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1、实现函数单调性实现函数单调性“三步曲三步曲”还缺一步还缺一步谈谈新课程中教材的处理和实施谈谈新课程中教材的处理和实施函数的单调性，是学生第一次进行严谨完整的代数论证，是学生第一次系统的理论性的研究函数的性质，是学生第一次认识“任意” ，所以无论在基本知识方面，研究方法方面，还是认识论方面，本课时在高一数学学习中都承载着重要的使命。在课标教材人教 A 版数学配套的教学参考书中明确指出本课时的研究方法“三步曲” ，在教材中设计了具体的问题串实现这“三步曲” ，但实际的教学情况并不理想。下面结合教材的处理，及教学中的问题对本课时进行分析。一教学需要向前延伸，提高引言的地位，发挥先行组织者的作用。第“
2、1.3.1 单调性与最大（小）值”是第“1.3 函数的性质”一节的第一课时。在 1.3 的开篇即在 1.3.1 之前有一段话，这段话的作用是非常重要的，但在现实中它处在被遗忘的角落。这段话叫引言，但它不是可有可无的存在，在学生的学习过程中起着先行组织者的作用。当你进入一个环境不熟悉的公园游览，那么你做的第一件事是什么呢？应该是了解公园的整体布局，据此确定你的行程。要了解公园的整体布局，看公园的导游图是一个有效的途径。教材中的引言就是公园的导游图，帮助了解即将要进入的领域，了解研究什么，为什么研究，怎样研究等等，这样学生的学习过程才不会是见木不见林，而是心中有数的。教师在处理这部分时，注意到了需
3、要引入，但是具体的引入办法却是需要探讨的。导入办法一 让学生观察股市 K 线图并提问：能否说出图示的变化趋势？导入办法二 给出一张北京市某天的气温变化图。并提出问题：1.如图是北京市今年 8 月 8 日一天 24 小时内气温随时间变化的曲线图. 2.还能举出生活中其他的数据变化情况吗？3.这些现象可以用函数观点来解释吗？导入办法三 用连线题的形式导入：让学生将函数图像与相应的成语相连，如“蒸蒸日上” 、 “每况愈下” 、 “波澜起伏”等。导入办法四 给出某市未来 24 小时的气温预测图。观察这个气温预测图，预测到该市第二天的气温变化情况，并利用这个图让学生观察何时取得最大值、最小值，等等。这四
4、种导入方法是常见的，其共性是都注意到了函数图像的变化及其预测作用，在导入二中也注意到让学生举出类似的实例，体现今天所研究内容应用的广泛性，导入三充满了趣味性，相比较而言，第四种导入比较全面的介绍了本节要研究的问题、目的和意义，是比较恰当的，但是本课时作为 1.3 的第一课时，还应该更全面和宏观一些。那么究竟应该怎样运用好这段话呢？第一，要做到使学生了解本单元要研究什么，为什么要研究，研究的方法是怎样的；第二，说明“性质”是什么，即教材边框中的一段话，这样开宗明义，使学生明明白白地知道在探究发现过程中所要寻找的是什么；第三，让学生了解本单元的研究方法，及知识前后的关系，所运用的研究方法之间的关系
5、，这样使学生在学习过程中做到心中有数，有张有弛。明确研究方法有什么意义呢？比如在引导学生用自然语言对函数的单调性进行描述之后，如何过渡到要形成符号化的表述呢？为此有人创设这样或类似的问题情境：你能说出这个)0(1xxxy函数分别在哪个区间上升和下降吗？目的是迫使学生知道研究符号化表示的必要性，但是学生在课堂上可能会把注意力放在如何解决这个问题，而忽视了后面的研究。如果明确了研究方法和步骤，那么完成上一步的研究之后就可以自然地进入下一步，而不需要什么情境了。最后一点是，要用自然贴切的语言解读这段话，真正实现其教学的效果，而不是没有交流地背诵这段话，走形式，或者让学生看书自读，做无效的劳动。二实施
