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1、第 1 页 共 9 页概率论期中测试题参考解答1、 （10 分）设设表示三个随机事件，试用事件表示三个随机事件，试用事件的运算分别表的运算分别表ABC、ABC、示下列各事件：示下列各事件：(1)不发生而不发生而都发生；都发生；ABC、表示为：ABC(2)三个事件至少有一个发生；三个事件至少有一个发生；ABC、表示为：；ABCUU或表示为：ABCABCABCABCABCABCABCUUUUUU(3)三个事件至多有一个发生；三个事件至多有一个发生；ABC、表示为：ABCABCABCABCUUU(4)恰有两个不发生；恰有两个不发生；ABC、表示为：；ABCCABBACUU(5)都不发生；都不发生；A
2、BC、表示为：ABC(6)三个事件不少于两个发生；三个事件不少于两个发生；ABC、表示为：；ABBCACUU或表示为：ABCABCABCABCUUU(7)同时发生；同时发生；ABC、表示为：ABC(8)三个事件不多于两个发生三个事件不多于两个发生；ABC、表示为：；ABCUU或表示为：ABC或表示为：ABCABCABCABCABCABCABCUUUUUU(9)不全发生；不全发生；ABC、表示为：；ABCUU第 2 页 共 9 页或表示为：ABC或表示为：ABCABCABCABCABCABCABCUUUUUU(10)恰有一个发生恰有一个发生.ABC、或表示为：ABCABCABCUU2、 （14
3、分）已知分）已知求：求：(1)；(2)( )0.6, ()0.3, ( )0.6,P AP ABP B()P AB；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).()P AB()P ABU()P AB()P A B()P B A()P A BAU解：解：（1）因为，所以有0.3()()( )()P ABP ABP AP AB；()( )0.31( )0.30.40.30.1P ABP AP A（2）()( )()1( )()(1 0.6)0.10.3P ABP AP ABP AP AB（3）；()( )( )()0.40.60.10.9P ABP AP BP ABU（4）；()()1()1 0.90
4、.1P ABP ABP AB UU（5）；()0.11()( )0.66P ABP A BP B（6）；()()0.33()( )1( )0.44P ABP ABP B AP AP A（7） ()()()()( )( )()P A BAP ABAAP A BAP BAP BP AP BAUUUU() ( )( ) ( )()P AB P BP AP BP AB()0.11 ( )()0.60.17P AB P AP AB3、 （8 分）一个盒子中有分）一个盒子中有个球，其中个球，其中个黑球个黑球个红球，求下列事件的概率：个红球，求下列事件的概率：1046(1)=“从盒子中任取一球，这个球是黑球
5、从盒子中任取一球，这个球是黑球” ；(2)=“从盒子中任取两球，刚从盒子中任取两球，刚AB好一黑一红好一黑一红” ；(3)=“从盒子中任取两球，都是红球从盒子中任取两球，都是红球” ；(4)=“从盒子中任从盒子中任CD取五球，恰好有两个黑球取五球，恰好有两个黑球”.第 3 页 共 9 页解：（1）；（2）；（3）；1 4 1 102( )5CP AC11 46 2 108( )15C CP BC2 6 2 101( )3CP CC（4）23 46 5 1010( )21C CP CC4、 （3 分）设甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别分）设甲、乙、丙三人同时独立地向同一目
6、标各射击一次，命中率分别为为，求目标被命中的概率，求目标被命中的概率.1 1 2,3 2 3解：解：设=“甲命中目标”；=“乙命中目标”；=“丙命中目标”；=“目标被1A2A3AA击中”。则，且独立。故有，123AAAUU123,A A A123123123( )()1()1()P AP AAAP AAAP A A A UUUU1231() () ()1 (1 1/3) (1 1/2) (1 2/3)8/9P A P A P A 5、 （6 分）设某批产品中分）设某批产品中, ,甲、乙、丙三厂生产的产品分别占甲、乙、丙三厂生产的产品分别占 45%、35%和和 20%， 各厂的产品的合格品率分别
7、为各厂的产品的合格品率分别为 96%、98%、95%. .现从中任取一件，现从中任取一件，(1) 求恰求恰 好取到不合格品的概率；好取到不合格品的概率；(2)取到的不合格品是由甲厂生产的概率取到的不合格品是由甲厂生产的概率. 解：解：设=“任取一件产品，恰为不合格品”；=“任取一件产品，恰为第 条AiBi流水线生产”， =甲，乙，丙。i，()0.45P B甲()0.35P B乙()0.20P B丙(|)0.04P A B甲 ，。(|)0.02P A B乙(|)0.05P A B丙 （1）由全概率公式有：( )() (|)() (|)() (|)P AP BP A BP BP A BP BP A
