《周期信号的傅里叶数展开》由会员分享，可在线阅读，更多相关《周期信号的傅里叶数展开（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、周期信号的傅里叶周期信号的傅里叶级级数展开：数展开：1（三角形式：三角形式： 周期信号周期信号，周期，周期 T，基波，基波频频率率， ，( )f t12wT所构成的完所构成的完备备正交函数集：三角函数集正交函数集：三角函数集； ；11cos,sinnwtnwt011 1( )cossinnn nf taanwtbnwt其中：其中：2 0 21( )TTaf t dtT2 1 22( )cosTTnaf tnwtdtT2 1 22( )sinTTnbf tnwtdtT注意注意: (1) 展开条件：狄利赫利条件展开条件：狄利赫利条件（ （2） ） 另外一种形式：另外一种形式：01 1( )cos(
2、)nn nf tccnwt其中：其中：00ca22 nnncabn n nbtga （ （3）物理意）物理意义义： ：（ （4）幅度）幅度谱谱和相位和相位谱谱2. 指数形式：指数形式： 完完备备正交函数集正交函数集 ：复指数函数集：复指数函数集1jnw te其中其中1( )jnw t n nf tF e1221( )T jnw t TnFf t edtT注意：（注意：（1）幅度）幅度谱谱和相位和相位谱谱 ：偶：偶谱谱和奇和奇谱谱nj nnFF e与三角形式与三角形式间间的关系的关系（ （2）两种）两种级级数数间间的关系的关系3. 函数函数满满足足对对称性的称性的级级数展开：数展开：( )f t
3、（ （1） ） 偶函数：偶函数： 01 1( )cosn nf taanwt0nb 或或， ， 01 1( )cos()nn nf tccnwt00ca|nnca0,0 ,0n n na a（ （2）奇函数：）奇函数： 1 1( )sinn nf tbnwt00naa或或， ， 01 1( )cos()nn nf tccnwt00c |nncb,02,02nnnbb （ （3）奇）奇谐谐函数：函数： ( )()2Tf tf t 其傅里叶其傅里叶级级数展开式中数展开式中仅仅含奇次含奇次谐谐波分量，即：波分量，即：0240aaaL L2460bbbL L4. 典型周期矩形脉冲的傅里叶典型周期矩形脉
4、冲的傅里叶级级数数信号信号，周期，周期为为 T，脉，脉宽为宽为 ，脉幅，脉幅为为 E( )f tf(t)E。 。 。-/2 /2 T t（ （1）三角形式）三角形式 01 1( )cosn nf taanwt0nb 其中：其中：22 0 2211( )TTEaf t dtEdtTTT2 11 222cos2nEaEnwtdtSanwTT谐谐波形式：波形式：01 1( )cos()nn nf tccnwt其中：其中：00ca， ， nnca0,0,0n n naa（ （2）指数形式：）指数形式：1( )jnw t n nf tF e其中：其中：11222211( )T jnw tjnw t Tn
5、Ff t edtEedtTT11 2E SanwT（ （3）幅度）幅度谱谱和相位和相位谱谱的特点的特点谱线间谱线间隔和隔和频谱宽频谱宽度度二傅里叶二傅里叶变换变换( )( )jwtF wf t edt1( )( )2jwtf tF w edw特点：（特点：（1） ） 幅幅频频函数和相函数和相频频函数函数 ( )( )jwF wF w e（ （2） ）变换变换条件：条件：|( )|f t dt （ （3） ）也是由也是由许许多多频频率分量构成率分量构成( )f t三常三常见见信号的傅里叶信号的傅里叶变换对变换对单边单边指数衰减信号指数衰减信号， ， ,0( )0,0tetf tt01( )F w
6、jw双双边边指数衰减信号指数衰减信号 | |,0( ),0t t tetf teet 222( )F ww 矩形脉冲矩形脉冲 ( ),2f tE t( )()2F wE Saw符号函数符号函数 ( )sgn( )f tt2( )F wjw冲冲击击函数函数 ( )f tt( )1F w ( )f tt( )F wjw ( )( )nf tt( )nF wjw直流信号直流信号 ( )1f t ( )2F ww( )f tjt ( )2F ww( )nf tjt ( )( )2nF ww阶跃阶跃信号信号 ( )( )f tu t 1( )F wwjw四傅里叶四傅里叶变换变换的性的性质质1.线线性性性
7、性2.奇偶虚奇偶虚实实性：性：为实为实函数函数( )f t( )( )( )cos( )sinjwtF wf t edtf twtdtjf twtdt（ （1） ）为实为实偶函数，虚部偶函数，虚部( )f t( )( )sin0X wf twtdt（ （2） ）为实为实奇函数，奇函数，实实部部( )f t( )( )cos0R wf twtdt3. 对对称性称性4.时时移性移性5. 尺度尺度变换变换： ：时时域域压缩压缩， ，频谱扩张频谱扩张时时域域扩张扩张， ，频谱压缩频谱压缩时时域反褶，域反褶，频谱频谱反褶反褶6.频频移性：移性： 0 0( )()jw tFf t eF ww 001( )