6、“三步曲” ，提炼研究方法。函数性质的讨论要加强几何直观、注重数形结合，实施“三步曲” ，即：第一步，观察图象，描述变化规律 （上升、下降） ；第二步，结合图、表，用自然语言描述变化规律（y随x的增大而增大或减小） ；第三步，用数学符号语言描述变化规律。这三步是本课时研究方法的具体步骤，也是继续研究函数其他性质的方法，所以本课时的教学不但是知识的教学，还是以知识的学习为载体，培养学生研究能力的过程。在实际教学中 90%的教师都绕过了教材中给出的下列表格，原因是“不知道该怎么用” 。x-4-3-2-101234f(x)= x 216941014916但是大家都注意到图形、自然、符号三种语言的形成
7、，而且将更多的精力集中在此。产生这种现象的原因可能是：三种语言的表述比较具体， “三步曲”中的三个研究阶段比较抽象。但是前者是后者的自然产物，二者有着内在的联系，脱离开“三步曲” ，尤其是表格的应用，就会使得概念的符号化语言形成中缺少数据的直观，而这正是最终形成符号语言的雏形。上述表格可以让学生从数的角度认识到函数的单调性是函数中两个相互依存的变量 x，y 的变化特征，反应了当自变量 x 变化时，它的函数值 y 如何变化，而单调性是这个变化特征中的一个不变的特征，如函数的单调增表现的是随着“x 增大，y 也增大” 。如果没有这一环节，那么研究函数性质的过程中就失去了数形结合的机会，而从数的角度
8、研究才是研究的根本所在，函数图像起到的作用是“形助数” 。所以三步曲缺一不可，作为教师要认真钻研教材而不是回避。三探究概念实质，告知表述方法，突破“任意”二字。本课时教学的难点是如何让学生理解定义中的“任意”二字，怎样才能让学生更好的理解和接受“任意”两个字呢？教师在进行教学设计时在此处也深入钻研，反复探讨。但是在教学实践中大家都陷入一个误区，那就是让学生探究得出“任意”二字，这就像两个陌生人相见之后要猜出对方的名字一样困难，所以教师感到很难突破这个难点，教学过程进行到此处无法推进，只好自己给出“任意”二字，如果课堂上有个别同学说出“任意”二字，那么教师就倍感欣慰，觉得自己的启发诱导终于没有白
9、费！但是，也许能说出“任意”二字的学生很有可能是看书预习的结果。这样说虽然有点残酷，但是也说明教师在学习和应用教育理念时要做到理论联系实际，运用得当，不要简单套用。这节课中探究活动着眼点何在呢？应该是探究认识概念的本质，让学生感觉到使用“任意”二字的必要性，并能用自己的语言表述概念的本质就达到了教学的目标，至于最后规范的符号语言表述可以通过看书获得，或者由教师给出。这样处理，教师就不会觉得教学困难，学生也不会感到茫然了。有一位教师在教学过程中采用了逼近的思想，用了 13 分钟的时间引导学生形成函数单调性的符号语言，这是在众多教师中在此处最舍得花时间的一位教师。在她的教学过程中，增函数概念的形成
10、一共用时 26 分钟，其中包括解决了教材中的例 1。但是这个时间没有白费，在后继的研究中，学生不论是在形成减函数的概念，还是运用定义进行证明时，学生首先想到的是在定义域的某个子区间内“任取”两个自变量的值，也即本课时的难点得到了有效的突破。运用逼近的思想引导学生形成符号语言的过程是：第一步，如果当 x 增大时，y 随 x 的增大而增大，那么当 x1x2时，f(x1) f(x2)成立。反之是否成立？由此引出问题：在定义域的某个子区间内取两个确定的值能否推断出函数在该区间内是增函数，并举出反例。第二步，如果在该子区间内取无数个自变量的值是否可以？学生基本上认为这样做是可以的。此时教师指出：虽然有无
