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1、第二讲第二讲 空间点、直线、平面的位置关系空间点、直线、平面的位置关系1点、线、面的位置关系(1)公理 1 A，B，AB.(2)公理 2 A，B，C 三点不共线，A，B，C 确定一个平面(3)公理 3 P，且 P，l，且 Pl.三个推论：过两条相交直线有且只有一个平面过两条平行直线有且只有一个平面过一条直线和直线外一点有且只有一个平面(4)公理 4 ac，bc，ab.(5)等角定理 OAO1A1，OBO1B1，AOBA1O1B1或AOBA1O1B1180.2直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理 a，b，ab，a.(2)线面平行的性质定理 a，a，b，ab.(3)面面平行的判定定
2、理 a，b，abP，a，b，.(4)面面平行的性质定理 ，a，b，ab.3直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理 m，n，mnP，lm，ln，l.(2)线面垂直的性质定理 a，b，ab.(3)面面垂直的判定定理 a，a，.(4)面面垂直的性质定理 ，l，a，al，a.4异面直线所成的角(1)定义(2)范围：(0， 2(3)求法：先通过取中点或作平行线找到两异面直线所成的角，然后解含有这个角的三角形若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求的角5直线与平面所成的角(1)定义(2)范围：0， 2(3)求法：先找到(或作出)过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的
3、射影，该斜线与射影的夹角就是所求的线面角，解这个角所在的直角三角形可得6二面角(1)定义(2)范围：0，(3)找二面角平面角的方法定义法垂面法垂线法特殊图形法垂线法是最重要的方法，具体步骤如下：弄清该二面角及它的棱考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线(往往先找垂面再找垂线)过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线，连结垂足与另一个端点，所得到的角(或其补角)就是该二面角的平面角解这个角所在的直角三角形，可得到二面角的大小1 (2013安徽)在下列命题中，不是公理的是( )A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一
4、个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 A解析 B、C、D 选项是公理2 (2013广东)设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A若 ，m，n，则 mnB若 ，m，n，则 mnC若 mn，m，n，则 D若 m，mn，n，则 答案 D解析 A 中，m 与 n 可垂直、可异面、可平行；B 中 m 与 n 可平行、可异面；C 中若 ，仍然满足 mn，m，n，故 C 错误；故 D 正确3 (2013山东)已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为的943正三
5、角形若 P 为底面 A1B1C1的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( )A. B. C. D.512346答案 B解析 如图所示：SABC sin 60.12333 34VABCA1B1C1SABCOPOP ，OP.3 34943又 OA 1，32323tanOAP，又 0SBOD，SABCSBOC，SACDSABCSABDSBCD.故对如图，点 E、F、G、H、M、N 为各边中点，这样可得到EFGH 和ENGM 它们的对角线 EG 和 FH 互相平分，EG 和 MN 也互相平分因此，三条线段 EG，FH，MN 交于一点，故对反思归纳 准确画出相应的几何体，结合该几何体来研究各命
6、题的真假若判定一个命题为假，只需举一反例(特殊状态、特殊位置、特殊图形)即可有时用反证法来判断也可以变式训练 1 (1)给出下列关于互不相同的直线 m，n，l 和平面 、 的四个命题：m，lA，Am，则 l 与 m 不共面；l、m 是异面直线，l，m，且 nl，nm，则 n；若 l，m，lmA，l，m，则 ；若 l，m，则 lm.其中假命题的序号是_答案 解析 命题可用反证法证明成立；命题利用线面平行的性质，过 l、m 分别作平面、 交平面 于 l，n，易知 nl，nm且 m，n相交，故 n；命题即为面面平行的判定定理；命题中 l，m 可以平行、相交，也可以异面(2)若 P 是两条异面直线 l
7、，m 外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是_过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都平行；过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都垂直；过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都相交；过点 P 有且仅有一条直线与 l，m都异面答案 解析 可以利用模型进行判断题型二 平行关系与垂直关系例 2 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F 分别为 MB、PB、PC 的中点，且 ADPD2MA.(1)求证：平面 EFG平面 PMA；(2)求证：平面 EFG平面 PDC；(3)求三棱锥 PMAB 与四棱锥 PABCD 的体积之比审题破题 (1)证明 EG、
