2)求空间角注意：两条异面直线所成的角 不一定是直线的方向向量的夹角 ，即 cos |cos |.两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面
11、角，有可能为两法向量夹角的补角直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化(2013山东)如图所示，在三棱锥 PABQ 中，PB平面ABQ，BABPBQ，D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，AQ2BD，PD 与 EQ 交于点 G，PC 与 FQ 交于点 H，连接 GH.(1)求证：ABGH；(2)求二面角 DGHE 的余弦值(1)证明 因为 D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，所以 EFAB，DCAB.所以 EFDC.又 EF平面 PCD，DC平面 PCD，所以 EF平面 PCD.又 EF平面 EFQ，
12、平面 EFQ平面 PCDGH，所以 EFGH.又 EFAB，所以 ABGH.(2)解 方法一 在ABQ 中，AQ2BD，ADDQ，所以ABQ90，即 ABBQ.因为 PB平面 ABQ，所以 ABPB.又 BPBQB，所以 AB平面 PBQ.由(1)知 ABGH，所以 GH平面 PBQ.又 FH平面 PBQ，所以 GHFH.同理可得 GHHC，所以FHC 为二面角 DGHE 的平面角设 BABQBP2，连接 FC，在 RtFBC 中，由勾股定理得FC，2在 RtPBC 中，由勾股定理得PC.5又 H 为PBQ 的重心，所以 HC PC.同理 FH.135353在FHC 中，由余弦定理得 cosF
13、HC595922 59 .即二面角 DGHE 的余弦值为 .4545方法二 在ABQ 中，AQ2BD，ADDQ，所以ABQ90又 PB平面 ABQ，所以 BA，BQ，BP 两两垂直以 B 为坐标原点，分别以 BA，BQ，BP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系设 BABQBP2，则 E(1,0,1)，F(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)所以(1,2，1)，(0,2，1)，(1，1，2)，(0，1,2)EQFQDPCP设平面 EFQ 的一个法向量为 m(x1，y1，z1)，由 m0，m0，EQFQ得Error!取
14、y11，得 m(0,1,2)设平面 PDC 的一个法向量为 n(x2，y2，z2)，由 n0，n0，DPCP得Error!取 z21，得 n(0,2,1)所以 cosm，n .mn|m|n|45因为二面角 DGHE 为钝角，所以二面角 DGHE 的余弦值为 .45热点三 利用空间向量求解探索性问题例 3 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBC2AA1，ABC90，D 是 BC 的中点(1)求证：A1B平面 ADC1；(2)求二面角 C1ADC 的余弦值；(3)试问线段 A1B1上是否存在点 E，使 AE 与 DC1成 60角？若存在，确定 E 点位置；若不存在，说明理由(1)证明 连接 A1C，交 AC1于点 O，连接 OD.由 ABCA1B1C1是直三棱柱，得四边形 ACC1A1为矩形，O 为 A1C的中点又 D 为 BC 的中点，所以 OD 为A1BC 的中位线，所以 A1BOD.因为 OD平面 ADC1，A1B平面 ADC1，所以 A1B平面 ADC1.(2)解 由 ABCA1B1C1是直三棱柱，且ABC90，得 BA，BC，BB1两
