《届高考数学(文)轮复习[考前个月配套]教学案专题圆锥曲线的综合问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届高考数学(文)轮复习[考前个月配套]教学案专题圆锥曲线的综合问题（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三讲第三讲 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题1 直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程若 0，则直线与椭圆相交；若 0，则直线与椭圆相切；若 0 时，直线与双曲线相交；当 0 时，直线与双曲线相切；当 b0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交x2a2y2b2E 于 A、B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为( )A.1 B.1x245y236x236y227C.1 D.1x227y218x218y29答案 D解析 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，所以Error!运用
2、点差法，所以直线 AB 的斜率为 k，b2a2设直线方程为 y(x3)，b2a2联立直线与椭圆的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，所以 x1x22；6b2a2b2又因为 a2b29，解得 b29，a218.2 (2013江西)过点(，0)引直线 l 与曲线 y相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，21x2当AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于( )A. B C D3333333答案 B解析 SAOB |OA|OB|sinAOB12 sinAOB .1212当AOB 时，SAOB面积最大2此时 O 到 AB 的距离 d.22设 AB 方程为 yk(x)(k0，b0)，x2a2
3、y2b2由已知，得 a，c2，b2c2a21，3故双曲线方程为y21.x23(2)设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，将 ykx代入y21，2x23得(13k2)x26kx90.2由题意，知Error!解得0)到直线l：xy20 的距离为.设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线3 22PA，PB，其中 A，B 为切点(1)求抛物线 C 的方程；(2)当点 P(x0，y0)为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程；(3)当点 P 在直线 l 上移动时，求|AF|BF|的最小值解 (1)依题意知，c0，解得 c1.|c2|23 22所以抛物线 C 的方程为 x24y
4、.(2)由 y x2得 y x，1412设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线 PA，PB 的斜率分别为 x1， x2，所以切线 PA 的方程为1212yy1(xx1)，即 yxy1，即 x1x2y2y10.x12x12x2 12同理可得切线 PB 的方程为 x2x2y2y20，又点 P(x0，y0)在切线 PA 和 PB 上，所以 x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程 x0x2y02y0 的两组解，所以直线 AB 的方程为 x0x2y2y00.(3)由抛物线定义知|AF|y11，|BF|y21，所以|AF|BF|(y11)(y21)
5、y1y2(y1y2)1，联立方程Error!消去 x 整理得 y2(2y0x )yy 0，2 02 0y1y2x 2y0，y1y2y ，2 02 0|AF|BF|y1y2(y1y2)1y x 2y012 02 0y (y02)22y012y 2y052 02 022 ，(y012)92当 y0 时，|AF|BF|取得最小值，且最小值为 .1292题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题例 2 (2012福建)如图，等边三角形 OAB 的边长为 8，且其三个 3顶点均在抛物线 E：x22py(p0)上(1)求抛物线 E 的方程；(2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y1 相交于点Q，
6、 证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点审题破题 (1)先求出 B 点坐标，代入抛物线方程，可得 p 的值；(2)假设在 y 轴上存在定点 M，使得以线段 PQ 为直径的圆经过点 M，转化为0，从而判断点 M 是否存MPMQ在(1)解 依题意，|OB|8，BOy30.3设 B(x，y)，则 x|OB|sin 304，y|OB|cos 3012.3因为点 B(4，12)在 x22py 上，3所以(4)22p12，解得 p2.3故抛物线 E 的方程为 x24y.(2)证明 方法一 由(1)知 y x2，y x.1412设 P(x0，y0)，则 x00，y0 x ，且 l 的方程为14 2 0
7、yy0 x0(xx0)，即 y x0x x .121214 2 0由Error!得Error!所以 Q 为.(x2 042x0，1)设 M(0，y1)，令0 对满足 y0 x (x00)的 x0，y0恒成立MPMQ14 2 0由于(x0，y0y1)，MPMQ(x2 042x0，1y1)由0，得y0y0y1y1y 0，MPMQx2 0422 1即(y y12)(1y1)y00.(*)2 1由于(*)式对满足 y0 x (x00)的 y0恒成立，14 2 0所以Error!解得 y11.故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1)方法二 由(1)知 y x2，y x.1412设 P(x