8、FG 都平行于平面 PMA.(2)证明 GF平面 PDC.(3)设 MA 为 1，从而其他边的长度都可表示，问题可求解(1)证明 E、G、F 分别为 MB、PB、PC 的中点，EGPM，GFBC.又四边形 ABCD 是正方形，BCAD，GFAD.EG、GF 在平面 PMA 外，PM、AD 在平面 PMA 内，EG平面 PMA，GF平面 PMA.又EG、GF 都在平面 EFG 内且相交，平面 EFG平面 PMA.(2)证明 由已知 MA平面 ABCD，PDMA，PD平面 ABCD.又 BC平面 ABCD，PDBC.四边形 ABCD 为正方形，BCDC.又 PDDCD，BC平面 PDC.在PBC
9、中，G、F 分别为 PB、PC 的中点，GFBC，GF平面 PDC.又 GF平面 EFG，平面 EFG平面 PDC.(3)解 PD平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，不妨设 MA1，则 PDAD2.DA平面 MAB，且 PDMA，DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离，VPMABVPABCD SMABDA S正方形 ABCDPD1313SMABS正方形 ABCD(22)14.(12 1 2)反思归纳 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中
10、位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可，l，ala.变式训练 2 (2013北京)如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面 PAD底面 ABCD，PAAD.E 和 F 分别为 CD、PC 的中点求证：(1)PA底面 ABCD；(2)BE平面 PAD；(3)平面 BEF平面 PCD.证明 (1)平面 PAD平面 ABCDAD.又平面 PAD平面 ABCD，且 PAAD.PA底面 ABCD.(2)A
11、BCD，CD2AB，E 为 CD 的中点，ABDE，且 ABDE.ABED 为平行四边形BEAD.又BE平面 PAD，AD平面 PAD，BE平面 PAD.(3)ABAD，且四边形 ABED 为平行四边形BECD，ADCD.由(1)知 PA底面 ABCD，则 PACD，CD平面 PAD，从而 CDPD，又 E、F 分别为 CD、CP 的中点，EFPD，故 CDEF.由 EF，BE 在平面 BEF 内，且 EFBEE，CD平面 BEF.平面 BEF平面 PCD.题型三 空间线面关系的综合问题例 3 如图所示，四边形 ABCD 为矩形，AD平面 ABE，AEEBBC，F 为 CE 上的点，且 BF平
12、面 ACE.(1)求证：AEBE；(2)设 M 在线段 AB 上，且满足 AM2MB，试在线段 CE 上确定一点 N，使得 MN平面 DAE.审题破题 (1)通过线面垂直证明线线垂直(2)这是一道探索性问题，先确定点 N 的位置，再进行证明要注意解题的方向性，通过寻找到的条件，证明MN平面DAE 成立(1)证明 AD平面 ABE，ADBC，BC平面 ABE，AE平面 ABE，AEBC.又BF平面 ACE，AE平面 ACE，AEBF，BCBFB，AE平面 BCE，又 BE平面 BCE，AEBE.(2)解 在ABE 中过 M 点作 MGAE 交 BE 于 G 点，在BEC 中过 G 点作 GNBC
13、交 EC 于 N 点，连接 MN，则由比例关系易得 CN CE.13MGAE，MG平面 ADE，AE平面 ADE，MG平面 ADE.同理，GN平面 ADE.又GNMGG，平面 MGN平面 ADE.又 MN平面 MGN，MN平面 ADE.N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点反思归纳 解决探究某些点或线的存在性问题，一般方法是先研究特殊点(中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直)，再证明其符合要求，一般来说是与平行有关的探索性问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形变式训练 3 (2013浙江)如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD，ABBC2，ADCD，PA，ABC120.
14、G 为线段 PC 上的点73(1)证明：BD平面 APC；(2)若 G 为 PC 的中点，求 DG 与平面 APC 所成角的正切值；(3)若 G 满足 PC平面 BGD，求的值PGGC(1)证明 设点 O 为 AC、BD 的交点由 ABBC，ADCD，得 BD 是线段 AC 的中垂线所以 O 为 AC 的中点，BDAC.又因为 PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 PABD，且 ACPAA.所以 BD平面 APC.(2)解 连接 OG.由(1)可知 OD平面 APC，则 DG 在平面 APC 内的射影为 OG，所以OGD 是 DG 与平面 APC 所成的角由题意得 OG PA.1232在ABC 中，AC2.AB2BC22ABBCcosABC3所以 OC AC.123在 RtOCD 中，OD2.CD2OC2在 RtOGD 中，tanOGD.ODOG4 33所以 DG 与平面 APC 所成角的正切值为.4 33(3)解 连接 OG.因为 PC平面 BGD，OG平面 BGD，所以 PCOG.在 RtPA