8、cos()()2F f twtF wwF ww001( )sin()()2F f twtF wwF wwj7.时时域微分：域微分：( )( )F f tjwF w( )( )()( )nnFftjwF w 8.频频域微分：域微分： ( )( )Fjtf tF w( )()( )( )nnFjtf tFw9.时时域卷域卷积积： ： 1212( )Ff tftF w Fw10.频频域卷域卷积积： ：五周期信号的傅里叶五周期信号的傅里叶变换变换： ：（1（周期信号的傅里叶周期信号的傅里叶级级数展开式：数展开式：1( )jnw t n nf tF e（2（周期信号的傅里叶周期信号的傅里叶变换变换： ：
9、1( )2()n nF wFwnw特点：（特点：（） ）频谱为频谱为冲冲击谱击谱（ （） ）强强度度为为2nF（ （） ）谱线谱线位于位于谐谐波波处处（ （） ）1nw（ （） ） 112 0 211( )|T jnw tjwt Tnw nwFf t edtft edtTT 101|w nwFwT其中：其中：为为周期信号的第一个脉冲，周期信号的第一个脉冲，0( )f t为为的傅里叶的傅里叶变换变换。 。 0Fw0( )f t六抽六抽样样定理定理（ （1）抽）抽样过样过程程 f(t) fs(t)p(t)其中：其中：输输入入 f(t),输输出出 fs(t),抽抽样样脉冲脉冲 p(t)为为冲冲击击序
10、列或周期矩形脉冲序列或周期矩形脉冲（2（数学表达式数学表达式( )( )( )sf tf tp t（3（时时域波形域波形（4（频谱频谱表达式：表达式： 1( ) ( )2sFwF wF p t11( )22n nF wpwnw1()()nns nnp F wnwp F wnw其中：周期其中：周期 T，基波，基波频频率率=抽抽样频样频率率1wsw即：抽即：抽样样信号信号频谱频谱将原信号将原信号频谱频谱在在频频率率轴轴 sFw( )F w上上进进行周期延拓行周期延拓（ （5）理想抽）理想抽样样： ：f(t) fs(t)T(t) ( )sTftf tt 1ss nFwF wnwT（ （6） ）实际实
11、际抽抽样样： ：f(t) fs(t)p(t)其中：其中：p(t)为为周期矩形脉冲周期矩形脉冲 ( )sftf tp t sns nFwp F wnw其中其中1()2nEpSanwT（ （7）信号恢复：）信号恢复：（ （8）抽）抽样样定理：定理：连续时间连续时间信号信号，抽，抽样样周期周期为为 ，抽，抽样频样频率率( )f tTsw其其频谱为频谱为， ，抽，抽样样信号的信号的频谱为频谱为， ，( )F wmww sFw且：且：，即：抽，即：抽样样信号信号频谱频谱将原信将原信 1ss nFwF wnwT sFw号号频谱频谱在在频频率率轴轴上上进进行周期延拓。当行周期延拓。当时时( )F w2smw
12、w频谱频谱不不发发生混叠，当生混叠，当时频谱发时频谱发生混叠。生混叠。 sFw2smww习题课习题课： ：1. 已知已知，求下列信号的傅里叶，求下列信号的傅里叶变换变换： ： ( )( )F f tF w（ （1） ） （ （2） ）( )df ttdt(25)ft 解：（解：（1） ） （ （2） ）( )( )f tF w5(25)(2()2ftft( )( )df tjwF wdt( )( )f tF w1(2 )()22wftF( )( )df td jwF wjtdtdw5 211(25)()22jwftFw e2. 系系统统如如图图所示：所示： x(t) y(t)Cos(wct)其
13、中其中:输输入入为为 x(t),其其频谱频谱 X（ （w）如）如图图所示，所示，输输出出为为 y(t),且且wcwmX（w）-wm wm w求：求：输输出出 y(t)的的频谱频谱解：解：1( )( ) cos()( )2ccjw tjw t cy tx tw tx tee1( )()()2ccY wX wwX wwY（w）1/2-wc wc w3.画出画出的的频谱频谱(100 )SatX(w)/100-100 100 w4.证证明明: 傅里叶的傅里叶的积积分特性：分特性： ( )( )F f tF w ( )( ) (0)tF wFf t dtFwjw 证证明：由于明：由于 ( )( )( )tf t dtf tu t 1( ) ( ) ()tFf t dtF wwjw ( )(0)F wFwjw5. 求下列求下列频谱频谱函数所函数所对应对应的的时间时间信号信号（ （1） ） （ （2） ） 5w2w（ （3） ） F(w)1-50 50 w解：（解：（1） ） （ （2） ） 51 2j te 1t 2tjw（ （3） ）5050Sat 6. 已知已知 f(t)波形如波