8、 B甲甲乙乙丙丙=0.45 0.04+0.35 0.02+0.2 0.05=0.035（2）由贝叶斯公式有：()() ( |)0.45 0.04(| )=0.51429( )( )0.035P ABP BP ABP B AP AP A甲甲甲 甲6、 （8 分）在电源电压不超过分）在电源电压不超过 200 伏伏, ,在在 200240 伏和超过伏和超过 240 伏三种情形下伏三种情形下, ,第 4 页 共 9 页某种电子元件损坏的概率分别为某种电子元件损坏的概率分别为 0.1, ,0.001 和和 0.2. .假设电源电压假设电源电压X, ,试求：试求：(1)该电子元件损坏的概率；该电子元件损坏
9、的概率；(2)在该电子元件损坏时，电源在该电子元件损坏时，电源)25,220(2N电压在电压在 200240 伏的概率伏的概率. . (注：注：)7881. 0)8 . 0(解：解：设=“该电子元件损坏”；=“电源电压不超过 200 伏”， =“电源电压A1B2B在 200240 伏”， =“电源电压超过 240 伏”。3B已知，(|)0.1P A B1(|)0.001P A B2(|)0.2P A B3，200220()(200)()( 0.8)25P BP X 11(0.8)1 0.78810.2119 ，240220200220()(200240)()()2 (0.8) 10.57622
10、525P BPX 2，240220()(240)1(240)1()1(0.8)0.211925P BP XP X 3（1）由全概率公式有：( )() (|)() (|)() (|)P AP B P A BP B P A BP B P A B112233=0.2119 0.1+0.5762 0.001+0.2119 0.2=0.064146（2）由贝叶斯公式有：()() ( |)0.5762 0.001(| )=0.008983( )( )0.064146P ABP B P ABP B AP AP A222 27、 （6 分）设在一次试验中，事件分）设在一次试验中，事件发生的概率为发生的概率为，
11、现进行，现进行次独立试验，次独立试验，Apn试求试求: :(1)恰好发生两次的概率；恰好发生两次的概率；(2)至少发生两次的概率；至少发生两次的概率；(3)至多发生两至多发生两AAA次的概率次的概率. .解：解：设表示次独立试验中事件发生的次数，易知。XnA ( , )Xb n p（1）； 222(2)(1)nnP XC pp（2）；2(2)(1)n iin i n iP XC pp或000111(2)1(0)(1)1(1)(1)nn nnP XP XP XC ppC pp ；11 (1)(1)nnpnpp 第 5 页 共 9 页（3）；20(2)(1)iin i n iP XC pp8、 （
12、6 分）从分）从 37 五个整数中任取三个不同的数，设为五个整数中任取三个不同的数，设为，记，记123,x x x ，求：，求：(1)的分布列；的分布列；(2)的分布函数；的分布函数； (3)123min ,Xx x xXX . 24PX 解：解：（1）随机变量的可能取值为：3,4,5 且有X；。所以的分2 4 3 56(3)10CP XC2 3 3 53(4)10CP XC2 2 3 51(5)10CP XCX布列为：X345 P6/103/101/10（2）分布函数；036/1034( )9/104515xxF xxx （3）；( 24)(3)(4)9/10PXP XP X 9、 （6 分
13、）设随机变量分）设随机变量的分布函数为的分布函数为，求：，求：X0,20.3,21 ( )0.5,130.7,371,7xx F xxxx （1）的分布列；（的分布列；（2）；（；（3）. .X()E X()Var X解：解：（1）的可能取值为分布函数的间断点：-2,1,3,7；X( )F x；(2)( 2)( 1 0)0.300.3P XFF ；(1)(1)(1 0)0.50.30.2P XFF；(3)(3)(30)0.70.50.2P XFF；(7)(7)(70)1 0.70.3P XFF 所以的分布列为：XX-2137 P0.30.20.20.3 （2）；()2 0.3 1 0.23 0
14、.27 0.32.3E X 第 6 页 共 9 页（3）；22222()( 2)0.3 10.230.270.317.9E X 。222()() ()17.92.312.61Var XE XE X10、 （3 分）随机变量分）随机变量服从泊松分布，且服从泊松分布，且，求，求. .X(0)(1)P XP X(2)P X 解：解：因为服从泊松分布，即，故的分布列为：X( )XPX，()!k P Xkek因为，所以有，得，所以(0)(1)P XP X010!1!ee121 11(2)2!2eP Xe 11、 （14 分）设随机变量分）设随机变量的密度函数为的密度函数为，(1)确定常确定常X,03( )2,342 0,kxxxf xx 其它数数；(2)求随机变量求随机变量的分布函数；的分布函数；(3)求求；（；（4 4）求）求；kX712PX()E X（5）求）求.()Var X解：解：（1）由，；故34031( )(2)2xf x dxkxdxdx1 6k,036( )2,342 0,xxxf xx 其他（2）的分布函数，X( )()( )xF xP Xxf t dt （i）当时，；0x ( )( )00xxF xf t dtdt （ii）当时，；03x200( )( )0612xxtxF xf t dtdtdt （iii）当时，