8、0，y0)，则 x00，y0 x ，14 2 0且 l 的方程为 yy0 x0(xx0)，12即 y x0x x .1214 2 0由Error!得Error!所以 Q 为.(x2 042x0，1)取 x02，此时 P(2,1)，Q(0，1)，以 PQ 为直径的圆为(x1)2y22，交 y 轴于点 M1(0,1)、M2(0，1)；取 x01，此时 P，Q，(1，14)(32，1)以 PQ 为直径的圆为22，(x14)(y38)12564交 y 轴于点 M3(0,1)、M4.(0，74)故若满足条件的点 M 存在，只能是 M(0,1)以下证明点 M(0,1)就是所要求的点因为(x0，y01)，M
9、PMQ(x2 042x0，2)所以2y022y022y020.MPMQx2 042故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1)反思归纳 定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量变式训练 2 已知直线 l：yx，圆 O：x2y25，椭圆 E：1(ab0)的离心率6y2a2x2b2e，直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭
10、圆的短轴长相等33(1)求椭圆 E 的方程；(2)过圆 O 上任意一点 P 作椭圆 E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值(1)解 设椭圆的半焦距为 c，圆心 O 到直线 l 的距离 d，6113b.532由题意得Error!，a23，b22.椭圆 E 的方程为1.y23x22(2)证明 设点 P(x0，y0)，过点 P 的椭圆 E 的切线 l0的方程为 yy0k(xx0)，联立直线 l0与椭圆 E 的方程得Error!，消去 y 得(32k2)x24k(y0kx0)x2(kx0y0)260，4k(y0kx0)24(32k2)2(kx0y0)260，整理得，(2x )k
11、22kx0y0(y 3)0，2 02 0设满足题意的椭圆 E 的两条切线的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2，y2 032x2 0点 P 在圆 O 上，x y 5，2 02 0k1k21.5x2 032x2 0两条切线的斜率之积为常数1.题型三 圆锥曲线中的存在性问题例 3 如图，椭圆的中心为原点 O，离心率 e，且2.22a2c2(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点 P 满足2，其中 M、N 是椭圆上的点，直线 OM 与 ON 的斜率之OPOMON积为 .问：是否存在两个定点 F1，F2，使得|PF1|PF2|为定值？若存在，求 F1，F212的坐标；若不存在，说明理由审题破题 (1)列
12、方程组求出 a、c 即可；(2)由 kOMkON 先确定点 M、N 坐标满足条件，12再根据2寻找点 P 满足条件：点 P 在 F1、F2为焦点的椭圆上OPOMON解 (1)由 e ，2，ca22a2c2解得 a2，c，b2a2c22，2故椭圆的标准方程为1.x24y22(2)设 P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由2，OPOMON得(x，y)(x1，y1)2(x2，y2)(x12x2，y12y2)，即 xx12x2，yy12y2.因为点 M、N 在椭圆 x22y24 上，所以 x 2y 4，x 2y 4，2 12 12 22 2故 x22y2(x 4x 4x1x2)2(y
13、4y 4y1y2)2 12 22 12 2(x 2y )4(x 2y )4(x1x22y1y2)2 12 12 22 2204(x1x22y1y2)设 kOM，kON分别为直线 OM，ON 的斜率，由题设条件知 kOMkON ，y1y2x1x212因此 x1x22y1y20，所以 x22y220.所以 P 点是椭圆1 上的点，设该椭圆的左、右焦点为 F1、F2，则由椭圆x22 52y2 102的定义|PF1|PF2|为定值，又因 c，因此两焦点的坐标为 F1(2 52 10210，0)，F2(，0)1010反思归纳 探究是否存在的问题，一般均是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，
14、则能得出相应结论，如果不存在，则会由条件得出相互矛盾的结论变式训练 3 已知点 P 是圆 O：x2y29 上的任意一点，过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D，动点Q 满足.DQ23DP(1)求动点 Q 的轨迹方程；(2)已知点 E(1,1)，在动点 Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点 M、N，使 ()(O 是坐标原点)，若存在，求出直线 MN 的方程，若不存在，请说明OE12OMON理由解 (1)设 P(x0，y0)，Q(x，y)，依题意，点 D 的坐标为 D(x0，0)，所以(xx0，y)，(0，y0)，DQDP又，DQ23DP故Error!即Error!因为 P 在圆 O 上，故有 x y 9，2 02 0所以 x229，即1，(3y2)x29y24所以点 Q 的轨迹方程为1.x29y24(2)假设椭圆1 上存在不重合的两点 M(x1，y1)，x29y24N(x2，y2)满足 ()，OE12OMON则 E(1,1)是线段 MN 的中点，且有Error!即Error!又 M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆1 上，x29y24所以Error!两式相减，得0，x1x2x1x29y1y2y1y24所以 kMN ，y1y2x1x249故直线 MN 的方程为 4x9y130.所以椭圆上存在点 M，N 满足 ()，OE12