11、数个值，取其中两个紧邻的值，如 a,b，在数轴上将这两个数对应的点为端点的线段用放大镜放大，那么这两个值就相当于第一步中的 x1，x2，所以仍然不足以得出结论。到此学生的思维积极性被调动起来了。第三步，综合前面两步，只有该区间内所有的自变量都考察后才能得出结论。学生似乎找到了诺亚的方舟，但是刚舒了一口气，老师又指出它不具有可操作性。怎么办呢？第四步，教师指出需要找代表，让学生继续思考怎么表述，陷入困境。事实上到此处应该由教师给出需要用“任意”两个字进行描述即可。整个教学经历了这样的过程：“两个三个无数个所有的两个代表任意” ，比较有效的突破了本课时的重难点，这也是提高课堂效率的核心所在认识概念
12、的本质。但是也有教师走向另一个极端，注重多做题，概念形成的过程所占的分量很轻，冲淡了本课时的教学重点。多做几道题不但达不到提高课堂效率的问题，反而可能会弱化本课时的教学重点，把数学的课堂异化为机械训练的习题的课堂，把学生引入歧途、陷入题海。四自然的数学学习过程基于符合学生认知规律的教学设计。教师感觉在提高课堂上学生的参与度和形成活跃的课堂气氛方面有困难。我想首先教师要树立一个正确的理念：数学课堂的活跃更多的时候表现为一种极端的安静，表现为极端安静后按捺不住的交流。所以在数学课堂中不应该一谓的追求气氛的活跃，而是要追求思维的活跃。这也是新课程改革中应有的基本认识。如何能使学生的思维活跃呢？设计自
13、然的教学过程，符合学生的认知规律，那么学生就会自然的流露出其想法，积极地与大家交流；设计具有任务驱动性的问题，给学生提供思考的时间和空间，之后给学生完整交流和表达的机会。如果能做到这两点，那么课堂就会活跃起来。在实际教学中见到的现象是什么呢？第一，当老师请某个学生回答问题时，这个学生一句话刚说完，整个的意图还没有表达清楚，教师立即就会插话：“你的意思是不是”直到把学生的想法拉到自己预设的轨道上才善罢甘休。再者教师的提问，经常是切碎割裂式的填空，学生不知道这个问题的意图何在，也不知道下一步要做什么，所以只能亦步亦趋地跟着老师走。这种问题首先违背了“最近发展区”原则，学生的思维没有主动性，就像台上
14、被牵着线的木偶。第三，教师的问题指向不明，学生不知该从何说起。这些现象都导致课堂气氛不活跃。所以真正有效的办法应该是设计好的问题，让问题引导学习，激活思维。问题是思维的心脏，有了好的问题，才可能有真正“活跃”的课堂。五概念教学要打破“一个定义，三项注意”的教学模式。本课时是一节概念课，很多教师的教学依然是“一个定义，三项注意”式的模式。虽然也注意到要体现知识的形成过程，但是没有从根本上发生改变。定义学习中的注意事项是应该给学生交待的，但那应该是画龙点睛之笔，就像“三”中所述的教学过程那样，学生已经认识到了概念的本质，在形成定义之后，教师只需要简单的点出注意“任意”二字等三个需要强调之处即可，事
15、实上在实际教学时，教师在此处所花的时间不到 4 分钟，但是由于前面的探究活动充分，学生理解是比较到位的，后继做题过程中学生的表现印证了这一点。但是更多的课堂是“浓缩”概念的形成过程，极端的例子是2 分钟形成定义，10 分钟讲“三项注意” ，15 分钟做一道例题或习题。这样做效果会怎样呢？因为学生没有理解概念的本质，虽然记住了“三项注意” ，但是在做题时就会将这种学习过程导致的问题暴露无遗，教师要花费更多的时间“启发” “引导” “纠错” 。哪种教学效果好呢？显然是前者。真正提高课堂教学的效率应该从理解数学的本质做起。课堂教学是一个遗憾的艺术，永远没有最好的课堂，永远也没有完美的课堂，探讨上述的问题意在实现“不求最好，只求更好” ，真正实现课堂教学效率的提高，减轻学生的负担。
